要点
同じ向きの平行な2つの力は、1つの力にまとめられます。その大きさは2力の和で、作用点は2力の作用点の間を力の逆の比に分ける点です。
てんびん棒(両端に荷物をつるして、肩にかついで運ぶ棒)を考えます。重さを考えなくてよい軽い棒とします。両端の荷物が棒を引く力は、どちらも下向きです。向きが同じで、作用線(作用点を通り、力の向きに引いた線)が平行な2つの力です。肩をどこに当てれば棒が水平になるかは、この2つの力を、同じはたらきをする1つの力(合力)にまとめると分かります。肩を当てる所は、その合力の作用点です。
長さ 1.0 m のてんびん棒の前の端(絵では左)を A、後ろの端(絵では右)を B とします。A の荷物が棒を引く力を F1、B の荷物が棒を引く力を F2 とし、F1 = 30 N、F2 = 20 N とします。肩を、A から 0.40 m の点 P に当てると、棒は水平のまま止まります。
棒にはたらく力は、下向きの F1 と F2 と、肩が棒を支える上向きの力の3つです。止まっている棒では、棒にはたらく力の合力が 0 です。だから、肩が支える力は 30 + 20 = 50 N です。
力のモーメントは、物体を回すはたらきの大きさで、力の大きさ × 回す点から作用線までの距離 で求めます。反時計回りに回す向きを正とします。止まっている棒では、どの点のまわりで考えても、力のモーメントの和が 0 です。ここでは P のまわりで考えます。
肩が支える力の作用線は P を通るので、そのモーメントは 0 です。F1 の作用点 A は P の左 0.40 m にあり、F1 は棒の左側を下げるので、反時計回りに回します。モーメントは +30 × 0.40 = +12 N·m です。F2 の作用点 B は P の右 0.60 m にあり、F2 は棒の右側を下げるので、時計回りに回します。モーメントは −20 × 0.60 = −12 N·m です。和は +12 − 12 = 0 なので、棒は回りません。肩が支える上向きの 50 N は、F1 と F2 のはたらきをちょうど打ち消しています。だから F1 と F2 は、P にはたらく下向きの 50 N の力1つと同じはたらきをします。これが F1 と F2 の合力です。
P のまわりのモーメントの和が 0 なので、F1 × AP = F2 × PB です(AP は A から P までの長さ、PB は P から B までの長さです)。例では、AP : PB = 0.40 : 0.60 = 2 : 3 で、F2 : F1 = 20 : 30 = 2 : 3 と同じ比です。一般に、合力の作用点は、2力の作用点の間を F2 : F1(力の逆の比)に分ける点です。大きいほうの力(この例では A の 30 N)に近くなります。
下の図では、肩の代わりに三角の台で棒を支えます。棒が水平になる台の位置を探し、そこで左右の「荷物 × 支点からの距離」が等しくなることを確かめます。
棒の重さは考えません。A の荷物は 20 N のままです。距離は、棒が水平のときの支点からの距離で計算します。
やってみよう
まず、B の荷物を 20 N のままにして、支点の位置を動かし、棒が水平になる位置を探してください。次に、B の荷物の「40 N」のボタンを押してください。棒はどうなりましたか。もう一度水平にするには、支点をどちらへ何 m 動かせばよいですか。
B が 20 N のときは、A から 0.60 m で水平になります(支える力は 40 N)。B を 40 N にすると、B が下がります。支点を B のほうへ 0.20 m 動かして A から 0.80 m にすると、また水平になります(支える力は 60 N)。A から支点までの 0.80 m と、支点から B までの 0.40 m の比 2 : 1 は、荷物の重さの逆の比 40 : 20 と同じです。
確認
軽い棒が水平に止まっているとき、台が棒を支える力は、2つの荷物の重さの和と比べて、大きいですか、小さいですか、等しいですか。
