速度の合成と相対速度(平面上)

1平面上の速度は矢印で表す

平面の上では、速度を矢印で表します。矢印の向きが動く向き、矢印の長さが速さです。

一直線の上では、動く向きが右と左の2つしかないので、+ と − で向きを表せました。

広い広場を上から見たところを考えます。広場を転がるボールは、図の右にも、図の上(奥)にも、斜めにも進めます。平面の上では、動く向きが無数にあります。だから、+ と − の2つだけでは、向きを表しきれません。

そこで、速度を矢印で表します。矢印の向きは、ボールが動く向きです。矢印の長さは、速さです。たとえば、右向きに 3.0 m/s で転がるボールの速度は、右向きの矢印で表します。右向きに 6.0 m/s なら、向きは同じで、長さが2倍の矢印になります。このように、向きと大きさをもつ量をベクトルといいます。速度はベクトルです。

速度を、向きも含めて表すときは、v の上に矢印を付けて v と書きます。v は「ブイ・ベクトル」と読みます。矢印を付けない v は、速度の大きさ、つまり速さだけを表します。右向きに 3.0 m/s の速度なら、v は「右向きに 3.0 m/s」、v は「3.0 m/s」です。

2速度の合成(川を横切る船)

2つの速度を合わせた速度は、矢印をつないで求めます。

川を上から見たところを考えます。川の水は、右向きに流れています。船を、向こう岸(図の上の岸)へ真っすぐ向けて進めます。船の先は向こう岸を向いたままですが、船は流れに流されて、右へずれながら斜めに進みます。

岸から見た流れの速度を v₁ と書きます。流れのない水の上で、船が自分の力で進む速度を v₂ と書きます。流れのない水の上での速さを静水での速さといいます。v₂ の大きさが、静水での速さです。右下の小さい数字は、2つの速度を区別するための番号です。岸から見た船の速度は、数字を付けずに v と書きます。

流れの速さが 3.0 m/s、船の静水での速さが 4.0 m/s のときを考えます。1 秒の間に、流れは船を右(下流)へ 3.0 m 運びます。同じ 1 秒の間に、船は自分の力で、向こう岸の向き(上)へ 4.0 m 進みます。岸から見ると、船は 1 秒後に、出発点から右へ 3.0 m、上へ 4.0 m の所にいます。出発点からその点までの斜めの距離は、三平方の定理で求めます。√(3.0² + 4.0²) = √25 = 5.0 m です。船は 1 秒に斜めに 5.0 m 進むので、岸から見た船の速さは 5.0 m/s です。

このことを矢印で表します。まず、流れの速度 v₁ の矢印を描きます。次に、v₁ の矢印の先に、船の速度 v₂ の矢印の根元をつないで描きます。v₁ の根元から、v₂ の先へ引いた矢印が、岸から見た船の速度 v です。

このように速度を足し合わせることを、速度の合成といいます。v₁ と v₂ を根元をそろえて描くと、v は、2つの矢印を2辺とする平行四辺形の対角線になります。この場面では2つの矢印が直角なので、長方形の対角線です。

v₁ と v₂ が直角のときは、v の大きさ(速さ)v を、三平方の定理で求められます。

上の数値を入れると、v = √(3.0² + 4.0²) = 5.0 m/s です。速さをそのまま足して、3.0 + 4.0 = 7.0 m/s としてはいけません。2つの速度の向きがちがうからです。

船を下流(右)へ向けて進めると、v₁ と v₂ は同じ右向きになります。このときは矢印が一直線に並ぶので、岸から見た速さは、そのまま足して 3.0 + 4.0 = 7.0 m/s です。直線上のページの v = v₁ + v₂ は、矢印が一直線に並ぶときの合成でした。

川幅が 20 m のとき、向こう岸に着くまでの時間を考えます。流れは岸に沿った向きなので、船を向こう岸へ近づけません。船を向こう岸へ近づけるのは、船が自分の力で進む 4.0 m/s だけです。船は 1 秒に 4.0 m ずつ向こう岸へ近づくので、着くまでの時間は 20 ÷ 4.0 = 5.0 s です。この時間は、流れの速さが変わっても 5.0 s のままです。流れの速さで変わるのは、どこに着くかです。流れが 3.0 m/s なら、5.0 s の間に 3.0 × 5.0 = 15 m 下流へ流されます。

