等加速度直線運動

1速度の変わり方と加速度

1 秒あたりに速度がどれだけ変わるかを、加速度といいます。

あなたと友だちが、まっすぐな道を自転車で右へ進みます。時刻 0 に、あなたは原点で止まっていて、そこからこぎ出します。友だちは、時刻 0 に原点を 4.0 m/s で通り過ぎ、そのままの速度で進みます。動画では、1 秒ごとに場面を止めて、2人の速度を見せています。

1 秒ごとの2人の速度は、次の表のようになります。

あなたの速度は、1 秒ごとに 2.0 m/s ずつ増えています。友だちの速度は、ずっと +4.0 m/s のままで、変わりません。

このように、1 秒あたりに速度がどれだけ変わるかを表す量を加速度といいます。あなたの加速度は、1 秒あたり 2.0 m/s です。これを 2.0 m/s² と書きます。

m/s² は「メートル毎秒毎秒」と読みます。「1 秒あたり、速度が何 m/s 変わるか」という意味です。速度の単位 m/s を、さらに時間 s で割るので、s が2回出てきます。これをまとめて s² と書きます。式で書くと、m/s ÷ s = m/s² です。速度の単位 m/s とは別の単位です。2.0 m/s² は「速度が 2.0 m/s」という意味ではありません。

加速度は、速度の変化を、かかった時間で割って求めます。速度の変化は Δv と書きます。Δ は「デルタ」と読み、「後の値 − 前の値」を表す記号でした(「速さと速度・等速直線運動」のページ)。Δv は「v の変化」と読みます。かかった時間は Δt と書きます。「t の変化」、つまり後の時刻 − 前の時刻です。加速度は記号 a で表します。

表のあなたで計算します。時刻 0 から 4.0 s までに、速度は 0 から +8.0 m/s に変わりました。Δv = 8.0 − 0 = 8.0 m/s、Δt = 4.0 − 0 = 4.0 s です。a = 8.0 ÷ 4.0 = 2.0 m/s² で、表から読んだ「1 秒あたり 2.0 m/s」と同じになります。

あなたのように、加速度が一定のまま、まっすぐ進む運動を等加速度直線運動といいます。加速度が一定とは、どの 1 秒をとっても、速度の変わり方が同じということです。

友だちの速度は変わらないので、Δv = 0 で、加速度は 0 m/s² です。友だちの運動は、加速度が 0 の場合で、前のページまでの等速直線運動です。

2加速度の向き(符号)

速度の値が減っていくとき、加速度は負になります。

あなたが自転車で右へ 10 m/s で進んでいて、時刻 0 にブレーキをかけ始めます。1 秒ごとの速度は、次の表のようになります。

速度は、1 秒ごとに 2.0 m/s ずつ減っています。

項目1と同じ式 a = Δv / Δt で、加速度を求めます。速度の変化は、後の速度 − 前の速度なので、Δv = 4.0 − 10 = −6.0 m/s です。後の速度のほうが小さいので、Δv は負になります。かかった時間は、Δt = 3.0 − 0 = 3.0 s です。加速度は、a = (−6.0) ÷ 3.0 = −2.0 m/s² です。

加速度の符号は、速度の値が増えるか減るかを表します。項目1では、速度の値が 1 秒に 2.0 m/s ずつ増えたので、加速度は正(+2.0 m/s²)でした。この項目では、速度の値が 1 秒に 2.0 m/s ずつ減るので、加速度は −2.0 m/s² です。右(正の向き)へ進んでいるときは、加速度が正なら速くなり、負なら遅くなります。

表を見ると、ブレーキをかけている間も、速度はずっと + です。つまり、あなたはずっと右へ進んでいます。加速度が −2.0 m/s² でも、左へ進んでいるわけではありません。どちらへ進んでいるかは、速度の符号で決まります。加速度の符号が表すのは、速度の変わり方です。

加速度も向きをもつので、速度と同じように矢印で表せます。この資料では、加速度の矢印を橙色で描きます。加速度が正なら右向き、負なら左向きの矢印で描きます。速度の矢印と同じ決め方です。

下の図の上の段は、項目1の動画で、時刻が 2.0 s のときのあなたです。速度の矢印も加速度の矢印も右向きで、あなたは速くなっていきます。下の段は、この項目のブレーキの例で、時刻が 2.0 s のときのあなたです。速度の矢印は右向き、加速度の矢印は左向きで、あなたは遅くなっていきます。

加速度の矢印が速度の矢印と同じ向きなら速くなり、逆向きなら遅くなります。

3速度の式 v = v₀ + at

等加速度直線運動の t 秒後の速度は、v = v₀ + at で求めます。

時刻 0 のときの速度を v₀ と書きます。v₀ は「ブイ・ゼロ」と読みます。右下の小さい 0 は、「時刻 0 のときの」という印です。v₀ を初速度といいます。t は時刻で、時刻 0 から何秒たったかを表します。v は、時刻 t のときの速度です。

初速度 v₀ = +4.0 m/s、加速度 a = +2.0 m/s² のときを考えます。加速度が +2.0 m/s² なので、速度は 1 秒ごとに 2.0 m/s ずつ増えます。

