剛体のつり合い(力のモーメント)

1剛体と力の作用線

大きさのある物体の動き方は、力の大きさと向きだけでなく、力がはたらく線(作用線)の位置でも変わります。

物体の運動を考えるとき、物体を大きさのない「点」として扱うことがあります。そのときは、力がどこにはたらくかは考えず、力の大きさと向きだけで、物体が動くか止まっているかを考えます。ところが、本や板のような大きさのある物体では、力を加える位置によって、動き方が変わることがあります。

このページでは、力を加えても形が変わらないとみなす物体を考えます。このような物体を剛体といいます。机の上の本、木の板、金属の棒は、押しても曲がったりへこんだりしないとみなせるので、剛体として扱います。

次の動画では、机の上に置いた同じ本2冊(本 A・本 B)を、真上から見ています。2冊を、同じ向き・同じ大きさの力で、同時に押します。本 A は左の辺の真ん中を、本 B は左の辺の、真ん中から外れた端のほうを押します。

2冊のうち、回るのはどちらだと思いますか。予想してから動画を見てください。

真ん中を押した本 A は、回らずにまっすぐ右へ進みました。端を押した本 B は、右へ進みながら時計回りに回りました。力の大きさと向きが同じでも、力を加える位置が違うと、剛体の動き方が変わります。

力がはたらく点を作用点といいます。動画では「押す点」が作用点です。作用点を通り、力の向きに引いた線を作用線といいます。動画の押す力は右向きなので、作用線は押す点を通る横の線です。本 A の作用線は本の真ん中を通り、本 B の作用線は真ん中より上を通ります。押す力だけがはたらくとき、作用線が真ん中を通らないと、本は回ります。

剛体では、力の作用点を作用線に沿ってずらしても、力の働きは変わりません。たとえば、本 B の左の辺を右へ押す代わりに、同じ作用線の上にある右の辺の点にひもを結び、同じ大きさの力で右へ引いても、押しはじめの動き方は同じです。いっぽう、作用線そのものを上や下へずらすと、回り方が変わります。

2力のモーメント

物体を回す働きは「力の大きさ × 軸から作用線までの距離」で決まり、これを力のモーメント M = Fl といいます。

公園のシーソーは、真ん中の支えを中心に回ります。回るときの中心を軸といいます。重さ 400 N の友だちと、重さ 600 N のあなたがシーソーに乗るとします。友だちが軸の左 1.8 m に、あなたが軸の右 1.2 m に座ると、シーソーは水平のまま止まります。

600 N は 400 N の 1.5 倍です。1.8 m は 1.2 m の 1.5 倍です。重いあなたが軸の近くに座れば、軽い友だちと回す働きをそろえることができます。「重さ × 軸からの距離」を計算すると、左は 400 × 1.8 = 720、右は 600 × 1.2 = 720 で、同じです。あなたが軸の右 1.5 m に移ると、右は 600 × 1.5 = 900 で、左の 720 より大きくなります。このときは右が下がります。

座っている人は、自分の重さと同じ大きさの力で、板を下へ押します。止まっている人では、人の重力と、板が人を押し上げる力がつり合っています。人が板を押す力と、板が人を押し上げる力は、2つの物体が押し合う力の組なので、同じ大きさで逆向きです。だから、「重さ × 軸からの距離」は、「人が板を押す力 × 軸からの距離」のことです。

物体を回す働きの大きさを、力のモーメントといいます。略して「モーメント」とも言います。軸から力の作用線までの距離を腕の長さといい、l(エル)で表します。シーソーの板を押す力は真下向きなので、作用線は座った点を通る縦の線で、板が水平のとき、腕の長さは軸から座った点までの距離です。

力の大きさを F とすると、モーメント M は次の式で求めます。

単位は、N(力)と m(距離)を掛けた N·m で、「ニュートンメートル」と読みます。上のシーソーの友だち(400 N、軸の左 1.8 m)のモーメントは、400 N × 1.8 m = 720 N·m です。

モーメントには、物体を回す向きがあります。図で見て、時計の針と逆に回す向きを反時計回り、時計の針と同じに回す向きを時計回りといいます。この資料では、反時計回りに回す向きを正とします。時計回りに回すモーメントには、マイナスを付けます。