3速度の分解と成分

斜めの速度は、横(x)の向きと縦(y)の向きの2つの速度に分けて表せます。

斜めの速度を、横と縦に分けて考えるために、座標の軸を決めます。この資料では、右を x 軸の正の向き、上を y 軸の正の向きとします。物理で向きが決まっているわけではなく、この資料での約束です。

右上へ斜めに、5.0 m/s で進むボールを考えます。このボールは、1 秒後に、出発点から右へ 4.0 m、上へ 3.0 m の所にいるとします。斜めの距離は √(4.0² + 3.0²) = 5.0 m なので、たしかに 1 秒に 5.0 m 進んでいます。このボールの動きは、「右へ 1 秒に 4.0 m」と「上へ 1 秒に 3.0 m」の2つの動きを合わせたものと見られます。つまり、斜めの速度 5.0 m/s は、右向きの 4.0 m/s と上向きの 3.0 m/s に分けられます。項目2では2つの速度を合わせました。ここでは反対に、1つの速度を2つに分けています。

1つの速度を、x 軸の向きと y 軸の向きの2つに分けることを、速度の分解といいます。分けてできた2つの速度を、もとの速度の成分といいます。x 軸の向きの成分を x 成分といい、v_x と書きます。「ブイ・エックス」と読みます。y 軸の向きの成分を y 成分といい、v_y と書きます。「ブイ・ワイ」と読みます。右下の小さい文字は、どの軸の向きの成分かを表します。上のボールでは、v_x = 4.0 m/s、v_y = 3.0 m/s です。

速度の向きは、角で表すこともできます。x 軸の正の向き(右)から、反時計回りに測った角を θ と書きます。θ は「シータ」と読みます。速度の矢印 v と、その成分は、直角三角形をつくります。斜辺が v、横の辺が v_x、縦の辺が v_y です。数学Iで習った三角比を使うと、cos θ = v_x ÷ v、sin θ = v_y ÷ v です。これを書きかえると、成分は次の式で求められます。

よく使う角の三角比は、次の表のとおりです。

30° と 60° では、cos と sin の値が入れかわります。45° では、cos と sin が同じ値です。

速さ 6.0 m/s で、θ = 45° の向きに進むボールの成分を求めます。v_x = 6.0 × cos 45° ≒ 6.0 × 0.707 = 4.242 ≒ 4.2 m/s です。v_y = 6.0 × sin 45° ≒ 6.0 × 0.707 = 4.242 ≒ 4.2 m/s です。45° は右と上のちょうど真ん中の向きなので、x 成分と y 成分が同じ大きさになります。

2つの速度を合成するときは、x 成分どうし、y 成分どうしを足しても求められます。項目2の船では、流れの速度は x 成分 3.0 m/s・y 成分 0 m/s、船の速度は x 成分 0 m/s・y 成分 4.0 m/s です。足すと、x 成分 3.0 m/s・y 成分 4.0 m/s になり、岸から見た船の速度と同じです。この考え方は、次の項目4で使います。

4川を真向かいに渡る

船を真向かいの岸に着けるには、船の先を上流へ傾けて、流れを打ち消します。

項目2では、船を向こう岸へ真っすぐ向けたので、船は下流へ流されて斜めに進みました。ここでは、出発点の真正面にある向こう岸の点に着くことを考えます。この点を、出発点の真向かいの点と呼ぶことにします。

流れの速さは 3.0 m/s です。船の静水での速さは 5.0 m/s です。船の先を、真っすぐ向こう岸ではなく、少し上流(左)へ傾けて進めます。

項目3と同じように、船の速度 v₂ を2つの成分に分けます。1つは、流れに沿った向きの成分です。船の先を上流へ傾けたので、この成分は上流向き(左向き)です。もう1つは、川を横切る向き(上向き)の成分です。

船の速度の上流向きの成分が、ちょうど 3.0 m/s になるように傾けたとします。1 秒の間に、流れは船を下流へ 3.0 m 運びます。同じ 1 秒の間に、船は自分の力で上流へ 3.0 m 進みます。2つが打ち消し合うので、岸から見ると、船は流れに沿った向きには動きません。だから、船は岸から見て真っすぐ向こう岸へ進み、真向かいの点に着きます。

