仕事と仕事率

1仕事

物体に力を加え、物体がその力の向きに動いたとき、力は物体に仕事をしたといいます。仕事の大きさは W = Fx です。

重い荷物を持って、じっと立っていると疲れます。日常の言葉では、これも「仕事」と言いたくなります。でも物理では、荷物が動いていないので、手は荷物に仕事をしていません。物理の「仕事」は、日常の「仕事」とは別の、決まった意味の言葉です。

物体に力を加え、物体がその力の向きに動いたとき、力は物体に仕事をしたといいます。たとえば、床の上の箱をあなたが右へ押して、箱が右へ動いたとき、手が箱を押す力は箱に仕事をしています。

仕事の大きさは、力が大きいほど、また動いた距離が長いほど、大きいと考えます。1 N の力で、力の向きに 1 m 動かしたときの仕事を「1 回分」とします。10 N の力は 1 N の力の 10 個分なので、10 N で 1 m 動かすと 10 回分です。同じ 10 N で 2 m 動かすのは、1 m を 2 回くり返したのと同じなので、20 回分です。20 N の力は 10 N の力の 2 つ分なので、20 N で 2 m 動かすと、その 2 倍の 40 回分です。回数は、力の大きさ × 動いた距離 と同じ数になります。だから、仕事は「力の大きさ × 力の向きに動いた距離」で表します。

仕事を記号 W で表します。「ダブリュー」と読みます(英語の work の頭文字)。

このページの x は、物体が力の向きに動いた距離です。物体の位置ではありません。Fx は F × x のことで、× を省いて書きます。

仕事の単位はジュールで、J と書きます。1 N の力で、力の向きに 1 m 動かしたときの仕事が 1 J です。1 J = 1 N × 1 m なので、J は N·m(ニュートン・メートル)と同じです。上の表の仕事は、左から 10 J、20 J、40 J です。

2力の向きと動く向きが違うとき

力の向きと動く向きの間の角が θ のとき、仕事は W = Fx cos θ です。θ = 90° なら仕事は 0、θ が 90° より大きいと仕事は負になります。

なめらかな床の上を、重い箱が右へすべっています。あなたは箱にひもを付けて、ひもを引きます。引いている間に、箱は右へ 2.0 m 動きます。ひもを水平に右へ引くと、ひもが箱を引く力は、すべて箱を右へ進める向きにはたらきます。ひもを斜め上に引くと、力の一部は箱を上へ持ち上げようとする分になり、右へ進める分は小さくなります。

力の向きと、物体が動く向きの間の角を θ(シータ)とします。ひもが水平で右向きなら θ = 0°、真上なら θ = 90°、水平で左向きなら θ = 180° です。

1つの力は、向きの違う2つの力を合わせたものと考えて、2つに分けることができます。分けたそれぞれを成分といいます。ひもが箱を引く力 F を、動く向きの成分と、動く向きに垂直な成分に分けます。F の矢印を斜辺とし、動く向きに沿った辺を底辺とする直角三角形を考えます。cos θ(コサイン シータ)= 底辺 ÷ 斜辺、sin θ(サイン シータ)= 高さ ÷ 斜辺 なので、θ が 90° 以下なら、動く向きの成分の大きさは F cos θ、垂直な成分の大きさは F sin θ です。

垂直な成分の向き(上下)には、箱は動いていません。項目1のとおり、その向きに動かなければ、その分の仕事は 0 です。だから、仕事をするのは動く向きの成分 F cos θ だけです。仕事は、F cos θ × x です。

ひもの力が F = 5.0 N で、θ = 60° のとき、動く向きの成分は 5.0 × cos 60° = 5.0 × 0.500 = 2.5 N です。箱は 2.0 m 動くので、仕事は W = 2.5 × 2.0 = 5.0 J です。同じ 5.0 N でも、ひもを水平に引く(θ = 0°)と、W = 5.0 × 2.0 = 10 J です。斜めに引くと、仕事は小さくなります。

ひもを真上に引くと θ = 90° で、動く向きの成分はありません(cos 90° = 0)。だから W = 0 です。力の向きと動く向きが垂直な力は、仕事をしません。たとえば、床の上を水平に動く箱に重力がする仕事は 0 です。重力は真下向きで、動く向き(水平)と垂直だからです。

ひもを左上に引くと、ひもの力のうち、動く向きに沿った成分は左向きになります。動く向き(右)と逆向きです。たとえば F = 5.0 N、θ = 120° のとき、ひもと左向きの水平線の間の角は 180° − 120° = 60° です。動く向きの成分の大きさは 5.0 × cos 60° = 2.5 N で、向きは左です。動く向きと逆向きの成分がする仕事は、負の数で表します。W = −2.5 × 2.0 = −5.0 J です。仕事が負の数になるとき、その力は物体に負の仕事をしたといいます。

θ が 90° より大きいときも W = Fx cos θ の1つの式で計算できるように、cos θ の値は下の表のように決められています。90° を超えると負の数になります。表の値は覚えなくてかまいません。使うときは、この表を見ます。

