このページは「速さと速度・等速直線運動」「x-t グラフと v-t グラフ」の続きです。この資料では右を正の向きとし、速度の向きを符号(+ と −)で表します。
公式
同じ運動でも、誰から見るかで速度は変わります。
空港に、まっすぐな動く歩道があります。歩道は、床の上を右向きに、1 秒に 1.0 m ずつ進みます。あなたは歩道に乗り、歩かずに立っています。友だちは、歩道の横の床に立っています。時刻 0 に、あなたは友だちのちょうど真横にいます。
この項目では、見る人がいる場所を原点にします。友だちから見るときは、友だちの場所が原点です。あなたから見るときは、あなたの場所が原点です。あなたが床の上を進むと、原点もいっしょに進みます。どちらから見るときも、右を正の向きとします。
友だちから見ると、あなたは 1 秒に 1.0 m ずつ右へ進みます。だから、友だちから見たあなたの速度は +1.0 m/s です。
あなたから見ると、あなた自身は止まっています。あなたから見ると、友だちが 1 秒に 1.0 m ずつ左へ遠ざかっていきます。だから、あなたから見た友だちの速度は −1.0 m/s です。電車の窓から外を見ると、駅や建物が後ろへ流れていくように見えます。それと同じことです。
このように、同じ場面でも、見る人によって速度の値が変わります。だから速度を言うときは、誰から見た速度かを決めておく必要があります。ふだん「速度」と言うときは、地面から見た速度のことです。この場面では、床から見た速度がそれにあたります。前のページまでに出てきた速度も、すべて地面から見た速度です。
やってみよう
動画を再生してください。前半(0:00〜、床に立つ友だちから見ると)の終わりに、あなたは物差しの何 m の所にいますか。後半(0:07〜、あなたから見ると)の終わりに、友だちは物差しの何 m の所にいますか。
前半の終わりには、あなたは 3 m の所(友だちの右 3 m)にいます。後半の終わりには、友だちは −3 m の所(あなたの左 3 m)にいます。どちらも、1 秒に 1.0 m ずつ 3 秒動いた位置です。床や柱も、友だちといっしょに左へ流れます。同じ場面でも、見る人によって、動いて見えるのが誰か、どちら向きに動くかが変わります。
確認
ある人が止まっているかどうかは、誰から見たかを決めなくても言えますか。
言えません。あなたから見ると、歩道に立っているあなた自身は止まっています。しかし、床にいる友だちから見ると、右へ 1.0 m/s で動いています。
動く歩道の上を歩く人の、床から見た速度は、歩道の速度と、歩道の上で歩く速度の和です。
ここからは、あなたが動く歩道の上を歩く場面を考えます。床から見た歩道の速度を v1、歩道の上であなたが自分の足で歩く速度を v2 と書きます。v1 は「ブイ・イチ」、v2 は「ブイ・ニ」と読みます。右下の小さい数字は、2つの速度を区別するための番号です。v2 は、止まった床の上で同じように歩いたときの速度と同じ値です。床から見たあなたの速度は、数字を付けずに v と書きます。
歩道の速度が v1 = +1.0 m/s、歩道の上で歩く速度が v2 = +1.5 m/s のときを考えます。1 秒の間に、歩道はあなたを右へ 1.0 m 運びます。同じ 1 秒の間に、あなたは自分の足で、歩道の上を右へ 1.5 m 進みます。床から見ると、あなたは 1 秒に 1.0 + 1.5 = 2.5 m ずつ右へ進みます。だから、床から見たあなたの速度は v = +2.5 m/s です。
床から見た速度は、2つの速度を足して求めます。
このように速度を足し合わせることを速度の合成といいます。足して求めた v を合成速度といいます。
歩道と逆向き(左向き)に歩くときは、v2 は負の値になります。たとえば、v1 = +1.0 m/s の歩道の上で、左向きに 2.0 m/s で歩くと、v2 = −2.0 m/s です。床から見た速度は、v = (+1.0) + (−2.0) = −1.0 m/s です。床から見ると、あなたは左へ 1.0 m/s で進みます。歩道は右へ動いていますが、あなたはそれより速く左へ歩いているからです。向きを符号で表しておけば、逆向きのときも同じ式 v = v1 + v2 が使えます。
やってみよう
歩道の速度 v1 を +1.0 m/s にしたまま、歩く速度 v2 を +1.0 m/s から −1.0 m/s へ変えてください。床から見た速度 v はいくつになりますか。
