このページは「等加速度直線運動(2)」までの続きです。x = vt、v = v0 + at、x = v0t + 12at2、v2 − v02 = 2ax と、v-t グラフの面積 = 変位を使います。
公式
1行目は速度が一定のとき、2〜4行目は等加速度直線運動(加速度が一定)のとき
正の向きを決め、分かっている量を書き出してから、式を選びます。
前の2ページの問題は、1つの式で解けるものが中心でした。このページでは、式を2つ続けて使う問題や、運動が途中で変わる問題を解きます。どの問題も、次の4つの手順で解きます。
「止まった」「止まるまで」と書いてあれば、止まったときの速度は v = 0 です。数字で書かれていなくても、分かっている量です。正の向きと逆向きの速度や加速度には、マイナスを付けて書きます。
手順3では、前のページの表をもう一度使います。
| 式 | 入っていない量 |
|---|---|
| v = v0 + at | x |
| x = v0t + 12at2 | v |
| v2 − v02 = 2ax | t |
速度が一定のとき(加速度が 0 のとき)は、等速直線運動の x = vt を使います。
上の表の3つの式には、どれも加速度 a が入っています。そのため、a が分かってもいないし、聞かれてもいない問題では、表から式を1つに決められません。そのときは、先に a を求めます。それから、a を使って、聞かれている量を求めます。このように、1つの式で求まらないときは、先に別の量を求めてから、次の式を使います。
確認
進む向きを正の向きとしたとき、ブレーキをかけて遅くなっている物体の加速度の符号は、+ と − のどちらですか。
− です。速度は + のままですが、速度の値が減っていくので、加速度は − になります。
例題
右向きに 10 m/s で走る自転車がブレーキをかけ、一定の加速度で遅くなって、25 m 進んで止まりました。ブレーキをかけてから止まるまでの時間を求めなさい。
| v0 | v | a | t | x |
|---|---|---|---|---|
| +10 m/s | 0 | 分からない | ? | +25 m |
答え: 5.0 s
運動が途中で変わるときは、区間に分け、区間ごとの変位を足します。
電車が駅を出て、次の駅で止まるまでを考えます。電車が進む向きを正の向き、出発した駅を原点、駅を出た時刻を 0 とします。電車は、0 〜 10 s で速くなって 20 m/s になります。10 〜 30 s は、20 m/s のまま走ります。30 〜 40 s で遅くなって、次の駅に止まります。
この運動の v-t グラフは、下の図のような台形になります。グラフは (0, 0) → (10 s, 20 m/s) → (30 s, 20 m/s) → (40 s, 0) の折れ線です。たとえば点(10 s, 20 m/s)は、「10 s 後に、正の向きに 20 m/s で進んでいる」という意味です。グラフの線は、電車が通った道ではありません。電車は、まっすぐな線路を進んでいるだけです。
この電車は、10 s と 30 s で、速度の変わり方が変わります。加速度が一定なのは、0 〜 10 s、10 〜 30 s、30 〜 40 s のそれぞれの区間の中だけです。だから、0 〜 40 s の全体に、1本の式を使うことはできません。たとえば、0 〜 10 s の加速度 +2.0 m/s² のまま 40 s 後の速度を v = v0 + at で求めると、v = 0 + 2.0 × 40 = 80 m/s になってしまいます。実際の 40 s 後の速度は 0 です。そこで、運動を3つの区間に分けて考えます。
区間ごとに、加速度 a = Δv / Δt を求めます。
| 区間 | 速度の変化 Δv | かかった時間 Δt | 加速度 a |
|---|---|---|---|
| 加速(0 〜 10 s) | 0 → 20 m/s で +20 m/s | 10 s | +2.0 m/s² |
| 等速(10 〜 30 s) | 20 → 20 m/s で 0 | 20 s | 0 |
| 減速(30 〜 40 s) | 20 → 0 で −20 m/s | 10 s | −2.0 m/s² |
10 s のときの 20 m/s は、加速の区間の終わりの速度で、等速の区間の始まりの速度でもあります。区間の境目で、速度はつながっています。
v-t グラフの面積は変位でした。区間ごとに、面積を求めます。加速の区間は、底辺 10 s、高さ 20 m/s の三角形で、面積は 12 × 10 × 20 = 100 です。変位は +100 m です。等速の区間は、横 20 s、高さ 20 m/s の長方形で、面積は 20 × 20 = 400 です。変位は +400 m です。減速の区間は、底辺 10 s、高さ 20 m/s の三角形で、面積は 12 × 10 × 20 = 100 です。変位は +100 m です。