等しいです。止まっている棒では、力の合力が 0 だからです。
例題
長さ 0.90 m の軽い棒の左端に 20 N、右端に 40 N の力が、どちらも下向きにはたらいています。2つの力の合力の大きさと、その作用点が左端から何 m の所にあるかを求めなさい。
答え: 合力の大きさは 60 N(下向き)、作用点は左端から 0.60 m
物体の各部分にはたらく重力をすべて合成した1つの力の作用点を、重心といいます。
物体のどの部分にも、重力がはたらいています。たとえば棒なら、左の端の部分にも、真ん中の部分にも、右の端の部分にも、それぞれ下向きの重力がはたらきます。これらの重力は、どれも下向きで平行です。項目1 の方法で合成していくと、1つの下向きの力にまとまります。その大きさは、物体全体の重さです。この合力の作用点を、重心 といいます。重心は G で表します(G は、英語で重心を表す center of gravity の頭文字です)。物体にはたらく重力は、重心に1本の矢印でまとめて描けます。
太さ(板なら厚さ)や材質がどこも同じ物体を、一様な物体といいます。一様な棒を、小さな部分に分けます。真ん中から左右に同じ距離だけ離れた2つの部分を、1組にして考えます。2つの部分の重力は同じ大きさなので、項目1 の方法で合成すると、作用点は2つの間を 1 : 1 に分ける点、つまり棒の真ん中です。どの組も真ん中にまとまるので、一様な棒の重心は、棒の真ん中です。だから、一様な棒の重力は、棒の真ん中から1本の矢印で描きます。一様な長方形の板も同じように考えられ、重心は板の真ん中(2本の対角線の交わる点)です。
30 cm の定規を、指1本の上に水平に載せられるのは、指が定規の真ん中(15 cm の所)の真下にあるときです。一様な定規なので、そこが重心です。重心の真下で支えると、重力の作用線(重心を通る鉛直な線)は、支える点を通ります。支える点のまわりで考えると、重力も支える力も、作用線が支える点を通るので、モーメントは 0 です。だから、定規は傾きません。
厚紙の板の1点に画びょうをさし、壁にとめてつるします。板にはたらく力は、重心にはたらく重力と、画びょうが板を支える力です。重心が、画びょうを通る鉛直な線からずれていると、重力の作用線は画びょうを通りません。画びょうのまわりの重力のモーメントが 0 でないので、板は回ります。板は、重心が画びょうの真下に来た所で止まります。
だから、画びょうから真下へ糸を垂らし、糸に沿って板に線を描くと、重心はその線の上のどこかにあります。別の点でつるし直して、もう1本線を描くと、重心はその線の上にもあります。2本の線の交わる点が重心です。下の図で、2回つるして重心を見つけます。
板は一様な厚紙です。画びょうのまわりは、なめらかに回るとします。
やってみよう
「A でつるす」を押して線を描き、次に「B でつるす」を押してください。2本の線は、板の上のどこで交わりましたか。最後に「C でつるす」を押すと、3本目の線もその点を通りますか。
2本の線は、L 字の内側の角の近く(縦長の部分の中)の1点で交わり、そこに「重心 G」の印が出ます。C でつるした3本目の線も、同じ点を通ります。どこでつるしても、重心は画びょうの真下に来るからです。
確認
重心は、必ず物体の中(物体がある所)にありますか。
いいえ。たとえば一様な輪(ドーナツの形の板)の重心は、輪の真ん中の、穴の所にあります。
質量 m1・m2 の2つの物体が位置 x1・x2 にあるとき、重心の位置は xG = (m1x1 + m2x2) ÷ (m1 + m2) です。
重心の位置を数で表すために、棒に沿って x 軸を決めます。原点を1つ決め、右を正の向きとします。x1 は物体1の位置、x2 は物体2の位置、xG は重心 G の位置です。原点はどこに取ってもかまいません。ただし、1つの問題の中では、どの位置も同じ1つの原点から測ります。
