運動エネルギーと位置エネルギー

1運動エネルギー

動いている物体がもつエネルギーを運動エネルギーといい、K = 12mv² で求めます。

転がってきたボールがピンに当たると、ピンを押し動かします。力を加えて物体を動かすことを、物理では「仕事をする」といいます。物体を力 F で、力の向きに距離 x 動かしたときの仕事は W = Fx(力の大きさ × 力の向きに動いた距離)です。動いているボールは、ピンに仕事ができます。止まっているボールは、ピンに当たらないので、仕事ができません。

ほかの物体に仕事をする能力を、エネルギーといいます。エネルギーの大きさは、その物体がほかの物体にできる仕事の大きさで表します。単位は仕事と同じ J(ジュール)です。

動いている物体がもつエネルギーを、運動エネルギーといいます。運動エネルギーの記号は K(ケー)です。

運動エネルギーの大きさを、実際に求めてみます。質量 1.0 kg の台車が、速さ 4.0 m/s で右へ進んでいます。台車の先には、壁に貼り付けた厚い粘土があります。台車は粘土に突っ込み、粘土を押しつぶしながら進んで、やがて止まります。台車が粘土を押す力は、一定の 20 N とします。台車が止まるまでにどれだけ進むかが分かれば、台車が粘土にした仕事 W = Fx が分かります。

右向きを正の向きとし、粘土に当たった所を原点にします。台車が粘土を右へ 20 N で押すとき、粘土は台車を左へ 20 N で押し返します(作用・反作用)。運動方程式 ma = F(質量 × 加速度 = 受ける力)を台車について書くと、1.0 × a = −20 です。加速度(1 秒あたりの速度の変化)は a = −20 m/s² です。加速度が負なので、台車の速度は 1 秒あたり 20 m/s の割合で左向きに変わり、右へ進む台車は遅くなります。

加速度が一定の運動では、時間を使わない式 v² − v₀² = 2ax が成り立ちます。v₀(ブイゼロ)ははじめの速さ、v は後の速さ、x は進んだ距離です。小さな 0 は「はじめ」の印です。この台車では、はじめの速さ v₀ = 4.0 m/s、止まったときの速さ v = 0 です。0 − 4.0² = 2 × (−20) × x なので、x = 16 ÷ 40 = 0.40 m です。台車が粘土にした仕事は、W = 20 × 0.40 = 8.0 J です。

もっと硬い粘土に替えて、台車が粘土を押す力を 40 N、80 N にしても、同じように計算できます。

力が大きいほど短い距離で止まりますが、仕事はどれも 8.0 J です。この 8.0 J が、質量 1.0 kg、速さ 4.0 m/s の台車がもつ運動エネルギーです。

質量 m、速さ v の台車が、一定の力 F で粘土を押して止まるとします。運動方程式 ma = −F から、a = −F ÷ m です。v² − v₀² = 2ax の v₀(はじめの速さ)に台車の速さ v を、v(後の速さ)に止まったときの 0 を入れると、0 − v² = 2 × (−F ÷ m) × x です。両辺に −m ÷ 2 を掛けると、Fx = 12mv² になります。Fx は、台車が粘土にした仕事です。だから、運動エネルギーは次の式で求めます。

確かめると、12 × 1.0 × 4.0² = 8.0 J で、表の 8.0 J と同じです。

質量 1.0 kg の台車が速さ 2.0 m/s のとき、K = 12 × 1.0 × 2.0² = 2.0 J です。速さ 4.0 m/s のときの 8.0 J は、その4倍です。速さが2倍になると、運動エネルギーは 2 × 2 = 4 倍になります。質量 2.0 kg の台車が速さ 4.0 m/s のとき、K = 12 × 2.0 × 4.0² = 16 J です。質量 1.0 kg のときの 8.0 J の2倍です。質量が2倍になると、運動エネルギーは2倍になります。

2仕事と運動エネルギーの関係

物体の運動エネルギーは、物体がされた仕事の分だけ変わります。

項目1 では、動いている台車が粘土に仕事をして、台車は止まりました。台車は、運動エネルギーの分だけ仕事をして、運動エネルギーを失いました。今度は逆に、物体が仕事をされる場合を考えます。

なめらかな床の上を、質量 1.0 kg の台車が、右へ速さ 2.0 m/s で動いています。あなたが、台車を右へ一定の力 3.0 N で押しながら、1.0 m 進ませます。このとき、あなたの押す力が台車にした仕事は、W = 3.0 × 1.0 = 3.0 J です。

台車の運動方程式は 1.0 × a = 3.0 なので、加速度は a = 3.0 m/s² です。v² − v₀² = 2ax に、v₀ = 2.0 m/s、a = 3.0 m/s²、x = 1.0 m を入れます。v² = 2.0² + 2 × 3.0 × 1.0 = 4.0 + 6.0 = 10 です。押した後の速さは、v = √10 ≒ 3.2 m/s です。√10 は、2乗すると 10 になる正の数です。