加速の区間は、止まっていた電車が、加速度 +2.0 m/s² で 10 s 進む運動です。位置の式で求めると、x = v0t + 12at2 = 0 × 10 + 12 × 2.0 × 102 = 100 m で、面積と同じです。
3つの区間の変位を足すと、100 + 400 + 100 = 600 m です。電車はずっと正の向きに進んだので、駅から駅までの距離は 600 m です。
塗った部分の面積が、0 〜 t の変位です。グラフの線は、電車が通った道ではありません。
やってみよう
時刻 t を 30.0 s にしてから、35.0 s へ、次に 40.0 s へ動かしてください。同じ 5 s でも、変位の増え方は同じですか。それぞれ何 m 増えますか。
30.0 s から 35.0 s では 75.0 m、35.0 s から 40.0 s では 25.0 m 増えます。遅くなるほど、同じ 5 s で塗られる面積が小さくなります。
確認
電車が等速で走っている区間(10 〜 30 s)の加速度は、いくつですか。
0 m/s² です。速度が 20 m/s のまま変わらないからです。
例題
止まっていた自転車が、一定の加速度で速くなり、5.0 s で 8.0 m/s になりました。その速さのまま 6.0 s 進み、そのあと一定の加速度で遅くなって、4.0 s で止まりました。動き出してから止まるまでに進んだ距離を求めなさい。
答え: 84 m
自動車の停止距離は、等速で進む空走距離と、等加速度で遅くなる制動距離の2つの区間に分けて求めます。
自動車を運転する人が、前に何かを見つけて、ブレーキの必要に気づいたとします。気づいた所から、自動車が止まるまでに進む距離を停止距離といいます。停止距離は、次の2つの区間に分けて考えます。
運転する人が気づいてから、ブレーキを踏み、ブレーキが効き始めるまでには、少し時間がかかります。この時間を反応時間といいます。この項目では、反応時間を 1.0 s とします。
反応時間の間は、ブレーキがまだ効いていません。だから自動車は、気づいたときと同じ速度のまま進みます。等速直線運動です。反応時間の間に進む距離を空走距離といいます。等速なので、x = vt で求めます。たとえば 10 m/s で走っているなら、空走距離は 10 × 1.0 = 10 m です。
ブレーキが効き始めてから、自動車が止まるまでに進む距離を制動距離といいます。この間、自動車は一定の加速度で遅くなります。等加速度直線運動です。この項目では、ブレーキが効いている間の加速度を −5.0 m/s² とします(進む向きが正)。
制動距離を式で求めるときは、ブレーキが効き始めた所を原点、そのときを時刻 0 にし直します。v0 は、ブレーキが効き始めたときの速度です。空走の間は速度が変わらないので、気づいたときの速度と同じです。
止まるので、v = 0 です。時間は分かっておらず、聞かれてもいないので、t が入っていない v2 − v02 = 2ax を使います。10 m/s のときは、02 − 102 = 2 × (−5.0) × x なので、−100 = −10x です。x = (−100) ÷ (−10) = 10 m で、制動距離は 10 m です。
停止距離は、空走距離と制動距離の和です。10 m/s のときは、10 + 10 = 20 m です。
気づいたときの速度を 10、20、30 m/s と変えて、同じように求めると、次の表のようになります。
| 気づいたときの速度 v0(m/s) | 10 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|
| 空走距離(m) | 10 | 20 | 30 |
| 制動距離(m) | 10 | 40 | 90 |
| 停止距離(m) | 20 | 60 | 120 |
速度が 10 m/s から 20 m/s へ 2 倍になると、空走距離は 10 m から 20 m へ 2 倍になります。空走距離は v0 × 1.0 なので、速度と同じ倍率で増えます。
制動距離は、10 m から 40 m へ 4 倍になります。制動距離は、0 − v02 = 2 × (−5.0) × x から、x = v02 ÷ 10 です。v0 が 2 倍になると、v02 は 2 × 2 = 4 倍になるので、制動距離も 4 倍になります。速度が 3 倍の 30 m/s なら、制動距離は 3 × 3 = 9 倍の 90 m です。
