力学的エネルギー保存の法則(保存される運動)

1自由落下と力学的エネルギー

運動エネルギーと位置エネルギーの和を力学的エネルギーといい、自由落下では、ボールが落ちても力学的エネルギーは変わりません。

質量 m の物体の運動エネルギーは K = 12mv²(v は速さ)、重力による位置エネルギーは U = mgh です。g = 9.8 m/s² は重力加速度の大きさです。U = mgh の h は、基準面(高さ 0 と決めた面)からの高さです。この項目では、地面を基準面とします。

運動エネルギーと位置エネルギーの和を、力学的エネルギーといいます。力学的エネルギーは、記号 E で表します。

地面から高さ 25 m の所から、質量 1.0 kg のボールを静かに放します。このページでは、空気の抵抗は考えません。だから、ボールは自由落下します。自由落下では、放してから t 秒間に落ちる距離は 12gt²、t 秒後の速さは gt です。放してから 1.0 s 後には、ボールは 12 × 9.8 × 1.0² = 4.9 m 落ちています。だから、地面からの高さは 25 − 4.9 = 20.1 m です。速さは v = 9.8 × 1.0 = 9.8 m/s です。

0 s、1.0 s、2.0 s と、地面に着く直前(約 2.26 s)のときの、高さ・速さと3つのエネルギーは、次の表のようになります。エネルギーは、1 J 単位に丸めています。計算の流れを見せるため、高さは丸めずに書きます。

たとえば 1.0 s の列では、K = 12 × 1.0 × 9.8² = 48.02 ≒ 48 J、U = 1.0 × 9.8 × 20.1 = 196.98 ≒ 197 J です。和は E = 48 + 197 = 245 J です。

0 s から 1.0 s の間に、K は 0 J から 48 J へ、48 J 増えました。同じ間に、U は 245 J から 197 J へ、48 J 減りました。1.0 s から 2.0 s の間も、K は 144 J 増え、U は 144 J 減りました。2.0 s から地面に着く直前までは、K は 53 J 増え、U は 53 J 減りました。K が増えた分と、U が減った分が同じなので、和の E は 245 J のまま変わりません。

0 s から 1.0 s の間に、ボールは重力(下向きに 1.0 × 9.8 = 9.8 N)の向きに 4.9 m 動きました。仕事は「力の大きさ × 力の向きに動いた距離」なので、重力がボールにした仕事は、W = 9.8 × 4.9 = 48.02 ≒ 48 J です。物体の運動エネルギーは、された仕事の分だけ変わります(12mv² − 12mv₀² = W。v₀ は仕事をされる前の速さ)。だから K は 48 J 増えます。一方、高さが 4.9 m 下がったので、U = mgh は 1.0 × 9.8 × 4.9 ≒ 48 J 減ります。重力がした仕事の分だけ、U が K に移ったと考えることができます。

このように、重力だけが仕事をするとき、力学的エネルギーは一定に保たれます。これを力学的エネルギー保存の法則といいます。「保存」とは、変わらずに保たれることです。

保存の法則を式で書くときは、はじめの場面と後の場面を、小さな数字で区別します。v₁・h₁ ははじめの速さと高さ、v₂・h₂ は後の速さと高さです。小さい数字は、区別するための番号です。

はじめの力学的エネルギーと、後の力学的エネルギーが等しいので、次の式が成り立ちます。

2なめらかな面をすべる物体

なめらかな面をすべる物体でも、力学的エネルギーは保存されます。静かにすべらせたときの下での速さは、すべり始めの高さだけで決まります。

なめらかな(摩擦のない)面の上に小さな物体を置き、静かにすべらせます。物体にはたらく力は、重力と、面からの垂直抗力の2つです。

垂直抗力は、いつも面に垂直な向きにはたらきます。物体は、面に沿って動きます。だから、垂直抗力の向きと、物体が動く向きは垂直です。力の向きと動く向きが垂直なら、物体は力の向きには少しも動かないので、その力がする仕事は 0 です。曲がった面でも、面の各点で、垂直抗力は動く向きと垂直です(下の図)。

仕事をする力は、重力だけです。だから、なめらかな面をすべる物体でも、力学的エネルギーは保存されます。

物体を、床から高さ h の所から静かにすべらせ、床(面のいちばん下)まで下りたときの速さを v とします。床を基準面とします。はじめは K = 0、U = mgh です。床では K = 12mv²、U = 0 です。保存の法則から、mgh = 12mv² です。両辺に m があるので、両辺を m で割ると、gh = 12v² です。両辺を 2 倍して、v² = 2gh です。だから、v = √2gh です。

