このページは「等加速度直線運動」の続きです。v0(初速度)、a(加速度)と、速度の式 v = v0 + at、位置の式 x = v0t + 12at2 を使います。
公式
かかった時間が分からなくても、速度と位置は v2 − v02 = 2ax で結べます。
前のページの項目4の例題と同じ運動を考えます。右向きに 2.0 m/s で進んでいた自転車が、加速度 +3.0 m/s² で速くなりました。速くなり始めた場所を原点、そのときの時刻を 0 とします。前のページの例題では、4.0 s 後の位置を x = 2.0 × 4.0 + 12 × 3.0 × 4.02 = 8.0 + 24 = 32 m と求めました。4.0 s 後の速度も、ここで求めておきます。v = 2.0 + 3.0 × 4.0 = 14 m/s です。
この例では、「4.0 s 後」と時間が分かっていたので、2つの式が使えました。しかし、問題には「32 m 進んだときの速度は?」のように、時間が書かれていないこともあります。そのときに使える、時間 t が入っていない式があります。
v2 は v × v のことで、「v の 2 乗」と読みます。v02 は v0 × v0 で、「ブイ・ゼロの 2 乗」と読みます。
最初の自転車の例の数値で、両辺が等しいかを確かめます。左辺は、v2 − v02 = 142 − 2.02 = 196 − 4.0 = 192 です。右辺は、2ax = 2 × 3.0 × 32 = 192 です。両辺とも 192 で、等しくなりました。
この式は、v-t グラフの面積から導けます。下の図は、この運動の v-t グラフです。0 〜 4.0 s の、直線と横軸の間は、台形になっています。台形の平行な2辺は、左の辺 v0 = 2.0 m/s と、右の辺 v = 14 m/s です。台形の高さ(2辺の間の幅)は、時間 4.0 s です。台形の面積は「(上底 + 下底)× 高さ ÷ 2」なので、(2.0 + 14) × 4.0 ÷ 2 = 32 です。面積は変位なので、位置 x = 32 m と同じになります。前のページの「長方形 8.0 + 三角形 24」と同じ面積を、1つの台形として求めたものです。文字で書くと、x = 12(v0 + v)t です。
台形の平行な2辺は v0 と v、高さは t です。
次に、v = v0 + at を「t = 」の形に直します。v − v0 = at なので、t = (v − v0) / a です。数値では、t = (14 − 2.0) ÷ 3.0 = 4.0 s で、たしかに 4.0 s です。この t を、上の x = 12(v0 + v)t に入れます。
(v + v0) × (v − v0) は、中学で学んだ式の展開で v2 − v02 になります。数値で確かめると、(14 + 2.0) × (14 − 2.0) = 16 × 12 = 192 で、上で求めた左辺の 192 と同じです。だから、x = (v2 − v02) / (2a) です。両辺に 2a を掛けると、2ax = v2 − v02 になります。左右を入れかえると、v2 − v02 = 2ax です。
確認
v2 − v02 = 2ax には、v0、v、a、t、x のうち、どの量が入っていませんか。
時間 t です。だから、時間が分からない問題で使えます。
例題
あなたは自転車で右向きに 4.0 m/s で進んでいて、加速度 +2.0 m/s² で速くなりました。速くなり始めてから 12 m 進んだときの速さを求めなさい。
答え: 8.0 m/s
分かってもいない、聞かれてもいない量を探し、その量が入っていない式を選びます。
等加速度直線運動の問題に出てくる量は、v0(初速度)、v(速度)、a(加速度)、t(時刻)、x(位置)の5つです。これまでに、この5つを結ぶ式を3つ学びました。
3つの式は、それぞれ5つの量のうち1つだけが入っていません。
| 式 | 入っている量 | 入っていない量 |
|---|---|---|
| v = v0 + at | v0、v、a、t | x |
| x = v0t + 12at2 | v0、a、t、x | v |
| v2 − v02 = 2ax | v0、v、a、x | t |
式は、次の手順で選びます。まず、問題で分かっている量と、求める量に印を付けます。5つのうち、印の付かない量が1つ残ります。分かってもいないし、聞かれてもいない量です。その量が入っていない式を、表から選びます。
「止まった」「止まるまで」と書いてあるときは、止まったときの速度 v = 0 を入れます。v = 0 は問題文に数字で書かれていませんが、分かっている量です。