反応時間は 1.0 s、ブレーキが効いている間の加速度は −5.0 m/s² に固定しています。
やってみよう
気づいたときの速度 v0 を +15.0 m/s にしてから、+30.0 m/s へ変えてください。空走距離と制動距離は、それぞれ何倍になりましたか。
空走距離は 15.0 m から 30.0 m で 2 倍、制動距離は 22.5 m から 90.0 m で 4 倍になりました。
確認
運転する人がブレーキの必要に気づいてから、ブレーキが効き始めるまでの間、自動車の速度は変わりますか。
変わりません。ブレーキがまだ効いていないからです。
例題
自動車が 72 km/h で走っているときに、運転する人がブレーキの必要に気づきました。反応時間は 1.0 s、ブレーキが効いている間の加速度は −5.0 m/s²(進む向きが正)です。停止距離を求めなさい。
答え: 60 m
後ろの人が前の人に追いつくのは、2人の位置が等しくなるときです。
あなたと友だちが、まっすぐな道を自転車で右へ進みます。進む向き(右)を正の向きとし、時刻 0 に2人が並んでいた所を原点とします。時刻 0 に、あなたは原点で止まっていて、そこから加速度 +2.0 m/s² でこぎ出します。友だちは、時刻 0 に原点を +4.0 m/s で通り過ぎ、そのままの速度で進みます。「等加速度直線運動」のページの項目1の動画と同じ場面です。
友だちは等速なので、位置は x = vt = 4.0t です。あなたは止まった所から速くなるので、位置は x = v0t + 12at2 = 12 × 2.0 × t2 = 1.0t2 です。1 秒ごとの2人の位置と、2人の間の距離は、次の表のようになります。
| 時刻 t(s) | 0 | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 |
|---|---|---|---|---|---|
| 友だちの位置(m) | 0 | +4.0 | +8.0 | +12 | +16 |
| あなたの位置(m) | 0 | +1.0 | +4.0 | +9.0 | +16 |
| 2人の間の距離(m) | 0 | 3.0 | 4.0 | 3.0 | 0 |
表の位置を、x-t グラフに点として打ちます。友だちの点は1本の直線に、あなたの点は谷のように曲がる線に並びます。たとえば友だちの線の点(1.0 s, +4.0 m)は、「1.0 s 後に、友だちは原点から右へ 4.0 m の所にいる」という意味です。2本の線は、2人が通った道ではありません。2人は、同じ1本のまっすぐな道を進んでいます。
表の 4.0 s を見ると、2人とも +16 m の所にいます。同じ時刻に同じ場所にいるので、ここであなたが友だちに追いつきます。x-t グラフでは、2本の線が交わる点(4.0 s, +16 m)が、追いつく時刻と場所です。
追いつく時刻は、「友だちの位置 = あなたの位置」として求めます。4.0t = 1.0t2 です。左辺を右辺へ移すと、t2 − 4.0t = 0 です。t でくくると、t × (t − 4.0) = 0 なので、t = 0 か t = 4.0 s です。
t = 0 は、出発の瞬間です。2人とも原点にいますが、これは追いついたのではなく、並んで出発しただけです。だから、追いつくのは t = 4.0 s です。その場所は、x = 4.0 × 4.0 = 16 m、原点から右へ 16 m の所です。4.0t = 1.0t2 の両辺を t で割ると、t = 4.0 だけが出てきて、t = 0 が見えなくなります。t でくくる形にすれば、t = 0 と t = 4.0 s の2つが出てきます。
表の「2人の間の距離」は、0、3.0、4.0、3.0、0 m と、2.0 s でいちばん大きくなります。2人の速度を、1 秒ごとに並べます。あなたの速度は v = v0 + at = 2.0t です。
| 時刻 t(s) | 0 | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 |
|---|---|---|---|---|---|
| 友だちの速度(m/s) | +4.0 | +4.0 | +4.0 | +4.0 | +4.0 |
| あなたの速度(m/s) | 0 | +2.0 | +4.0 | +6.0 | +8.0 |
2.0 s までは、前にいる友だちのほうが速いので、2人の間は開いていきます。2.0 s を過ぎると、後ろのあなたのほうが速くなるので、2人の間は縮んでいきます。だから、この場面で2人の間がいちばん開くのは、2人の速度が等しくなる 2.0 s のときで、間の距離は 8.0 − 4.0 = 4.0 m です。