項目3の最後で見たように、x 成分どうしを足して、このことを確かめます。右が x 軸の正の向きなので、右(下流)へ向かう流れの速度の x 成分は +3.0 m/s です。船の速度の上流向きの成分は左向きなので、x 成分は −3.0 m/s です。直線上のページで、左向きの速度に − を付けたのと同じです。足すと、(+3.0) + (−3.0) = 0 m/s です。岸から見た船の速度の x 成分が 0 m/s になり、式でも、流れの向きに動かないことが確かめられます。

船の速度 v₂ の大きさ 5.0 m/s は、2つの成分を2辺とする直角三角形の斜辺です。斜辺が 5.0 m/s、1辺が上流向きの成分 3.0 m/s なので、残りの1辺が横切る向きの成分です。三平方の定理から、横切る向きの成分は √(5.0² − 3.0²) = √16 = 4.0 m/s です。横切る向きにだけ進むので、岸から見た船の速さも 4.0 m/s です。

川幅が 20 m のとき、船は 1 秒に 4.0 m ずつ向こう岸へ近づきます。真向かいの点に着くまでの時間は、20 ÷ 4.0 = 5.0 s です。

同じ船を、項目2のように向こう岸へ真っすぐ向けたとします。このときは、静水での速さ 5.0 m/s のすべてが、向こう岸へ近づくのに使われます。着くまでの時間は 20 ÷ 5.0 = 4.0 s です。その代わり、4.0 s の間に 3.0 × 4.0 = 12 m 下流へ流されます。真向かいに渡るときは、上流へ傾けた分だけ向こう岸へ近づく速さが小さくなるので、時間が長くかかります。

この項目の船は、静水での速さ 5.0 m/s が流れの速さ 3.0 m/s より速いので、真向かいに着けました。真向かいに着けるのは、このように、船の静水での速さが流れの速さより速いときだけです。静水での速さが流れの速さと同じだと、流れを打ち消すのに全部使ってしまい、向こう岸へ近づく分が残りません。流れより遅いと、流れを打ち消すこともできません。

5平面上の相対速度(自転車から見た雨)

平面上でも、A から見た B の速度は v_AB = v_B − v_A で求めます。引き算は「逆向きの矢印を足す」と考えます。

直線上のページでは、A から見た B の速度(相対速度)を v_AB = v_B − v_A で求めました。見られるものの速度から、見る人の速度を引きます。ここでは、同じ考え方を平面に広げます。

風のない日に、雨が降っています。地面から見ると、雨粒は真下へ 4.0 m/s で落ちています。あなたは、自転車で右へ 3.0 m/s で走っています。この場面を、横から見たところを考えます。式で書くために、あなたを A、雨粒を B とします。

あなたの頭から 3.0 m 前、4.0 m 上に、雨粒が1つあるとします。地面から見ると、この雨粒は 1 秒の間に、真下へ 4.0 m 落ちます。同じ 1 秒の間に、あなたは右へ 3.0 m 進みます。だから 1 秒後に、雨粒はちょうどあなたの頭に落ちてきます。あなたから見ると、地面や木は左へ流れていき、この雨粒も、1 秒の間に下へ 4.0 m 落ちながら、後ろ(左)へ 3.0 m 流れて、あなたの所に来ます。斜めの距離は √(3.0² + 4.0²) = 5.0 m なので、あなたから見た雨粒の速さは 5.0 m/s です。あなたから見ると、雨は前の上のほうから、斜めに降ってくるように見えます。

平面では、矢印の引き算を「逆向きの矢印を足す」と考えます。v_A と同じ長さで、逆向きの矢印を −v_A と書きます。「マイナス・ブイ・エー・ベクトル」と読みます。この場面では、v_A は右向きに 3.0 m/s なので、−v_A は左向きに 3.0 m/s です。

A から見た B の速度 v_AB は、次の式で求めます。

v_AB の右下の2文字は、直線上のページと同じく、見る人(A)が先、見られるもの(B)が後です。逆向きの矢印を足すのは、見る人から見ると、止まっているものは、見る人の速度と逆向きに流れて見えるからです。電車の窓から見ると、外の建物が電車と逆向きに流れていくのと同じです。動いているものには、この逆向きの動きが加わって見えます。

この場面では、v_B(下向きに 4.0 m/s)の先に、−v_A(左向きに 3.0 m/s)をつなぎます。2つの矢印は直角なので、v_AB = √(4.0² + 3.0²) = 5.0 m/s です。上で求めた 5.0 m/s と同じになります。