高さ 4.0 m なら、v² = 2 × 9.8 × 4.0 = 78.4 なので、v = √78.4 ≒ 8.9 m/s です。式に m が残らなかったので、下での速さは物体の質量によりません。

v = √2gh には、面の傾きや形が入っていません。だから、高さ h が同じなら、急な斜面でも、ゆるやかな斜面でも、曲面でも、下での速さは同じです。ただし、下に着くまでの時間は、面の形によって違います。

曲面では、面の傾きが場所によって変わるので、加速度も場所によって変わります。だから、加速度が一定のときの式(等加速度直線運動の式)は使えません。力学的エネルギー保存の法則なら、はじめと後の高さと速さだけで、途中の形を考えずに速さが求められます。

3ばねにつけた物体

弾性力だけが仕事をするときも、運動エネルギーと弾性力による位置エネルギーの和 12mv² + 12kx² は一定に保たれます。

なめらかな水平の床の上で、ばね定数 20 N/m のばねの左の端を壁に固定し、右の端に質量 0.20 kg の台車をつなぎます。ばね定数 k は、伸び 1 m あたりの弾性力の大きさです(k = 20 N/m なら、0.10 m 伸びたときの弾性力は 20 × 0.10 = 2.0 N)。

台車の位置は、ばねが自然の長さのときの位置を 0 とし、記号 x で表します。このページでは、右(ばねが伸びる向き)を正の向きとします。x = +0.10 m は 0.10 m 伸びた位置、x = −0.10 m は 0.10 m 縮んだ位置です。ばねが x だけ伸び縮みしているとき、ばねは弾性力による位置エネルギー 12kx² をたくわえています。12kx² は x を 2 乗するので、伸びても縮んでも、同じ長さなら同じ値です。

台車を x = +0.10 m まで引いて、静かに放します。台車にはたらく力は、重力・垂直抗力・弾性力です。重力と垂直抗力は、どちらも動く向き(水平)と垂直なので、仕事をしません。仕事をするのは、弾性力だけです。

弾性力だけが仕事をするときも、力学的エネルギーは保存されます。

台車が x = +0.10 m、+0.060 m、0 の位置を通るときの、エネルギーと速さは、次の表のようになります。

はじめ(x = +0.10 m)は止まっているので、K = 0 です。U = 12 × 20 × 0.10² = 0.100 J です。x = +0.060 m では、U = 12 × 20 × 0.060² = 0.036 J です。E は 0.100 J のままなので、K = 0.100 − 0.036 = 0.064 J です。12 × 0.20 × v² = 0.064 から、v² = 0.64 なので、v = 0.80 m/s です。

台車は x = 0 を通り過ぎると、ばねを縮めながら左へ進み、だんだん遅くなります。K が 0 になるのは、U が 0.100 J に戻る所です。12 × 20 × x² = 0.100 から x² = 0.010 なので、x = −0.10 m(0.10 m 縮んだ位置)です。だから、台車は x = +0.10 m と x = −0.10 m の間を往復します。

4保存の法則を使った解き方

力学的エネルギー保存の法則で解くときは、① 仕事をする力を確かめ、② 基準面を決め、③ はじめと後の場面のエネルギーを等号で結びます。

力学的エネルギー保存の法則で問題を解くときは、次の3つの手順で進めます。

① 物体にはたらく力を描き、重力・弾性力のほかに仕事をする力がないことを確かめます。
② 重力による位置エネルギーを使うときは、基準面を決めます。
③ はじめの場面と後の場面を決め、それぞれの K と U を書いて、和を等号で結びます。

① で、重力・弾性力のほかに仕事をする力があれば、力学的エネルギー保存の法則は使えません。

地面から、ボールを真上に速さ v₀ で投げ上げたときの、最高点の高さ h を、この手順で考えます。v₀ は投げ上げた速さです。① ボールにはたらく力は重力だけです。だから、力学的エネルギーは保存されます。② 地面を基準面とします。

③ はじめの場面は、投げた瞬間です。高さは 0 なので、K = 12mv₀²、U = 0 です。後の場面は、最高点です。真上に投げたボールは、最高点で一瞬止まります。だから、K = 0、U = mgh です。2つの和を等号で結ぶと、12mv₀² + 0 = 0 + mgh です。この式から h を求めます。時刻を使わずに、高さが求められます。