斜方投射

1初速度を横と縦に分ける

斜めに投げた初速度は、横(水平)の成分と縦(鉛直)の成分に分けて考えます。

地面から、球を斜め上に投げます。球は、前へ進みながら上がっていき、いちばん高い所を過ぎると、前へ進みながら落ちてきます。斜め上に投げた物体の運動を斜方投射といいます。このページでも、空気の抵抗は考えません。

曲がった動きは、そのままでは式にしにくいものです。そこで、前のページの水平投射と同じく、横の動きと縦の動きに分けて考えます。重力加速度の向きは鉛直下向きで、大きさは g = 9.8 m/s² です。横の向きの加速度はありません。だから、横は等速、縦は速さが変わる動きになります。

この資料では、投げた点を原点、投げた向きの水平を x の正の向き、鉛直上向きを y の正の向きとします。投げた時刻を 0 とします。前のページの水平投射では、下向きを正にしました。斜方投射は上がってから落ちる運動なので、鉛直投射のページの投げ上げと同じく、上向きを正にします。y は「投げた点から上へ何 m の所にいるか」を表します。y が負の数なら、投げた点より下にいることを表します(鉛直投射のページと同じ)。

球を投げた瞬間の速度(初速度)も、横と縦に分けます。たとえば、投げた瞬間に、球が「横に 1 秒あたり 14.7 m」「上に 1 秒あたり 19.6 m」の割合で進み始めたとします。これは、横向きに 14.7 m/s、上向きに 19.6 m/s の2つの速度を合わせた速度です。2つは直角なので、合わせた速さは、速度の合成(平面上)のページと同じく三平方の定理で求めます。√(14.7² + 19.6²) = √600.25 = 24.5 m/s です。つまり、「斜めに 24.5 m/s で投げた」ことは、「横に 14.7 m/s、上に 19.6 m/s で同時に投げた」と考えられます。

初速度の x 成分を v_0x と書きます。「ブイ・ゼロ・エックス」と読みます。初速度の y 成分を v_0y と書きます。「ブイ・ゼロ・ワイ」と読みます。小さい 0 は「時刻 0(投げた瞬間)の」、x・y は「どの向きの成分か」を表します。上の例では、v_0x = 14.7 m/s、v_0y = +19.6 m/s です。上向きに投げたので、v_0y は正の数です。

問題では、初速度が「速さ v₀ と角度 θ」で与えられることが多くあります。θ は、水平から上へ測った、投げる角度です。x 軸の正の向きから反時計回りに測った角なので、速度の合成(平面上)のページの θ と同じです。成分は、そのページと同じく三角比で求めます。

よく使う角の値は、そのページの表と同じです。cos 30° ≒ 0.866、sin 30° = 0.500、cos 45° = sin 45° ≒ 0.707、cos 60° = 0.500、sin 60° ≒ 0.866 です。斜めに投げたとき、縦の初速度 v_0y は v₀ より小さくなります。初速度の矢印は直角三角形の斜辺で、v_0y はそれより短い縦の辺だからです。

2横と縦の動き

斜方投射は、横に v_0x の等速直線運動と、縦に v_0y で投げ上げた運動を、同時に行う運動です。

項目1で見たとおり、横の速さは変わりません。だから、横の速度はずっと初速度の x 成分のままで、v_x = v_0x です。項目1の数値(v_0x = 14.7 m/s)なら、球は 1 秒ごとに、横へ 14.7 m ずつ進みます。式で書くと、x = v_0xt です。

縦の動きは、上向きに v_0y で投げ上げた運動と同じです。鉛直投射のページの投げ上げの式で、初速度 v₀ を v_0y に、速度 v を v_y に置き換えます。