2人の速度が等しくなる 2.0 s は、間がいちばん開く時刻で、追いつく時刻ではありません。追いつく 4.0 s では、あなたの速度は +8.0 m/s、友だちの速度は +4.0 m/s で、等しくありません。
グラフの線は、2人が通った道ではありません。2人は同じまっすぐな道を進んでいます。
やってみよう
時刻 t を 4.0 s にしてから、5.0 s まで 1 目盛り(0.5 s)ずつ動かしてください。前にいるのはどちらですか。2人の間は開いていきますか、縮んでいきますか。
4.5 s で 2.3 m、5.0 s で 5.0 m(どちらも「あなたが前」)と、間は開いていきます。あなたの速度(+9.0、+10.0 m/s)のほうが、友だちの速度(+4.0 m/s)より大きいからです。
確認
あなたが友だちに追いつく瞬間、2人の速度は同じですか。
いいえ。追いつく 4.0 s では、あなたは +8.0 m/s、友だちは +4.0 m/s です。
例題
友だちは自転車で、原点を右向きに 3.0 m/s で通り過ぎ、そのまま同じ速度で進みます。同じ時刻に、あなたは原点で止まっていた自転車で、右向きに加速度 +2.0 m/s² でこぎ出します。あなたが友だちに追いつくのは何秒後ですか。また、それは原点からどちら向きに何 m の所ですか。
答え: 3.0 s 後、原点から右向きに 9.0 m の所(+9.0 m)
どの問題も一直線上の運動で、物体が進む向きを正の向きとします。加速度は、運動が変わらない区間の中では一定とします。
問1電車が一直線上を動いたときの v-t グラフは、図のような折れ線でした。(1) 0 〜 4.0 s、4.0 〜 10 s、10 〜 12 s の、それぞれの加速度を求めなさい。(2) 0 〜 12 s の変位を求めなさい。
(1) 0 〜 4.0 s は +2.0 m/s²、4.0 〜 10 s は 0 m/s²、10 〜 12 s は −4.0 m/s² (2) +72 m
(1) 0 〜 4.0 s は a = (8.0 − 0) ÷ 4.0 = 2.0 m/s²。4.0 〜 10 s は速度が変わらないので 0 m/s²。10 〜 12 s は a = (0 − 8.0) ÷ 2.0 = −4.0 m/s²。(2) 区間ごとの面積は、三角形 12 × 4.0 × 8.0 = 16、長方形 6.0 × 8.0 = 48、三角形 12 × 2.0 × 8.0 = 8.0。合わせて 16 + 48 + 8.0 = 72 なので、変位は +72 m
問2止まっていた自転車が、加速度 +1.5 m/s² で 4.0 s 速くなりました。そのあと、その速さのまま 10 s 進み、最後に一定の加速度で遅くなって、3.0 s で止まりました。自転車が動き出してから止まるまでに進んだ距離を求めなさい。
81 m
加速の区間の終わりの速度は、v = v0 + at = 0 + 1.5 × 4.0 = 6.0 m/s。これが等速の区間の速度で、減速の区間の始まりの速度でもある。v-t グラフは (0, 0) → (4.0 s, 6.0 m/s) → (14 s, 6.0 m/s) → (17 s, 0) の台形。加速の区間は 12 × 4.0 × 6.0 = 12、等速の区間は 10 × 6.0 = 60、減速の区間は 12 × 3.0 × 6.0 = 9.0。合わせて 12 + 60 + 9.0 = 81 なので、81 m。区間の境目の速度(6.0 m/s)を先に求めるのがポイント
問3自動車が 90 km/h で走っているときに、運転する人がブレーキの必要に気づきました。反応時間は 1.0 s、ブレーキが効いている間の加速度は −5.0 m/s² です。空走距離、制動距離、停止距離をそれぞれ求めなさい。
空走距離 25 m、制動距離 63 m、停止距離 88 m
90 km/h = 90 ÷ 3.6 m/s = 25 m/s。空走距離は x = vt で 25 × 1.0 = 25 m。制動距離は、ブレーキが効き始めた所を原点にして、v2 − v02 = 2ax に v = 0、v0 = 25 m/s、a = −5.0 m/s² を入れる。02 − 252 = 2 × (−5.0) × x なので、−625 = −10x、x = (−625) ÷ (−10) = 62.5 ≒ 63 m。停止距離は 25 + 62.5 = 87.5 ≒ 88 m(途中の 62.5 は丸めずに足し、最後に丸める)
図では、気づいたときの速度を +25.0 m/s にすると、「+25.0 m/s(90.0 km/h)」「停止距離 = 空走 25.0 + 制動 62.5 = 87.5 m」と表示されます。