1 秒に 2.0 m/s ずつ、4.0 s の間に 4 回増えるので、合わせて 2.0 × 4.0 = 8.0 m/s 増えます。だから、4.0 s 後の速度は、4.0 + 8.0 = 12 m/s です。

t 秒の間には、速度は a × t だけ変わります。a が正なら増え、負なら減ります。a × t は、× を省いて at と書きます。t 秒後の速度は、初速度 v₀ に、変わった分 at を足したものです。

上の数値を入れると、v = 4.0 + 2.0 × 4.0 = 12 m/s で、表と同じです。加速度が負のときも、同じ式が使えます。たとえば v₀ = +6.0 m/s、a = −1.0 m/s² なら、4.0 s 後は v = 6.0 + (−1.0) × 4.0 = 2.0 m/s です。

上の表を、v-t グラフに点として打ちます。横軸が時刻 t、縦軸が速度 v です。たとえば点(2.0 s, 8.0 m/s)は、「時刻 2.0 s に、正の向きに速さ 8.0 m/s で進んでいる」という意味です。位置ではありません。速度は 1 秒ごとに同じだけ増えるので、点は右上がりの1本の直線の上に並びます。この直線も、物体が通った道ではありません。

グラフの t = 0 の所(縦軸の上)の高さは、初速度 v₀ = 4.0 m/s です。傾きは、「x-t グラフと v-t グラフ」のページの x-t グラフと同じく、縦の変化 ÷ 横の変化で求めます。v-t グラフでは、縦の変化は Δv、横の変化は Δt なので、傾きは Δv ÷ Δt です。これは加速度 a そのものです。上の例では、横に 1.0 s 進むと縦に 2.0 m/s 上がるので、傾きは 2.0 ÷ 1.0 = 2.0 m/s² です。

加速度が 0 なら、横軸に平行な直線になります(等速直線運動の v-t グラフ)。

4位置の式 x = v₀t + 12at²

時刻 0 にいた場所を原点にすると、時刻 t の位置は、v-t グラフの面積から x = v₀t + 12at² で求められます。

「x-t グラフと v-t グラフ」のページでは、速度が一定のとき、v-t グラフと横軸で囲まれた面積が変位になることを見ました。たとえば +3 m/s で 4 s 進むと、長方形の面積は 3 × 4 = 12 で、変位は +12 m でした。

速度が変わるときも、v-t グラフの面積は変位を表します。項目1の動画のあなたで確かめます。動画では、1 秒ごとにあなたの位置に点が残りました。

このときの v-t グラフは、原点から右上がりの直線です。0 〜 4.0 s の、直線と横軸の間は、底辺 4.0 s、高さ 8.0 m/s の三角形です。三角形の面積は、12 × 4.0 × 8.0 = 16 です。12 は「2 分の 1」と読みます。動画では、あなたは 4.0 s 後に +16 m の位置にいました。面積と同じです。

このページでは、時刻 0 にいた場所を原点にします。そうすると、0 〜 t の面積(変位)が、そのまま時刻 t の位置 x になります。

初速度 v₀ = +2.0 m/s、加速度 a = +2.0 m/s² で、4.0 s 進むときを考えます。速度は、項目3の式で、4.0 s 後に v = 2.0 + 2.0 × 4.0 = 10 m/s になります。v-t グラフの 0 〜 4.0 s の面積を、下の長方形と上の三角形に分けます。

下の長方形は、高さ 2.0 m/s(初速度)、横 4.0 s で、面積は 2.0 × 4.0 = 8.0 です。上の三角形は、底辺 4.0 s、高さ 10 − 2.0 = 8.0 m/s(4.0 s の間に増えた速度)で、面積は 12 × 4.0 × 8.0 = 16 です。合わせて 8.0 + 16 = 24 なので、4.0 s 後の位置は x = +24 m です。

同じことを文字で書きます。下の長方形は、高さ v₀、横 t なので、面積は v₀ × t = v₀t です。上の三角形の高さは、t 秒の間に増えた速度なので、項目3の at です。三角形の面積は、12 × 底辺 t × 高さ at = 12 × a × t × t です。t × t は t² と書き、「t の 2 乗」と読みます。だから三角形の面積は 12at² です。

上の数値を入れると、x = 2.0 × 4.0 + 12 × 2.0 × 4.0² = 8.0 + 16 = 24 m で、面積と同じです。12at² は 12 × a × t × t のことです。2 乗するのは t だけで、a は 2 乗しません。

上の運動(v₀ = +2.0 m/s、a = +2.0 m/s²)の位置を、1 秒ごとに求めます。

1 秒ごとに進む距離は、3.0 m、5.0 m、7.0 m、9.0 m と、だんだん長くなります。速度が増えていくので、同じ 1 秒でも、後の 1 秒ほど長い距離を進むのです。項目1の動画で、あなたの点の間隔がだんだん広がっていった(点は 0、1、4、9、16 m、間隔は 1、3、5、7 m)のも、同じ理由です。