0.866 と −0.866 は約の値です。

θ = 120° なら、W = 5.0 × 2.0 × (−0.500) = −5.0 J で、左向きの成分 2.5 N から求めた値と同じになります。

床の上をすべる物体にはたらく動摩擦力は、すべる向きと逆向きです(θ = 180°)。cos 180° = −1 なので、動摩擦力がする仕事は負です。たとえば、大きさ 3.0 N の動摩擦力を受けながら箱が 2.0 m すべるとき、動摩擦力がする仕事は W = 3.0 × 2.0 × (−1) = −6.0 J です。

3仕事の原理

なめらかな斜面などの道具を使うと、要る力は小さくなりますが、動かす距離が長くなり、仕事は小さくなりません。これを仕事の原理といいます。

質量 2.0 kg の箱を、床から高さ 1.0 m の台の上まで上げます。上げ方を2通り比べます。(A) 箱を真上に、ゆっくり持ち上げます。(B) 傾き 30° のなめらかな斜面に沿って、ひもでゆっくり引き上げます。「ゆっくり」は、一定の速さで動かすという意味です。この項目の θ は斜面の傾きの角で、項目2の θ(力の向きと動く向きの間の角)とは別のものです。

一定の速さでまっすぐ動いている物体では、はたらく力の合力は 0 です(慣性の法則)。(A) 上向きに持ち上げる力は、下向きの重力 mg と同じ大きさです。F = 2.0 × 9.8 = 19.6 N です。(B) 重力 mg を、斜面に沿った向きと斜面に垂直な向きに分けます。斜面の傾きが θ のとき、重力の矢印(真下)と、斜面に垂直な向きの間の角も θ になります。だから、重力の斜面に垂直な分力は mg cos θ、斜面に沿った分力は mg sin θ です。斜面に沿った分力は、斜面に沿って下向きです。斜面に沿った向きの力は、ひもが箱を引く力(斜面に沿って上向き)と、この分力の2つです。合力が 0 なので、引く力は F = mg sin 30° = 19.6 × 0.500 = 9.8 N です。斜面を使うと、要る力は半分になりました。

(A) 真上に 1.0 m 動かします。(B) 斜面の長さだけ動かします。斜面と床と台の左の面で、直角三角形ができます。台の高さがこの三角形の高さ、斜面の長さが斜辺です。sin θ = 高さ ÷ 斜辺 なので、高さ ÷ 斜面の長さ = sin 30° です。1.0 ÷ 斜面の長さ = 0.500 なので、斜面の長さは 1.0 ÷ 0.500 = 2.0 m です。斜面を使うと、動かす距離は 2 倍になりました。

どちらも、力の向きと動く向きが同じなので、仕事は W = Fx です。(A) W = 19.6 × 1.0 = 19.6 J です。(B) W = 9.8 × 2.0 = 19.6 J です。仕事は同じです。与えられた数(2.0 と 1.0 と 9.8)が 2 桁なので、答えも 2 桁に丸めて、どちらも約 20 J です。

高さを h(エイチ)とします。斜面の傾きが θ のとき、引く力は mg sin θ、斜面の長さは h ÷ sin θ です。仕事は、mg sin θ × (h ÷ sin θ) = mgh です。sin θ が消えるので、仕事は斜面の傾きによりません。

道具を使って、要る力を小さくすることはできます。でも、そのぶん動かす距離が長くなり、仕事は小さくなりません。これを仕事の原理といいます。斜面のほかに、動滑車やてこでも同じです。たとえば軽い動滑車を使うと、引く力は半分になりますが、ひもを引く長さは 2 倍になります。

4仕事率

1 秒あたりにする仕事を仕事率といい、P = W/t で求めます。単位は W(ワット)です。

A さんと B さんが、同じ 90 J の仕事をします。A さんは 3.0 s、B さんは 6.0 s かかりました。仕事の大きさは同じです。でも、短い時間ですませた A さんのほうが、仕事をする能率がよいといえます。

能率を比べるために、1 秒あたりの仕事を求めます。A さんは 3.0 s で 90 J なので、1 秒あたり 90 ÷ 3.0 = 30 J です。B さんは 6.0 s で 90 J なので、1 秒あたり 90 ÷ 6.0 = 15 J です。

1 秒あたりにする仕事を仕事率といいます。記号 P で表し、「ピー」と読みます(英語の power の頭文字)。仕事 W を、かかった時間 t で割って求めます。

仕事率の単位は J/s(ジュール毎秒)で、これをワットといい、W と書きます。1 W は、1 秒あたり 1 J の仕事をする仕事率です。A さんの仕事率は 30 W、B さんの仕事率は 15 W です。

仕事の記号 W と、単位のワット W は、同じ文字です。式の中の斜体の W は仕事という量、数の後ろの立体の W は単位です。

たとえば、40 N の力で、力の向きに 0.50 m/s の一定の速さで荷物を引きます。荷物は 1 秒に 0.50 m 動くので、1 秒の仕事は 40 × 0.50 = 20 J で、仕事率は 20 W です。速さが v [m/s] なら、1 秒に動く距離は v の値と同じ数 [m] です。だから仕事率は、力 F と速さ v を掛けた値になります。

式で書くと、P = W/t = Fx/t で、x/t は速さ v なので P = Fv です。