v は +2.0 m/s から 0.0 m/s に変わります。v2 の矢印は、v1 の矢印の先から左へ戻り、ちょうど 0 の所で終わります。床から見ると、あなたはその場から動きません。歩道が右へ運ぶ分と、あなたが左へ歩く分が打ち消し合うからです。
確認
歩道と逆向きに歩くとき、v2 の符号は + と − のどちらですか。
− です。このページの歩道は右(正の向き)へ動くので、逆向きは左(負の向き)です。符号は「歩道と同じ向きか」ではなく、「右を正」という約束で決まります。
例題
右向きに 2.0 m/s で動く歩道の上を、あなたが左向きに歩きます。歩道の上で歩く速さは 1.0 m/s です。床から見たあなたの速度を求めなさい。
答え: +1.0 m/s(床から見て、右向きに 1.0 m/s)
A から見た B の速度(相対速度)は、B の速度から A の速度を引いて求めます。
あなたから見ると、床に立つ友だちは −1.0 m/s で動いて見えました(項目1)。このように、ある人から見た相手の速度を相対速度といいます。ここからは、同じ2人が自転車に乗る場面で、相対速度の求め方を考えます。
あなたと友だちが、まっすぐな道を自転車で走ります。時刻 0 に、2人は横に並んでいます。
式で書くために、あなたを A、友だちを B とします。地面から見た A の速度を vA、地面から見た B の速度を vB と書きます。vA は「ブイ・エー」、vB は「ブイ・ビー」と読みます。右下の小さい文字は、誰の速度かを表します。
A の速度が vA = +3.0 m/s、B の速度が vB = +5.0 m/s のときを考えます。1 秒後、A は右へ 3.0 m、B は右へ 5.0 m 進んでいます。このとき、B は A より 5.0 − 3.0 = 2.0 m 前にいます。2 秒後には、B は A より 4.0 m 前にいます。A から見ると、B は 1 秒に 2.0 m ずつ右へ進んでいきます。だから、A から見た B の速度は +2.0 m/s です。
A から見た B の速度を vAB と書きます。vAB は「ブイ・エービー」と読みます。右下の2文字は、見る人(A)が先、見られる人(B)が後です。
上の計算では、B が 1 秒に進む 5.0 m から、A が 1 秒に進む 3.0 m を引きました。これは、B の速度から A の速度を引くことと同じです。
上の数値を入れると、vAB = (+5.0) − (+3.0) = +2.0 m/s です。見る人の速度を引くのは、見る人が止まっているとみなすためです。A の速度から A の速度を引くと 0 になり、A から見た A は止まっていることになります。
項目1の場面にも、この式を当てはめてみます。見る人はあなたです。あなたの速度は、床から見て +1.0 m/s です。見られる人は友だちです。友だちは床に立っているので、速度は 0 m/s です。あなたから見た友だちの速度は、0 − (+1.0) = −1.0 m/s です。項目1の動画の後半で見た −1.0 m/s と同じになります。
やってみよう
A の速度 vA を +3.0 m/s にしたまま、B の速度 vB を +5.0 m/s から +1.0 m/s へ変えてください。下の窓で、B は A の前へ離れていきますか。それとも後ろへ下がっていきますか。
vB が +5.0 m/s のとき、B は 1 秒に 2.0 m ずつ前(右)へ離れていきます(vAB = +2.0 m/s)。+1.0 m/s にすると、B は 1 秒に 2.0 m ずつ後ろ(左)へ下がっていきます(vAB = −2.0 m/s)。上の窓(地面から見た様子)では、どちらのときも B は右へ進んでいます。それでも +1.0 m/s のときは A より遅いので、A から見ると後ろへ下がっていきます。
確認
A から見た B の速度が +2.0 m/s のとき、B から見た A の速度も +2.0 m/s ですか。
いいえ、−2.0 m/s です。上の例(vA = +3.0 m/s、vB = +5.0 m/s)で考えます。B から見ると、A は 1 秒に 2.0 m ずつ後ろ(左)へ下がっていきます。B から見た A の速度は vBA と書きます(見る人 B が先)。式で書くと、vBA = vA − vB = (+3.0) − (+5.0) = −2.0 m/s です。見る人と見られる人を入れかえると、符号だけが逆になります。
例題