問4自動車が 54 km/h で走っているときに、運転する人がブレーキの必要に気づきました。反応時間は 0.80 s で、気づいてから止まるまでに 27 m 進みました。ブレーキが効いている間の加速度を求めなさい。加速度は一定とします。
−7.5 m/s²
54 km/h = 54 ÷ 3.6 m/s = 15 m/s。空走距離は 15 × 0.80 = 12 m。27 m は停止距離なので、制動距離は 27 − 12 = 15 m。ブレーキが効き始めた所を原点にして、v2 − v02 = 2ax に v = 0、v0 = 15 m/s、x = 15 m を入れる。02 − 152 = 2 × a × 15 なので、−225 = 30a、a = (−225) ÷ 30 = −7.5 m/s²。27 m をそのまま制動距離として使わないこと。マイナスなので、進みながら遅くなった
問5友だちは自転車で、原点を右向きに 5.0 m/s で通り過ぎ、そのまま同じ速度で進みます。同じ時刻に、あなたは原点で止まっていた自転車で、右向きに加速度 +2.0 m/s² でこぎ出します。あなたが友だちに追いつくのは何秒後ですか。また、それは原点から右へ何 m の所ですか。
5.0 s 後、原点から右へ 25 m の所(+25 m)
右を正の向きとする。友だちの位置は x = 5.0t、あなたの位置は x = 12 × 2.0 × t2 = 1.0t2。追いつくのは位置が等しいときなので、5.0t = 1.0t2。t2 − 5.0t = 0 から t × (t − 5.0) = 0 で、t = 0 か t = 5.0 s。t = 0 は出発の瞬間なので、追いつくのは 5.0 s 後。場所は x = 5.0 × 5.0 = 25 m
問6友だちは自転車で、原点を右向きに 6.0 m/s で通り過ぎ、そのまま同じ速度で進みます。同じ時刻に、あなたは原点で止まっていた自転車で、右向きに加速度 +1.5 m/s² でこぎ出します。あなたが友だちに追いつくまでの間で、2人の間がいちばん開くのは何秒後ですか。また、そのときの2人の間の距離を求めなさい。
4.0 s 後、12 m
前にいる友だちのほうが速い間は、2人の間が開いていく。間がいちばん開くのは、2人の速度が等しくなるとき。あなたの速度は v = 1.5t なので、1.5t = 6.0 から t = 6.0 ÷ 1.5 = 4.0 s。そのときの友だちの位置は 6.0 × 4.0 = 24 m、あなたの位置は 12 × 1.5 × 4.02 = 12 m。間の距離は 24 − 12 = 12 m。(参考: 追いつくのは 6.0t = 0.75t2 から t = 8.0 s。速度が等しくなる 4.0 s と取り違えないこと)
問7右向きに 4.0 m/s で進んでいた自転車が、一定の加速度で速くなり、6.0 s 後に速度が +10 m/s になりました。この 6.0 s の間に進んだ距離を求めなさい。
42 m
速くなり始めた所を原点とする。分かっている量は v0 = +4.0 m/s、v = +10 m/s、t = 6.0 s、求める量は x。分かってもいない、聞かれてもいない量は a だが、3つの式はどれも a を含むので、先に a を求める。v = v0 + at から 10 = 4.0 + a × 6.0、a = (10 − 4.0) ÷ 6.0 = 1.0 m/s²。次に x = v0t + 12at2 = 4.0 × 6.0 + 12 × 1.0 × 6.02 = 24 + 18 = 42 m。右へ進み続けたので、進んだ距離は 42 m
問8右向きに進んでいた自転車がブレーキをかけ、一定の加速度で遅くなって、2.0 s で止まりました。ブレーキをかけてから止まるまでに、9.0 m 進みました。ブレーキをかける前の速さと、ブレーキ中の加速度を求めなさい。(ヒント: v-t グラフをかいて考えましょう。)
速さ 9.0 m/s、加速度 −4.5 m/s²
ブレーキをかけた所を原点とする。分かっている量は v = 0、t = 2.0 s、x = +9.0 m。v0 と a の2つが分からないので、3つの式のどれも、1つだけでは解けない。そこで v-t グラフを使う。v-t グラフは、v0 から 2.0 s で 0 まで下がる直線で、横軸との間は底辺 2.0 s、高さ v0 の三角形。面積が変位なので、12 × 2.0 × v0 = 9.0、v0 = 9.0 m/s。次に v = v0 + at に入れて 0 = 9.0 + a × 2.0、a = (−9.0) ÷ 2.0 = −4.5 m/s²。(確かめ: x = 9.0 × 2.0 + 12 × (−4.5) × 2.02 = 18 − 9.0 = 9.0 m で合う)
公式
1行目は速度が一定のとき、2〜4行目は等加速度直線運動(加速度が一定)のとき