反発係数

1床との衝突と反発係数

はね返る速さが当たる速さの何倍かを、反発係数 e といいます。

同じ高さからボールを落としても、はね返る高さはボールによって違います。粘土の玉は、床に当たるとほとんどはね返りません。スーパーボールは、落とした高さの近くまではね返ります。はね返る高さの違いは、床から離れる瞬間の速さの違いから生まれます。速く離れたボールほど、高く上がります。そこで、床に当たる直前の速さと、はね返った直後の速さを比べます。

はね返った直後の速さが、当たる直前の速さの何倍かを、反発係数といいます。「はね返り係数」とも呼びます。反発係数は、記号 e で表します。たとえば、8.0 m/s で床に当たり、6.0 m/s ではね返ったボールなら、e = 6.0 ÷ 8.0 = 0.75 です。e は速さを速さで割った数なので、単位はありません。

この項目では、上向きを正の向きとします。床に当たる直前の速度を v、はね返った直後の速度を v′ とします。v′ の「′」は「衝突後」の印で、v′ は「ブイ・ダッシュ」と読みます。当たる直前のボールは下へ動いているので、v は負です。上の例では v = −8.0 m/s です。はね返った直後は上へ動くので、v′ は正です。上の例では v′ = +6.0 m/s です。v′ は 0 以上、v は負なので、v′ ÷ v は 0 以下になります。前に − を付けて、0 以上の数にします。

はね返った後のボールは、床から上向きに投げ上げたのと同じ運動をします。上りは、落下を逆にたどる運動です。静かに放した物体が高さ h だけ落ちたときの速さ v は v² = 2gh で決まります(g は重力加速度の大きさ 9.8 m/s²)。この関係が、上りにも使えます。だから、はね返った直後の速度 v′ から、上がる高さ h′ が v′² = 2gh′ で求められます。

落とした高さより高くはね返るボールはありません。だから、はね返る速さは、当たる速さより大きくなりません。e は 0 以上 1 以下の数です。0 ≦ e ≦ 1 と書きます。≦ は「小なりイコール」と読み、「以下」の意味です。

e = 1 の衝突を弾性衝突といいます。当たったときと同じ速さではね返ります。0 < e < 1 の衝突を非弾性衝突といいます。当たったときより遅くはね返ります。e = 0 の衝突を完全非弾性衝突といいます。はね返りません。現実のボールの衝突は、ほとんどが非弾性衝突です。

下の図で、はね返りやすさ e を変えると、はね返る高さがどう変わるかを確かめます。

22物体の衝突

2つの物体の衝突では、遠ざかる速さが近づく速さの何倍かが反発係数 e です。運動量保存則と e の式を連立すると、衝突後の速度が求められます。

この項目では、右を正の向きとします。衝突前の速度を v_A・v_B、衝突後の速度を v_A′・v_B′ と書きます。右下の A・B は台車の名前で、v_A′ は「ブイ・エー・ダッシュ」と読みます。なめらかなレールの上で、質量 2.0 kg の台車 A が +2.0 m/s で進み、止まっている質量 2.0 kg の台車 B に当たります。A が左、B が右です。レールがなめらかなので、水平の向きに外から力ははたらきません。だから、衝突の前後で運動量(質量 × 速度)の和は変わりません。これが運動量保存則で、式では m_Av_A + m_Bv_B = m_Av_A′ + m_Bv_B′ と書きます(m_A・m_B は A・B の質量)。

衝突前の運動量の和は、2.0 × 2.0 + 2.0 × 0 = 4.0 kg·m/s です。衝突後に「A が +1.0 m/s、B が +1.0 m/s」なら、和は 2.0 × 1.0 + 2.0 × 1.0 = 4.0 kg·m/s です。衝突後に「A が +0.50 m/s、B が +1.5 m/s」でも、和は 2.0 × 0.50 + 2.0 × 1.5 = 4.0 kg·m/s です。どちらも運動量保存則に合います。運動量保存則だけでは、衝突後の速度は1つに決まりません。和が 4.0 kg·m/s になる組は、ほかにもいくらでもあります。どの組になるかは、ぶつかる面のはね返りやすさで決まります。そこで、2物体の衝突にも反発係数を使います。

衝突前、A は B に、1 s に 2.0 m ずつ近づいています。この 2.0 m/s を「近づく速さ」と呼びます。近づく速さは、v_A − v_B = 2.0 − 0 = 2.0 m/s と、速度の差で表せます。B が動いているときも同じです。A が +3.0 m/s、B が +1.0 m/s なら、近づく速さは 3.0 − 1.0 = 2.0 m/s です。この場面では A が B の左にあり、A が B に近づいているので、v_A − v_B は正です。