軽い棒の、x = 0.20 m の所に 3.0 kg のおもり、x = 0.60 m の所に 1.0 kg のおもりを固定します。棒とおもりを合わせて1つの物体と考えます。おもりにはたらく重力は、3.0 kg のほうが 3.0g、1.0 kg のほうが 1.0g です(g は重力加速度の大きさ)。どちらも下向きで平行なので、重心はこの2力の合力の作用点です。項目1 より、作用点は2つのおもりの間を、力の逆の比 1.0g : 3.0g = 1 : 3 に分ける点です。2つのおもりの間は 0.60 − 0.20 = 0.40 m です。これを 1 : 3 に分けると、0.40 m を 4 等分した 0.10 m と 0.30 m になります。重心は、重い 3.0 kg のおもりから 0.10 m の所で、xG = 0.20 + 0.10 = 0.30 m です。
一般に、x1 に質量 m1、x2 に質量 m2 の物体があり、x1 < x2 とします。重心 G は2つの間にあります。G のまわりのモーメントの和が 0 なので、m1g × (xG − x1) = m2g × (x2 − xG) です。左辺は G の左の物体、右辺は G の右の物体のモーメントの大きさです。両辺を g で割ると、g は消えます。重心の位置は、質量と位置だけで決まります。かっこを外すと m1xG − m1x1 = m2x2 − m2xG で、xG の項を左辺に集めると (m1 + m2)xG = m1x1 + m2x2 です。
上の例で確かめると、xG = (3.0 × 0.20 + 1.0 × 0.60) ÷ (3.0 + 1.0) = 1.2 ÷ 4.0 = 0.30 m で、同じ答えです。物体が3つ以上でも、分子に「質量 × 位置」をすべて足し、分母に質量の和を置けば、重心の位置が求められます。
重心の真下で支えると、棒は水平のまま止まります。
確認
2つの物体の質量が等しいとき、重心はどこにありますか。
2つの物体のちょうど真ん中です。力の比が 1 : 1 なので、間を 1 : 1 に分ける点になります。
例題
軽い棒の、x = 0.10 m の所に 2.0 kg、x = 0.60 m の所に 3.0 kg のおもりを固定しました。棒とおもりを合わせた物体の重心の位置を求めなさい。
答え: x = 0.40 m
一様な板は、重心の分かる長方形に分け、それぞれの重心にその部分の質量が集まっていると考えて、x と y を別々に求めます。
図2 でつるして重心を見つけた L 字形の厚紙の板を、今度は計算で調べます。板全体の重力は、板の各部分の重力の合力です。合力は順番にまとめてよいので、まず板を2つの長方形に分け、それぞれの長方形の重力を、その長方形の重心(一様な長方形なので真ん中)にまとめます。すると、板は「2つの長方形の重心に、それぞれの質量がある物体」と同じになり、重心の式 xG = (m1x1 + m2x2) ÷ (m1 + m2) が使えます。
方眼(1 ますは 10 cm)の上に板を置き、板の左下の角を原点、右を x の正の向き、上を y の正の向きとします。縦長の長方形 P は、x が 0〜30 cm、y が 0〜60 cm です。重心は真ん中の (15 cm, 30 cm) です。横長の長方形 Q は、x が 30〜60 cm、y が 0〜30 cm です。重心は真ん中の (45 cm, 15 cm) です。一様な板では、質量は面積に比例します。P は 3 × 6 = 18 ます、Q は 3 × 3 = 9 ますです。式の分子と分母のどちらにも「1 ますの質量」が掛かり、割ると消えるので、質量の代わりにます目の数を使えます。
横の位置は、x の値だけで重心の式を使います。xG = (18 × 15 + 9 × 45) ÷ (18 + 9) = (270 + 405) ÷ 27 = 675 ÷ 27 = 25 cm です。重心は、P の重心と Q の重心を結ぶ線分を、質量の逆の比に分ける点です。だから縦の位置も、y の値だけで同じ形の式で求められます。