項目1の数値(v_0y = +19.6 m/s)なら、縦の動きは、鉛直投射のページで 19.6 m/s で投げ上げたときと、まったく同じになります。

横に 14.7 m/s、上に 19.6 m/s の初速度で投げたときの、1 秒ごとの位置と速度は、次の表のようになります。

たとえば t = 1.0 s では、x = 14.7 × 1.0 = 14.7 m です。y = 19.6 × 1.0 − 12 × 9.8 × 1.0² = 19.6 − 4.9 = 14.7 m です。v_y = 19.6 − 9.8 × 1.0 = 9.8 m/s です。x は 1 秒ごとに 14.7 m ずつ、同じだけ増えます。v_x はずっと 14.7 m/s です。v_y は 1 秒ごとに 9.8 m/s ずつ減ります。

t = 3.0 s の列を読みます。x = 44.1 m、y = 14.7 m は、「投げた点から横に 44.1 m、上に 14.7 m の所にいる」という意味です。v_y = −9.8 m/s は、「縦には、下向きに 9.8 m/s の速さで落ちている途中」という意味です。横には、このときも 14.7 m/s で進んでいます。

表の (x, y) を、横軸 x・縦軸 y の図に打ってなめらかにつなぐと、山の形の曲線になります。図の横も縦も位置なので、この曲線は球が実際に通った道です。前のページの水平投射と同じく、この曲線も放物線といいます。

上がっている間も、いちばん高い所でも、落ちている間も、加速度は下向きに 9.8 m/s² のままです。

3最高点

斜方投射の最高点は、縦の速度が v_y = 0 になる点です。横の速度 v_x は、最高点でも残っています。

項目2の表で、縦の速度 v_y が 0 になるのは t = 2.0 s です。2.0 s までは v_y が + で、球は上がっています。2.0 s からあとは v_y が − で、球は下がっています。だから、t = 2.0 s のときがいちばん高く、y = 19.6 m です。鉛直投射のページと同じく、この点を最高点といいます。

最高点を求めるときは、v_y = 0 とおきます。

縦の速度の式 v_y = v_0y − gt に、v_y = 0 を入れます。v_0y = 19.6 m/s なら、0 = 19.6 − 9.8 × t です。9.8 × t = 19.6 なので、t = 19.6 ÷ 9.8 = 2.0 s です。表と同じです。最高点までの時間を決めるのは、縦の初速度 v_0y だけです。v_0x は関係しません。

最高点までの時間 t = 2.0 s を、縦の位置の式に入れます。y = 19.6 × 2.0 − 12 × 9.8 × 2.0² = 39.2 − 19.6 = 19.6 m です。

鉛直投射のページの時間を使わない式 v² − v₀² = −2gy の v を v_y に、v₀ を v_0y に置き換えると、次の式になります。

v_y = 0、v_0y = 19.6 m/s を入れると、0² − 19.6² = −2 × 9.8 × y です。y = 384.16 ÷ 19.6 = 19.6 m で、上と同じ答えになります。

最高点に着くまでの 2.0 s の間も、球は横へ 14.7 m/s で進んでいます。だから、最高点の横の位置は、x = v_0xt = 14.7 × 2.0 = 29.4 m です。最高点は、投げた点から横に 29.4 m、上に 19.6 m の所です。

4水平到達距離と投げる角度

投げた点と同じ高さ(y = 0)に戻ってきたときの x を、水平到達距離といいます。

項目2の表で、縦の位置が y = 0 に戻るのは t = 4.0 s です。最高点までは 2.0 s でした。4.0 s は、その2倍です。鉛直投射のページの投げ上げと同じく、上がるのに 2.0 s、下がるのに 2.0 s かかっています。そのときの横の位置は、x = 14.7 × 4.0 = 58.8 m です。投げた点と同じ高さに戻るまでに、横に進んだ距離を水平到達距離といいます。この例では 58.8 m です。