確認
自転車がブレーキをかけてから止まるまでの時間を求めます。分かっているのは、初速度 v0 と加速度 a です。どの式を使いますか。
v = v0 + at です。分かっている量は v0、a と、止まったときの v = 0 です。求めるのは t です。印の付かない量は x なので、x が入っていない v = v0 + at を使います。
例題
あなたは自転車で右向きに 12 m/s で進んでいて、ブレーキをかけました。ブレーキをかけてから 18 m 進んで止まりました。加速度は一定でした。加速度を求めなさい。
答え: −4.0 m/s²
加速度が負のまま速度が 0 になると、物体は向きを変えて戻ってきます。これを折り返すといいます。
この項目からは、なめらかな斜面の上を動く台車を考えます。斜面の下のほうの点から、台車を斜面に沿って上向きに押し出します。斜面に沿って上向きを正の向き、押し出した点を原点、押し出した時刻を 0 とします。項目2までの「右を正の向き」から変わるので、注意してください。
台車を、斜面に沿って上向きに 6.0 m/s で押し出します。初速度は v0 = +6.0 m/s です。この斜面では、台車の加速度は −2.0 m/s² で、上っている間も下っている間も変わりません。なぜ一定になるかは、力を学んでから扱います。ここでは、加速度が一定であることだけを使います。1 秒ごとの速度と位置は、次の表のようになります。速度は v = v0 + at、位置は x = v0t + 12at2 で求めました。
| 時刻 t(s) | 0 | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 | 5.0 | 6.0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 速度 v(m/s) | +6.0 | +4.0 | +2.0 | 0 | −2.0 | −4.0 | −6.0 |
| 位置 x(m) | 0 | +5.0 | +8.0 | +9.0 | +8.0 | +5.0 | 0 |
速度の値は、1 秒ごとに 2.0 m/s ずつ減っていきます。加速度が −2.0 m/s² だからです。0 〜 3.0 s では、速度は + です。台車は斜面を上向きに進みながら、遅くなっていきます。3.0 s で、速度は 0 になります。台車は一瞬止まります。3.0 s を過ぎると、速度は −2.0、−4.0、−6.0 m/s と負になります。速度が負ということは、負の向き、つまり斜面を下向きに進んでいるということです。下っている間、速さは 2.0、4.0、6.0 m/s と大きくなっていきます。
このように、速度が 0 になった所で、物体が進む向きを変えることを折り返すといいます。台車が折り返すのは、速度が 0 になる 3.0 s で、そのときの位置は +9.0 m です。原点から斜面に沿って上へ 9.0 m の所です。
折り返す瞬間、速度は 0 ですが、加速度は −2.0 m/s² のままです。0 にはなりません。加速度が −2.0 m/s² なので、止まった次の 1 秒で、速度は 0 から −2.0 m/s に変わります。だから台車は、止まったままにならず、すぐに下り始めます。加速度の矢印は、上っている間も下っている間も、ずっと斜面に沿って下向きです。前のページの項目2で見たように、加速度の矢印が速度の矢印と逆向きなら遅くなり、同じ向きなら速くなります。上っている間は、速度の矢印(上向き)と加速度の矢印(下向き)が逆向きなので、遅くなります。下っている間は、どちらも下向きなので、速くなります。
v = v0 + at と x = v0t + 12at2 は、折り返したあとも使えます。表の 4.0 〜 6.0 s の値も、同じ式で求めたものです。たとえば 5.0 s では、x = 6.0 × 5.0 + 12 × (−2.0) × 5.02 = 30 − 25 = 5.0 m です。この x は位置です。原点から斜面に沿って上へ 5.0 m の所にいる、という意味です。台車が 5.0 s の間に動いた道のりではありません(道のりは項目5で求めます)。
斜面に沿って上向きを正の向きとしています。加速度は −2.0 m/s² に固定しています。
やってみよう
初速度 v0 を +5.0 m/s にしてください。時刻 t を 0.0 s から 5.0 s まで少しずつ動かすと、速度の矢印の向きが変わるのは、何秒のときですか。そのときの位置は何 m ですか。