yG = (18 × 30 + 9 × 15) ÷ 27 = (540 + 135) ÷ 27 = 675 ÷ 27 = 25 cm です。板の重心は (25 cm, 25 cm) です。図2 で2本の線が交わった点です。
板は一様で、1 ますは 10 cm です。座標の単位は cm です。
確認
L 字形の板の重心 G は、P の重心と Q の重心のどちらに近いですか。
P の重心です。G から P の重心までと Q の重心までの距離の比 1 : 2 は、ます目(18 ます と 9 ます)の逆の比と同じで、ます目の多い P のほうに近くなります。
例題
一様な板が、下の図のように、2つの長方形を合わせた形をしています。横長の長方形 P は x が 0〜30 cm、y が 0〜20 cm、その上に付いた長方形 Q は x が 0〜20 cm、y が 20〜40 cm です(1 ますは 10 cm)。板の重心の座標を求めなさい。
答え: (13 cm, 18 cm)
穴のあいた板と切り取った板を合わせると、もとの板になります。もとの板の重心の式を立て、知らない重心の位置について解きます。
一様な長方形の板(横 60 cm・縦 40 cm)から、内側の正方形(横 20 cm・縦 20 cm)を切り取って、穴をあけます。穴は、x が 30〜50 cm、y が 10〜30 cm の所にあります(1 ますは 10 cm、板の左下の角が原点)。この板を長方形に分けて求めようとすると、穴のまわりの4つの長方形になり、手間がかかります。
そこで、逆に考えます。「穴のあいた板」に「切り取った板」をはめ戻すと、「もとの板」になります。もとの板の重心は、長方形の真ん中の (30 cm, 20 cm) で、ます目は 6 × 4 = 24 ますです。切り取った板の重心は、正方形の真ん中の (40 cm, 20 cm) で、ます目は 2 × 2 = 4 ますです。穴のあいた板は 24 − 4 = 20 ますで、重心の x 座標を xG とします。
もとの板は、穴のあいた板(20 ます、重心 xG)と切り取った板(4 ます、重心 40 cm)を合わせた物体です。重心の式の「質量 × 位置」の和 ÷ 質量の和 が、もとの板の重心 30 cm になるので、次が成り立ちます(位置の単位は cm で、数だけで計算します)。
両辺に 24 を掛けると、720 = 20 × xG + 160 です。20 × xG = 720 − 160 = 560 なので、xG = 28 cm です。穴は縦の真ん中(y = 20 cm)にあり、板は上下に対称なので、yG = 20 cm です。穴のあいた板の重心は (28 cm, 20 cm) です。もとの板の重心 (30 cm, 20 cm) から、穴と反対の向き(左)へ 2 cm ずれました。
板は一様で、1 ますは 10 cm です。座標の単位は cm です。
確認
一様な板の、板の重心からずれた所に穴をあけると、重心は穴に近づきますか、遠ざかりますか。
遠ざかります。穴の所の質量がなくなり、残った板の質量は穴と反対の側に多くなるからです。
例題
一辺 40 cm の一様な正方形の板から、右上の角の、一辺 10 cm の正方形を切り取りました。板の左下の角を原点として、残った板の重心の座標を求めなさい(1 ますは 10 cm)。
答え: (19 cm, 19 cm)
この練習問題では、重力加速度の値は使いません。
問1長さ 1.6 m の軽い棒の左端に 10 N、右端に 30 N の力が、どちらも下向きにはたらいています。2つの力の合力の大きさと、その作用点が左端から何 m の所にあるかを求めなさい。
合力の大きさは 40 N(下向き)、作用点は左端から 1.2 m
合力の大きさは 10 + 30 = 40 N。作用点を左端から x [m] とすると、作用点のまわりのモーメントの和が 0 なので 10 × x = 30 × (1.6 − x)、40x = 48、x = 1.2 m。確かめ: 1.2 : 0.40 = 3 : 1 は、力の逆の比 30 : 10 と同じ