衝突後に「A が +0.50 m/s、B が +1.5 m/s」なら、B が前を進むので、2台は 1 s に 1.0 m ずつ離れていきます。この 1.0 m/s を「遠ざかる速さ」と呼びます。遠ざかる速さは、v_B′ − v_A′ = 1.5 − 0.50 = 1.0 m/s です。衝突前と同じ順(A − B)で書くと v_A′ − v_B′ = −1.0 m/s と負になるので、前に − を付けて −(v_A′ − v_B′) と書きます。

遠ざかる速さが、近づく速さの何倍かを、2物体の反発係数 e とします。

上の2つの場合で計算すると、「+1.0 と +1.0」では e = −(1.0 − 1.0) ÷ 2.0 = 0、「+0.50 と +1.5」では e = −(0.50 − 1.5) ÷ 2.0 = 0.50 です。床との衝突の式 e = −v′v は、B を動かない床(v_B = 0、v_B′ = 0)とした場合です。

衝突後の速度は、次の手順で求めます。

1. 右を正の向きと決め、どの速度にも符号を付けます。
2. 運動量保存則の式を書きます。
3. 反発係数の式を書きます。
4. 2つの式を連立して、v_A′ と v_B′ を求めます。

知りたい速度が2つあるので、式も2つ要ります。

下の図で、B の質量とぶつかる面に付けるものを変えると、衝突後の2台の動きがどう変わるかを確かめます。

3斜めの衝突

なめらかな床に斜めに当たるときは、床に平行な成分は変わらず、床に垂直な成分だけが e 倍になって逆向きになります。

この項目では、床に平行な右向きを x の正、床に垂直な上向きを y の正とします。斜めに動くボールの速度は、x の向きの部分(x 成分)と y の向きの部分(y 成分)に分けて考えます。たとえば x 成分が +3.0 m/s なら、ボールは 1 s に右へ 3.0 m ずつ進みます。y 成分が −4.0 m/s なら、1 s に下へ 4.0 m ずつ進みます。

なめらかな床は、ボールを床に垂直な向き(上向き)にしか押しません。床に平行な向きの力(摩擦力)は、はたらきません。衝突の間、ボールが床から受ける力は上向きだけです。重力も下向きにはたらきますが、どちらの力にも床に平行な(x の向きの)成分はありません。

x の向きには力がはたらかないので、速度の x 成分は衝突の前後で変わりません。

y の向きの動きは、項目1 の床との衝突と同じです。ボールは床に当たって、はね返るからです。当たる直前の y 成分を v_y、はね返った直後の y 成分を v_y′ とすると、e = −v_y′v_y です。だから、v_y′ = −e × v_y です。y 成分は、大きさが e 倍になり、向きが逆になります。

速さ 5.0 m/s のボールが、速度の x 成分 +3.0 m/s、y 成分 −4.0 m/s で、なめらかな床に当たるとします。床との反発係数は 0.50 です。x 成分は変わらないので、はね返った直後も +3.0 m/s です。y 成分は、v_y′ = −0.50 × (−4.0) = +2.0 m/s です。

4衝突で失われる運動エネルギー

e が 1 より小さい衝突では、衝突の後に運動エネルギーの和が減ります。

この項目では、右を正の向きとします。項目2 の図と同じ場面を考えます。なめらかなレールの上で、質量 1.0 kg の台車 A が +4.0 m/s で進み、止まっている質量 1.0 kg の台車 B に当たります。衝突前の運動エネルギーの和は、12 × 1.0 × 4.0² + 0 = 8.0 J です。運動エネルギー K = 12mv² は、速度の2乗を使うので、向きによらず 0 以上です。

運動量保存則と反発係数の式から、e = 1.0、0.50、0 のときの衝突後の速度を求め、運動エネルギーの和を計算すると、次の表のようになります。

たとえば e = 0.50 の列では、12 × 1.0 × 1.0² + 12 × 1.0 × 3.0² = 0.50 + 4.5 = 5.0 J です。どの列も、運動量の和は衝突前と同じ 4.0 kg·m/s です。

e = 1.0 では、運動エネルギーの和は 8.0 J のままです。e = 0.50 では 8.0 − 5.0 = 3.0 J、e = 0 では 8.0 − 4.0 = 4.0 J 減りました。衝突前の和から衝突後の和を引いた分を、失われた運動エネルギーといいます。失われた運動エネルギーは、なくなったのではなく、衝突のときの音や熱、物体の変形に使われています。e が小さいほど、失われる運動エネルギーは大きくなります。