速度の矢印は、2.0 s(速度 +1.0 m/s)までは斜面の上向きで、だんだん短くなります。2.5 s で矢印が消えて「速度 0.0 m/s」になり、次の 3.0 s では下向き(速度 −1.0 m/s)になっています。向きが変わるのは、速度が 0 になる 2.5 s で、そのときの位置は +6.3 m です(図の表示)。加速度の矢印は、その間ずっと斜面の下向きで、長さも変わりません。
確認
台車が折り返す瞬間(速度が 0 の瞬間)、加速度も 0 ですか。
いいえ。−2.0 m/s² のままです。
例題
別のなめらかな斜面の上で、台車を斜面に沿って上向きに 3.0 m/s で押し出しました。台車の加速度は −1.0 m/s²(斜面に沿って上向きを正)で一定でした。台車が折り返す時刻と、そのときの位置を求めなさい。押し出した点を原点、押し出した時刻を 0 とします。
答え: 時刻 3.0 s、位置 +4.5 m(原点から斜面に沿って上へ 4.5 m の所)
正の向きに進み、負の加速度で折り返す運動の x-t グラフは山の形になり、いちばん高い点が折り返す時刻と位置を表します。
項目3の台車の位置を、x-t グラフに点として打ちます。横軸が時刻 t、縦軸が位置 x です。
| 時刻 t(s) | 0 | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 | 5.0 | 6.0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 位置 x(m) | 0 | +5.0 | +8.0 | +9.0 | +8.0 | +5.0 | 0 |
点を順になめらかにつなぐと、山の形の曲線になります。
たとえば点(2.0 s, +8.0 m)は、「2.0 s 後に、原点から斜面に沿って上へ 8.0 m の所にいる」という意味です。点(4.0 s, +8.0 m)も、同じ +8.0 m の所です。2.0 s 後には上りながら、4.0 s 後には下りながら、同じ場所を通ります。
グラフの線は、台車が通った道ではありません。台車は、斜面の上の1本の直線を、上って下りてくるだけです。山の形は、「位置 x が時刻とともにどう変わったか」を表しています。
「x-t グラフと v-t グラフ」のページで、x-t グラフの傾きは速度でした。このグラフは曲がっているので、1 秒ごとに区切って、隣り合う2点を結んだ線の傾きを見ます。この傾きは、その 1 秒の位置の変化(後の位置 − 前の位置)を 1.0 s で割ったもので、その 1 秒の平均の速度です。たとえば 0 〜 1.0 s では、位置は 0 から +5.0 m に変わるので、位置の変化は +5.0 m です。この 1 秒の平均の速度は、+5.0 m ÷ 1.0 s = +5.0 m/s です。ほかの 1 秒の位置の変化は、下の図で確かめます。
加速度が負のときは、1 秒ごとの位置の変化の値がだんだん小さくなります。そのため、グラフは山のように下向きに曲がります。加速度が正のときは、1 秒ごとの位置の変化の値がだんだん大きくなり、グラフは谷のように上向きに曲がります。前のページの項目1のあなた(位置 0、+1.0、+4.0、+9.0、+16 m。1 秒ごとの変化 1.0、3.0、5.0、7.0 m)がその例です。
| 時刻 t(s) | 位置 x(m) | その 1 秒の位置の変化 Δx(m) |
|---|---|---|
| 0 | — | |
| 1.0 | ||
| 2.0 | ||
| 3.0 | ||
| 4.0 | ||
| 5.0 | ||
| 6.0 |
やってみよう
時刻 t をいったん 0.0 s にしてから、3.0 s まで 1 目盛りずつ動かし、次に 3.0 s から 6.0 s まで動かしてください。1 秒ごとの位置の変化 Δx は、どう変わりますか。
0.0 s から 3.0 s までは、Δx は +5.0 m、+3.0 m、+1.0 m と、+ のまま小さくなります。グラフは右上がりで、傾きがだんだんゆるくなり、台車は上りながら遅くなっています。3.0 s から 6.0 s までは、Δx は −1.0 m、−3.0 m、−5.0 m と − になります。グラフは右下がりで、台車は下っています。Δx が + から − に変わる 3.0 s が、グラフのいちばん高い点(+9.0 m)で、台車が折り返す時刻と位置です。
確認
x-t グラフが山の形のとき、台車は山の形の道を進んでいますか。
いいえ。山の形は、位置 x が増えてから減ったことを表しています。
v-t グラフの面積は変位で、横軸より下の面積は負の変位です。道のりは、上と下の面積をどちらも正として足します。