水平到達距離は、次の2つの手順で求めます。1つ目に、縦の位置の式で y = 0 とおき、戻ってくる時刻を求めます。y = v_0yt − 12gt² に、y = 0 と v_0y = 19.6 m/s を入れます。12 × 9.8 = 4.9 なので、0 = 19.6t − 4.9t² です。右辺を t でくくると、t × (19.6 − 4.9t) = 0 です。t = 0 は投げた瞬間なので、19.6 − 4.9t = 0 から、t = 19.6 ÷ 4.9 = 4.0 s です。2つ目に、その時刻を横の位置の式に入れます。x = v_0xt = 14.7 × 4.0 = 58.8 m です。時間は縦の動きだけで決まり、その時間に横へどれだけ進むかで、距離が決まります。

投げる速さを 19.6 m/s に決めて、角度 θ だけを変えて比べます。項目1の式(v_0x = v₀ cos θ、v_0y = v₀ sin θ)で成分を求め、上の2つの手順で時間と距離を求めると、次の表のようになります。

30° では、縦の初速度が小さいので、空中にいる時間が 2.0 s と短くなります。60° では、空中にいる時間は 3.5 s と長くなりますが、横の初速度が 9.8 m/s と小さくなります。45° では、空中にいる時間も横の初速度も 30° と 60° の中間で、この3つの中では水平到達距離がいちばん大きくなります。

30° と 60° では、v_0x と v_0y の値が入れかわっています(17.0 と 9.8)。30° では、横 16.97 m/s で 2.0 s 進むので、x = 16.97 × 2.0 = 33.94 ≒ 33.9 m です。60° では、横 9.8 m/s で 3.46 s 進むので、x = 9.8 × 3.46 = 33.908 ≒ 33.9 m です。空中にいる時間は v_0y に比例し、距離はそれに v_0x を掛けたものです。v_0x と v_0y が入れかわっても、掛け算の答えは同じなので、距離が同じになります。

3つの角度に限らず、投げる速さが同じなら、45° のときにいちばん大きくなります。ただし、これは投げた点と同じ高さの地面に落ちるときの話です。高い台から投げて、投げた点より下に落ちるときは、45° で最大になるとは限りません。

発展 斜面への投射

斜面の上端から水平に投げた球が斜面に当たるのは、落ちた距離 y と横の距離 x の比が、斜面の上の点の比と同じになるときです。傾き 45° の斜面なら y = x です。

傾きが 45° の、長い下り斜面があります。斜面のいちばん上の端から、球を水平に 19.6 m/s で投げます。球は放物線をえがいて落ち、斜面のどこかに当たります。ここでは、前のページの水平投射と同じく、投げた点を原点、投げた向きの水平を x の正の向き、鉛直下向きを y の正の向きとします。このページの項目1〜4とは、y の正の向きが逆です。y は「投げた点から下へ何 m の所にいるか」を表します。

水平に投げたので、横は x = v₀t、縦は自由落下で y = 12gt² です(前のページの式)。19.6 m/s で投げたとき、1.0 s ごとの位置は次の表のようになります。

傾き 45° の斜面は、横に 1 m 進むごとに、1 m 下がります。だから、斜面の上の点では、投げた点からの落ちた距離 y と横の距離 x が等しく、y = x です。表を見ると、1.0 s から 3.0 s までは y が x より小さいので、球は斜面より上(空中)にいます。4.0 s で y = x = 78.4 m になります。ここで球は斜面に当たります。

斜面に当たるのは y = x のときなので、12gt² = v₀t とおきます。数値を入れると、4.9t² = 19.6t です。両辺を t で割ると(t = 0 は投げた瞬間なので除きます)、4.9t = 19.6 なので、t = 4.0 s です。当たる点の横の距離は、x = 19.6 × 4.0 = 78.4 m です。落ちた距離も 78.4 m です。

斜面の傾きが 45° でなくても、考え方は同じです。斜面の上の点では、y と x の比が、斜面の傾きで決まります。たとえば、横に 2 m 進むごとに 1 m 下がる斜面なら、y = 12x とおきます。