あなた(A)は右向きに 4.0 m/s、友だち(B)は左向きに 3.0 m/s で、向かい合って自転車で走っています。A から見た B の速度 vAB を求めなさい。
答え: vAB = −7.0 m/s(A から見て、B は左向きに 7.0 m/s で近づいてくる)
追いつく・出会うまでの時間は、間の距離を相対速度の大きさで割って求めます。
あなたと友だちが、まっすぐな道を、どちらも右向きに自転車で走っています。時刻 0 に、友だちはあなたの 12 m 前にいます。あなたの速度は +5.0 m/s、友だちの速度は +3.0 m/s です。時刻 0 にあなたがいた場所を原点とします。
1 秒ごとの2人の位置と、間の距離は、次の表のようになります。
| 時刻 t(s) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| あなたの位置(m) | 0 | +5 | +10 | +15 |
| 友だちの位置(m) | +12 | +15 | +18 | +21 |
| 間の距離(m) | 12 | 10 | 8 | 6 |
間の距離は、1 秒ごとに 2 m ずつ縮んでいます。1 秒の間に、あなたは 5 m、友だちは 3 m 進むので、その差の 5 − 3 = 2 m だけ縮むのです。
あなたから見た友だちの速度は、項目3の式で vAB = (+3.0) − (+5.0) = −2.0 m/s です。あなたから見ると、友だちは 1 秒に 2.0 m ずつ、あなたのほうへ近づいてきます。つまり、相対速度 −2.0 m/s は、間の距離が 1 秒ごとに 2.0 m ずつ縮むことを表しています。
12 m の距離が、1 秒に 2.0 m ずつ縮みます。距離が 0 m になるまでの時間は、12 ÷ 2.0 = 6.0 s です。だから、時刻 6.0 s に、あなたは友だちに追いつきます。
符号を取るのは、時間を求めるには「1 秒に何 m 縮むか」だけが分かればよいからです。同じ向きに進んでいて、あなたが友だちより遅いときは、間の距離は広がっていきます。このときは、いつまでも追いつきません。
次に、友だちが左向きに 1.0 m/s で走ってくる場合を考えます。あなたの速度は +5.0 m/s のままで、時刻 0 の間の距離も 12 m のままです。1 秒の間に、あなたは右へ 5.0 m、友だちは左へ 1.0 m 進みます。2人とも相手のほうへ進むので、間の距離は 1 秒に 5.0 + 1.0 = 6.0 m ずつ縮みます。相対速度で計算すると、vAB = (−1.0) − (+5.0) = −6.0 m/s で、大きさは 6.0 m/s です。出会うまでの時間は、12 ÷ 6.0 = 2.0 s です。
1 秒に縮む距離は、同じ向きなら 5.0 − 3.0 = 2.0 m、向かい合うなら 5.0 + 1.0 = 6.0 m です。同じ向きでは速さの差、向かい合うときは速さの和を使うことになります。どちらも vB − vA の計算から出てきます。
やってみよう
2つ目の場面(0:08〜、あなたから見ると)で、画面の右上の t が 4.0 s になった所で止めてください。友だちは物差しの何 m の所にいますか。はじめの場面(0:00〜)でも t = 4.0 s で止めて、そのときの間の距離と比べてください。
2つ目の場面の t = 4.0 s では、友だちは物差しの 4 m の所にいます(右上の間の距離も 4.0 m)。はじめの場面の t = 4.0 s でも、間の距離は 4.0 m です(あなたは 20 m、友だちは 24 m の所)。道の横から見ても、あなたから見ても、間の距離は同じように縮み、追いつくのは同じ t = 6.0 s です。間の距離が縮む速さは、あなたから見た友だちの速さ(相対速度の大きさ)と同じだと分かります。
確認
2人が向かい合って進むとき、間の距離が 1 秒に縮む長さは、2人が 1 秒に進む距離の差と和のどちらですか。
和です。2人とも相手のほうへ進むので、2人が 1 秒に進む距離を足した分だけ縮みます。上の向かい合う例では、5.0 + 1.0 = 6.0 m ずつ縮みます。
例題
あなたは右向きに 5.0 m/s で自転車を走らせています。あなたの 30 m 前を、友だちが同じ右向きに 3.0 m/s で走っています。あなたが友だちに追いつくのは、何 s 後ですか。
答え: 15 s 後
どの問題も、一直線上の運動で、右を正の向きとします。