問2長さ 1.0 m、重さ 20 N の一様な棒の左端に、30 N のおもりをつるしました。この棒を1点で下から支えて、水平に止めます。支える点は左端から何 m の所ですか。また、支える力の大きさを求めなさい。
左端から 0.20 m、支える力は 50 N
一様な棒の重心は真ん中なので、棒の重力 20 N は左端から 0.50 m にはたらく。おもりが棒を引く力 30 N は左端(0 m)にはたらく。支える点は2力の合力の作用点で、左端から x [m] とすると、30 × x = 20 × (0.50 − x)、50x = 10、x = 0.20 m。支える力は合力の大きさと同じで、30 + 20 = 50 N
問3軽い棒の、x = 0.10 m の所に 1.0 kg、x = 0.40 m の所に 2.0 kg、x = 0.90 m の所に 1.0 kg のおもりを固定しました。棒とおもりを合わせた物体の重心の位置を求めなさい。
x = 0.45 m
分子は「質量 × 位置」の和で 1.0 × 0.10 + 2.0 × 0.40 + 1.0 × 0.90 = 0.10 + 0.80 + 0.90 = 1.8。分母は質量の和で 1.0 + 2.0 + 1.0 = 4.0。xG = 1.8 ÷ 4.0 = 0.45 m
問4長さ 1.0 m の、太さが一様でない棒があります。棒の両端を、天井からつるした2つのばねはかりで支えて水平にすると、左端のばねはかりは 24 N、右端のばねはかりは 36 N を示しました。棒の重心は、左端から何 m の所にありますか。
左端から 0.60 m
棒にはたらく力は、左端の 24 N(上向き)、右端の 36 N(上向き)、重心にはたらく重力(下向き)。力のつり合いから、重力は 24 + 36 = 60 N。重心を左端から x [m] とし、左端のまわりのモーメントを考える(左端の 24 N は左端を通るのでモーメント 0)。右端の 36 N は反時計回りで +36 × 1.0、重力は時計回りで −60 × x。和が 0 なので 36 − 60x = 0、x = 0.60 m
問5一様な板が、下の図のような T 字形をしています。上の横長の長方形は x が 0〜60 cm、y が 40〜60 cm、下の縦長の長方形は x が 20〜40 cm、y が 0〜40 cm です(1 ますは 10 cm)。板の重心の座標を求めなさい。
(30 cm, 38 cm)
上の長方形は 6 × 2 = 12 ますで、重心は (30 cm, 50 cm)。下の長方形は 2 × 4 = 8 ますで、重心は (30 cm, 20 cm)。xG = (12 × 30 + 8 × 30) ÷ (12 + 8) = 600 ÷ 20 = 30 cm(板は x = 30 cm の線について左右対称なので、計算しなくても 30 cm)。yG = (12 × 50 + 8 × 20) ÷ 20 = (600 + 160) ÷ 20 = 760 ÷ 20 = 38 cm
問6一辺 60 cm の一様な正方形の板から、x が 10〜30 cm、y が 10〜40 cm の長方形を切り取って、穴をあけました(板の左下の角を原点、1 ますは 10 cm)。穴のあいた板の重心の座標を求めなさい。
(32 cm, 31 cm)
もとの板は 6 × 6 = 36 ますで、重心は (30 cm, 30 cm)。切り取った板は 2 × 3 = 6 ますで、重心は (20 cm, 25 cm)。穴のあいた板は 36 − 6 = 30 ます。x について 30 = (30 × xG + 6 × 20) ÷ 36 から 1080 = 30 × xG + 120、xG = 960 ÷ 30 = 32 cm。y について 30 = (30 × yG + 6 × 25) ÷ 36 から 1080 = 30 × yG + 150、yG = 930 ÷ 30 = 31 cm
要点
物理 第2章 剛体