項目3の台車の速度を、v-t グラフに点として打ちます。横軸が時刻 t、縦軸が速度 v です。
| 時刻 t(s) | 0 | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 | 5.0 | 6.0 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 速度 v(m/s) | +6.0 | +4.0 | +2.0 | 0 | −2.0 | −4.0 | −6.0 |
点は、右下がりの1本の直線の上に並びます。点(4.0 s, −2.0 m/s)は、「4.0 s 後に、斜面を下向きに速さ 2.0 m/s で進んでいる」という意味です。位置ではありません。直線は、3.0 s で横軸を横切ります。速度が 0 になる、折り返す時刻です。横軸より上は斜面を上向きに進んでいる時間、横軸より下は下向きに進んでいる時間です。前のページで見たように、直線の傾きは加速度です。横に 1.0 s 進むと縦に 2.0 m/s 下がるので、傾きは (−2.0) ÷ 1.0 = −2.0 m/s² です。
v-t グラフの面積は変位でした。横軸より下の面積は、負の変位として数えました(「x-t グラフと v-t グラフ」のページ)。0 〜 6.0 s の面積を、横軸より上の三角形と、横軸より下の三角形に分けます。上の三角形(0 〜 3.0 s)は、底辺 3.0 s、高さ 6.0 m/s で、面積は 12 × 3.0 × 6.0 = 9.0 です。上っている間の変位は +9.0 m です。下の三角形(3.0 〜 6.0 s)も、底辺 3.0 s、高さ 6.0 m/s で、面積は 9.0 です。横軸より下なので、下っている間の変位は −9.0 m です。
0 〜 6.0 s の変位は、+9.0 + (−9.0) = 0 m です。押し出した点(原点)に戻ってきたので、変位は 0 です。項目3の表で、6.0 s の位置が 0 だったことと合っています。
道のりは、実際に動いた長さです(「速さと速度・等速直線運動」のページ)。台車は、上へ 9.0 m 上って、下へ 9.0 m 下りました。だから道のりは、9.0 + 9.0 = 18 m です。v-t グラフでは、上の面積と下の面積を、どちらも正の値として足したものが道のりです。
横軸に時刻 t、縦軸に加速度 a をとったグラフを a-t グラフ といいます。この台車の加速度は、ずっと −2.0 m/s² です。だから a-t グラフは、a = −2.0 m/s² の高さの、横軸に平行な直線になります。横軸より下にあります。
a-t グラフの面積は、速度の変化を表します。加速度は 1 秒あたりの速度の変化なので、加速度 × 時間 = 速度の変化になるからです。0 〜 3.0 s の面積は、(−2.0) × 3.0 = −6.0 です。単位は m/s² × s = m/s で、速度の単位になります。この 3.0 s で、速度は +6.0 m/s から 0 に変わりました。速度の変化は Δv = 0 − 6.0 = −6.0 m/s で、面積と同じです。前のページの v = v0 + at の at は、この a-t グラフの面積のことです。
塗りは横軸より上の面積、斜線は横軸より下の面積です。
やってみよう
時刻 t を 3.0 s から 4.0 s へ動かしてください。4.0 s の変位と道のりの表示は、それぞれいくつですか。
変位は 9.0 − 1.0 = +8.0 m、道のりは 9.0 + 1.0 = 10.0 m です。変位では下の面積を引き、道のりでは足すので、下り始めると2つの値が違ってきます。
確認
時刻 6.0 s で、台車は原点に戻りました。この 6.0 s の道のりも 0 ですか。
いいえ。上へ 9.0 m、下へ 9.0 m 動いたので、道のりは 18 m です。
例題
項目3の台車(初速度 +6.0 m/s、加速度 −2.0 m/s²)について、押し出してから 5.0 s の間の変位と道のりを、v-t グラフから求めなさい。
答え: 変位 +5.0 m(原点から斜面に沿って上へ 5.0 m の所)、道のり 13 m
どの問題も一直線上の運動で、加速度は一定とします。パターン1は右を正の向き、パターン2は斜面に沿って上向きを正の向きとします。
問1右向きに 3.0 m/s で進んでいた自転車が、加速度 +2.0 m/s² で速くなりました。速くなり始めてから 4.0 m 進んだときの速さを求めなさい。
5.0 m/s