問1右向きに 0.50 m/s で動く歩道の上を、あなたが左向きに歩きます。歩道の上で歩く速さは 1.5 m/s です。床から見たあなたの速度を求めなさい。また、床から見ると、あなたはどちら向きに進みますか。
−1.0 m/s。床から見ると、左向き(歩道と逆向き)に進む
v1 = +0.50 m/s、v2 = −1.5 m/s。v = v1 + v2 = (+0.50) + (−1.5) = −1.0 m/s。マイナスなので左向き。歩道に乗っていても、歩道より速く逆向きに歩けば、床から見て逆向きに進む
問2川が右向きに 1.0 m/s で流れています。あるボートは、流れのない水の上では 2.0 m/s の速さで進みます(この速さを「静水での速さ」といいます)。岸から見たボートの速度を、次の (1)(2) のそれぞれについて求めなさい。
(1) ボートが下流(右)へ向かって進むとき
(2) ボートが上流(左)へ向かって進むとき
(1) +3.0 m/s (2) −1.0 m/s(岸から見て、上流へ 1.0 m/s)
川の流れが動く歩道、静水での速度が歩道の上で歩く速度にあたる。流れの速度は v1 = +1.0 m/s。(1) v2 = +2.0 m/s なので、v = (+1.0) + (+2.0) = +3.0 m/s。(2) v2 = −2.0 m/s なので、v = (+1.0) + (−2.0) = −1.0 m/s。上流へ進むときは、流れに押し戻される分だけ遅くなる
問3あなた(A)は右向きに 4.0 m/s、友だち(B)は右向きに 1.0 m/s で、同じ道を自転車で走っています。A から見た B の速度 vAB を求めなさい。また、A から見ると、B はどちら向きに動いて見えますか。
vAB = −3.0 m/s。A から見ると、B は左向き(後ろ向き)に 3.0 m/s で動いて見える
vA = +4.0 m/s、vB = +1.0 m/s。vAB = vB − vA = (+1.0) − (+4.0) = −3.0 m/s。B は地面から見ると右へ進んでいるが、A より遅いので、A から見ると後ろへ下がっていく
問4あなた(A)は右向きに 3.0 m/s、友だち(B)は左向きに 5.0 m/s で、向かい合って自転車で走っています。A から見た B の速度 vAB と、B から見た A の速度 vBA を求めなさい。
vAB = −8.0 m/s、vBA = +8.0 m/s
vA = +3.0 m/s、vB = −5.0 m/s。vAB = vB − vA = (−5.0) − (+3.0) = −8.0 m/s。B から見るときは B が見る人なので、B の速度を引く。vBA = vA − vB = (+3.0) − (−5.0) = +8.0 m/s。見る人と見られる人を入れかえたので、符号だけが逆になる
図では2人が同じ位置から出発するので、近づく様子ではなく、離れていく様子になります。それでも相対速度は出発の位置に関係しないので、vAB の値は問題と同じになります。vBA は図には出ないので、計算で確かめてください。
問5あなたは右向きに 6.0 m/s で自転車を走らせています。あなたの 24 m 前を、友だちが同じ右向きに 4.0 m/s で走っています。あなたが友だちに追いつくのは、何 s 後ですか。
12 s 後
あなたから見た友だちの速度は vAB = (+4.0) − (+6.0) = −2.0 m/s で、大きさは 2.0 m/s。間の距離は 1 秒に 2.0 m ずつ縮むので、24 ÷ 2.0 = 12 s。24 ÷ 6.0 = 4.0 s としないこと(友だちも前へ進んでいる)
問6まっすぐな道で、あなたと友だちが 60 m 離れて向かい合っています。あなたは右向きに 4.0 m/s、友だちは左向きに 2.0 m/s で、同時に自転車で走り出しました。2人が出会うのは何 s 後ですか。また、出会うのは、あなたが出発した場所から何 m の所ですか。
10 s 後。あなたが出発した場所から 40 m の所
vA = +4.0 m/s、vB = −2.0 m/s。vAB = (−2.0) − (+4.0) = −6.0 m/s で、大きさは 6.0 m/s(速さの和 4.0 + 2.0 と同じ)。出会うまでの時間は 60 ÷ 6.0 = 10 s。その間にあなたが進む距離は 4.0 × 10 = 40 m。確かめ: 友だちが進む距離は 2.0 × 10 = 20 m で、40 + 20 = 60 m になり、初めの間の距離と合う
公式