上のシーソー(友だち 400 N・1.8 m、あなた 600 N・1.2 m)では、友だちの力は板の左側を下げるので反時計回りで +720 N·m、あなたの力は板の右側を下げるので時計回りで −720 N·m です。2つのモーメントの和が 0 のとき、シーソーは回り出しません。和が正なら反時計回り(左が下がる向き)に、負なら時計回り(右が下がる向き)に回り出します。

次の図で、あなたが座る位置を変えて、シーソーが水平になる位置を探します。図では、友だちは軸の左 1.5 m に座っています。

3斜めの力のモーメント

力が斜めのときの腕の長さは、軸から作用点までの距離ではなく、軸から作用線までの距離で、作用点までの距離より短くなります。

ドアは、ちょうつがいを軸として回ります。取っ手に結んだひもを引くとき、ドアに直角に引くと、いちばん楽に開きます。同じ力でも、斜めに引くと開けにくくなります。ドアに沿ってまっすぐ引くと、どれだけ強く引いてもドアは回りません。

腕の長さは「軸から作用線までの距離」でした(項目2)。斜めに引くと、この距離が短くなります。ドアに沿って引くと、作用線がちょうつがいを通るので、腕の長さは 0 です。

棒(ドア)の上の、力がはたらく点を P、軸を O とします。O から作用点 P までの距離を r で表し、「アール」と読みます。r は作用点までの距離で、腕の長さ l(作用線までの距離)とは別のものです。

棒の線と力の作用線が交わると、角が2つできます(2つの角を足すと 180° です)。このページでは、そのうち 90° 以下のほうの角を θ(シータ)とします。

O から作用線へ垂直に線を下ろし、作用線と交わる点を H とします。腕の長さは OH の長さです。三角形 OPH は、H の角が直角の直角三角形です。斜辺は OP(長さ r)で、P の角が θ です。直角三角形では、sin θ(サイン シータ)= 高さ ÷ 斜辺 です。高さは、θ の向かいにある辺です。ここでは θ の向かいの辺が OH なので、腕の長さは l = OH = r sin θ です。

たとえば、長さ 1.0 m の棒の端 P(r = 1.0 m)を、棒と 60° の向きに 10 N で引くとき(sin 60° ≒ 0.866)、腕の長さは l = r sin θ = 1.0 × 0.866 = 0.866 m です。モーメントの大きさは、M = 10 × 0.866 = 8.66 ≒ 8.7 N·m です。与えた数(1.0 m・10 N)が 2 桁なので、答えも 2 桁に丸めます。

同じことを、力を2つに分けて考えることもできます。1つの力は、直角な2つの向きの力(分力)に分けられます。ここでは、棒に垂直な向きと、棒に沿う向きに分けます。棒に垂直な分力は F sin θ、棒に沿う分力は F cos θ(cos θ = 底辺 ÷ 斜辺。コサイン シータと読みます)です。上の例(長さ 1.0 m の棒の端を、棒と 60° の向きに 10 N で引く)では、垂直な分力が 10 × sin 60° ≒ 10 × 0.866 = 8.66 N、沿う分力が 10 × cos 60° = 10 × 0.500 = 5.0 N です(cos 60° = 0.500)。

棒に沿う分力の作用線は、軸 O を通ります。だから、沿う分力のモーメントは 0 で、棒を回しません。

垂直な分力の作用線は棒に直角なので、その腕の長さは r(ここでは 1.0 m)です。モーメントは 8.66 × 1.0 = 8.66 ≒ 8.7 N·m で、腕の長さ(0.866 m)で求めたときと同じになります。

腕の長さで求めても、力を分けて求めても(どちらも 8.66 N·m)、モーメントは F × r × sin θ になりました。

力が棒に直角(θ = 90°)のときは、作用線が棒に直角なので、腕の長さは r そのものです。式 M = Fr sin θ でも同じ値になるように、sin 90° = 1 と決められています。だから M = Fr = Fl で、項目2 の式と同じです。

次の図で、ドアの取っ手を引く向きを変えて、腕の長さとモーメントがどう変わるかを確かめます。