剛体のつり合い(応用)

1解き方の手順(ちょうつがいと糸で支えた棒)

剛体のつり合いの問題は、「力をすべて描く → 力のつり合い → 軸を選んでモーメント」の順で解きます。

壁に取り付ける折りたたみの棚があります。棚板の奥の端をちょうつがいで壁に留め、手前の端をくさりで斜め上の壁につないで、棚板を水平に支えます。ちょうつがいは、ドアを壁に留めている金具と同じです。棚板は、ちょうつがいを軸にして回ることができます。

この棚板を、一様な(太さと材質がどこも同じ)棒とみなします。一様な棒の重心は、棒の真ん中です。くさりは、糸とみなします。棒は、力を加えても形が変わらない物体として扱います。このような物体を剛体といいます。この棒が止まっているとき、糸の張力と、ちょうつがいから棒が受ける力を求めます。

止まっている剛体では、合力が 0 で、どの点のまわりで考えてもモーメントの和が 0 です。力のモーメントは M = Fl です。F は力の大きさ、l は軸から力の作用線までの距離(腕の長さ)です。作用線は、力の矢印をその向きにのばした直線です。反時計回りに回す向きを正とします。

1. 物体にはたらく力をすべて描きます。この棒では、重力(棒の真ん中)、糸の張力(糸に沿って、壁のほうへ斜め上)、ちょうつがいから棒が受ける力(左端)の3つです。
2. 向きが分からない力は、水平の成分と鉛直の成分の2つに分けて置きます。
3. 水平の力のつり合いと、鉛直の力のつり合いの式を立てます。
4. 知らない力が多く通る点を軸にして、モーメントの和 = 0 の式を立てます。

糸は、糸に沿う向きにしか棒を引けません。だから張力の向きは分かっています。ちょうつがいから棒が受ける力の向きは、棒の重さや糸の向きで決まり、棒に沿うとは限りません。向きが分からないので、水平の成分を R_x、鉛直の成分を R_y と書いて、別々に求めます。R の右下の小さな x・y は、水平・鉛直の成分であることを表します。成分の向きは、仮に決めて図に描いておきます。この項目では、R_x を右向き、R_y を上向きに描きます。計算で正の値が出たら、仮に決めた向きのとおりです。負の値が出たら、逆向きだったということです。

知らない力は、張力 T、R_x、R_y の3つです。力のつり合いの式は、水平と鉛直の2つしかないので、それだけでは3つを求められません。そこで、モーメントの式を足します。軸はどこに取ってもよいので、ちょうつがいを軸にします。ちょうつがいの力は軸を通るので、腕の長さが 0 で、モーメントも 0 です。だから、モーメントの式には T だけが残り、すぐに T が求まります。

2壁に立てかけた棒

立てかけた棒は、下端(床に触れる点)を軸にしてモーメントを考えます。止めるのに要る摩擦力が、床が出せる最大の摩擦力以下なら、棒はすべりません。

はしごを部屋の壁に立てかけるとき、下の端(下端)を壁から離しすぎると、下端がすべってはしごが倒れます。この項目の図で、下端を壁から何 m 離すとすべり出すのかを探します。

はしごは、長さ 5.0 m、重さ 40 N の一様な棒とみなします。重心は真ん中です。壁はなめらかで、摩擦はありません。床はあらく、静止摩擦係数は μ(ミュー)= 0.50 です。

はしごにはたらく力は、次の4つです。

• 重力 40 N: はしごの真ん中(重心)から下向き。
• 床の垂直抗力 N₁: 下端から上向き。
• 床の静止摩擦力 f: 下端から、壁のほうへ水平に(左向き)。はしごの下端は、壁から離れる向き(右)へすべろうとするので、摩擦力はその逆向きです。
• 壁の垂直抗力 N₂: 上の端(上端)から、壁から離れる向きへ水平に(右向き)。垂直抗力は触れている面に垂直な力で、壁の面は鉛直なので、水平な向きになります。

N₁・N₂ の小さな数字は、2つの垂直抗力を区別する番号です(1 は床、2 は壁)。

鉛直の力は、N₁(上向き)と重力 40 N(下向き)だけです。だから N₁ = 40 N です。水平の力は、f(左向き)と N₂(右向き)だけです。だから f = N₂ です。N₂ の大きさは、力のつり合いだけでは決まりません。モーメントの式を使います。

下端を軸にすると、そこを通る N₁ と f のモーメントが 0 になり、式から消えます。残るのは、重力と N₂ のモーメントです。

下端を壁から 3.0 m 離したときで考えます。長さ 5.0 m のはしごなので、上端の高さは 4.0 m です(辺が 3 : 4 : 5 の直角三角形)。重力は鉛直な向きなので、作用線は重心を通る鉛直な線です。腕の長さは、下端から重心までの「水平の距離」です。重心ははしごの真ん中なので、下端から壁のほうへ 3.0 ÷ 2 = 1.5 m です。N₂ は水平な向きなので、作用線は上端を通る水平な線です。腕の長さは、下端から上端までの「高さ」の 4.0 m です。どちらの腕の長さも、三角比を使わずに、水平の距離と高さから読めます。

重力は、下端より左(壁の側)で下向きなので、反時計回りで +40 × 1.5 = +60 N·m です。N₂ は、下端より上で右向きなので、時計回りで −N₂ × 4.0 です。和が 0 なので、60 − N₂ × 4.0 = 0 で、N₂ = 60 ÷ 4.0 = 15 N です。水平の力のつり合いの f = N₂ から、止めるのに要る摩擦力も f = 15 N です。

静止摩擦力には上限があります。その上限を最大摩擦力といい、μN(N は床の垂直抗力の大きさ)で求めます。床が出せる最大の摩擦力は、μN₁ = 0.50 × 40 = 20 N です。止めるのに要る摩擦力 f が、μN₁ 以下なら、はしごはすべりません。式で書くと f ≦ μN₁ です(≦ は「以下」の意味)。下端が壁から 3.0 m のときは、15 N ≦ 20 N なので、すべりません。

次の図で、下端を壁から離していき、すべり出す距離を探します。