時間が分からないので v2 − v02 = 2ax を使う。v2 − 3.02 = 2 × 2.0 × 4.0 なので、v2 − 9.0 = 16。v2 = 16 + 9.0 = 25。2 乗して 25 になる正の数は 5.0 なので、速さは 5.0 m/s
問2右向きに 10 m/s で走っていた自動車がブレーキをかけ、加速度 −2.5 m/s² で遅くなって止まりました。ブレーキをかけてから止まるまでに進んだ距離を求めなさい。
20 m
止まったので v = 0。時間は分からず、聞かれてもいないので、v2 − v02 = 2ax を使う。02 − 102 = 2 × (−2.5) × x なので、−100 = −5.0x。x = (−100) ÷ (−5.0) = 20 m。ブレーキをかけた場所を原点とし、止まるまで右へ進み続けるので、進んだ距離は 20 m
問3なめらかな斜面の上で、台車を斜面に沿って上向きに 4.0 m/s で押し出しました。台車の加速度は −2.0 m/s² で一定でした。押し出した点を原点、押し出した時刻を 0 とします。台車が折り返す時刻と、そのときの位置を求めなさい。
時刻 2.0 s、位置 +4.0 m(原点から斜面に沿って上へ 4.0 m の所)
折り返すとき v = 0。v = v0 + at に入れて 0 = 4.0 + (−2.0) × t。t = 4.0 ÷ 2.0 = 2.0 s。位置は x = 4.0 × 2.0 + 12 × (−2.0) × 2.02 = 8.0 − 4.0 = 4.0 m
問4なめらかな斜面の上で、台車を斜面に沿って上向きに 8.0 m/s で押し出しました。台車の加速度は −2.0 m/s² で一定でした。押し出した点を原点、押し出した時刻を 0 とします。台車が原点に戻ってくる時刻と、それまでに動いた道のりを求めなさい。
時刻 8.0 s、道のり 32 m
原点に戻るのは x = 0 のとき。x = v0t + 12at2 = 8.0t + 12 × (−2.0) × t2 = 8.0t − 1.0t2。8.0t − 1.0t2 = 0 から t × (8.0 − 1.0 × t) = 0。t = 0 は押し出した時刻なので、戻ってくる時刻は t = 8.0 s。道のりを求めるため、折り返す位置を求める。折り返すのは v = 0 のときで、0 = 8.0 + (−2.0) × t から t = 4.0 s。そのときの位置は x = 8.0 × 4.0 − 1.0 × 4.02 = 32 − 16 = 16 m。上へ 16 m 上って、下へ 16 m 下りてきたので、道のりは 16 + 16 = 32 m
図では、初速度 v0 = +8.0 m/s、時刻 t = 4.0 s で速度 0.0 m/s・位置 +16.0 m(折り返す所)になります。続けて時刻 t を 8.0 s にすると、位置 0.0 m になり「原点に戻りました」と表示されます。
問5ある物体が一直線上を動いたときの v-t グラフは、図のような直線でした。(1) 加速度を求めなさい。(2) 物体が折り返す時刻を求めなさい。(3) 折り返したあと、物体は正と負のどちらの向きに進みますか。
(1) −1.5 m/s² (2) 2.0 s (3) 負の向き
(1) 傾きが加速度。0 〜 4.0 s で速度は +3.0 m/s から −3.0 m/s に変わるので、Δv = −3.0 − 3.0 = −6.0 m/s、Δt = 4.0 s。a = (−6.0) ÷ 4.0 = −1.5 m/s²。(2) 直線が横軸を横切る所が v = 0 で、グラフから 2.0 s と読める(式でも 0 = 3.0 + (−1.5) × t から t = 3.0 ÷ 1.5 = 2.0 s)。(3) 2.0 s を過ぎると速度が負になるので、負の向きに進む
問6ある物体が一直線上を動いたときの v-t グラフは、図のような直線でした。0 〜 6.0 s の変位と道のりを求めなさい。また、6.0 s 後に、物体は出発した点からどちらの向きに何 m の所にいますか。
変位 +6.0 m、道のり 10 m。6.0 s 後は、出発した点から正の向きに 6.0 m の所
直線は 4.0 s で横軸を横切る。横軸より上の三角形(0 〜 4.0 s)は 12 × 4.0 × 4.0 = 8.0。横軸より下の三角形(4.0 〜 6.0 s)は 12 × 2.0 × 2.0 = 2.0。変位は +8.0 + (−2.0) = +6.0 m。道のりは 8.0 + 2.0 = 10 m。出発した点を原点とすると、変位 +6.0 m がそのまま 6.0 s 後の位置になる
公式