押す前の運動エネルギーは、12 × 1.0 × 2.0² = 2.0 J です。押した後の運動エネルギーは、12 × 1.0 × v² = 12 × 1.0 × 10 = 5.0 J です。運動エネルギーは、5.0 − 2.0 = 3.0 J 増えました。押す力がした仕事 3.0 J と同じです。

質量 m の物体に、動く向きに一定の力 F を加えて、距離 x 進ませるとします。運動方程式から a = F ÷ m です。v² − v₀² = 2ax に入れると、v² − v₀² = 2 × (F ÷ m) × x です。両辺に m ÷ 2 を掛けると、12mv² − 12mv₀² = Fx です。v₀ ははじめの速さ、v は仕事をされた後の速さです。右辺の Fx は、物体がされた仕事 W です。

物体にいくつかの力がはたらくときは、どの力がした仕事も、全部足して W に入れます。上の台車には、押す力のほかに、重力と床からの垂直抗力もはたらいています。力の向きと動く向きが垂直な力の仕事は 0 です。重力と垂直抗力は、水平に動く台車に仕事をしません。だから、W は押す力の仕事 3.0 J だけです。

動く向きと逆向きの力がする仕事は、負です。W が負なら、左辺の「後 − はじめ」も負になり、運動エネルギーは減ります。たとえば、あらい床をすべる物体にはたらく動摩擦力は、動く向きと逆向きなので、した仕事は負です。物体は、動摩擦力にされた負の仕事の分だけ運動エネルギーを失い、やがて止まります。

3重力による位置エネルギー

高い所にある物体がもつエネルギーを、重力による位置エネルギーといい、U = mgh で求めます。h は、自分で決めた基準面からの高さです。

高い所から重いおもりを落とすと、地面にくいを打ち込むことができます。高い所にある物体は、落ちることで、ほかの物体に仕事ができます。高い所にある物体は、それだけでエネルギーをもっています。物体の位置で決まるエネルギーを、位置エネルギーといいます。記号は U(ユー)です。

「高い所」というときは、どこから測った高さかを決めなければなりません。高さを 0 とする水平な面を、基準面といいます。基準面は、問題を解く人が自分で決めてよい約束です。床でも、机の上でも、地面でもかまいません。高さ h は、基準面から測った高さです。基準面より上を正、下を負とします。

質量 1.0 kg のボールが、床から 2.0 m の高さにあります。ここでは、床を基準面にします。ボールが基準面(床)まで下りる間、ボールには下向きに重力 mg = 1.0 × 9.8 = 9.8 N がはたらきます。ボールが動く向きも下向きなので、重力がする仕事は、力 × 距離 = 9.8 × 2.0 = 19.6 J です。物体が基準面の高さまで移る間に重力がする仕事を、重力による位置エネルギーといいます。床から 2.0 m の高さにある 1.0 kg のボールの、重力による位置エネルギーは 19.6 ≒ 20 J です。

質量 m の物体が、基準面から高さ h の所にあるとき、基準面まで下りる間に重力がする仕事は mg × h です。

重力がする仕事は、高さの差だけで決まり、下りる道筋によりません。たとえば、ボールがなめらかな斜面を下りて床に着いても、まっすぐ落ちたときと同じ mgh です。上げるときも同じで、なめらかな斜面に沿ってゆっくり引き上げても、真上に持ち上げても、手が高さ h まで上げる仕事は mgh です(これを仕事の原理といいます)。

同じボール(床から 2.0 m)で、基準面を、床から 1.0 m の机の上に変えてみます。基準面からの高さは h = 2.0 − 1.0 = 1.0 m なので、U = 1.0 × 9.8 × 1.0 = 9.8 J です。ボールの位置は同じでも、基準面を変えると、位置エネルギーの値は変わります。だから、位置エネルギーを書くときは、どこを基準面にしたかも書きます。

基準面を机の上(床から 1.0 m)にしたまま、ボールを床に置きます。床は基準面より 1.0 m 下なので、h = −1.0 m です。U = 1.0 × 9.8 × (−1.0) = −9.8 J です。位置エネルギーが負になるのは、基準面より下にあるからです。ボールが基準面の高さまで上がるとき、重力(下向き)は動く向き(上向き)と逆向きなので、重力がする仕事は負になります。

4弾性力による位置エネルギー

伸びたり縮んだりしたばねがもつエネルギーを、弾性力による位置エネルギーといい、U = 12kx² で求めます。

ばねの左の端を壁に固定し、右の端に物体をつなぎます。物体を手で右へ引いてばねを伸ばし、手を放すと、ばねは自然の長さに戻ろうとして、物体を引き動かします。伸びたばねは、ほかの物体に仕事ができます。縮めたばねも、押し戻すことで仕事ができます。ばねがもつこのエネルギーは、ばねの端の位置(伸び・縮み)で決まります。だから、これも位置エネルギーの1つです。

ばねに何も力を加えないときの長さを自然の長さといい、自然の長さからの伸び、または縮みを x で表します。x は 0 以上の数です。ばねの弾性力(ばねが元の長さに戻ろうとする力)の大きさは F = kx です。k はばね定数(単位 N/m)です。小文字の k はばね定数で、運動エネルギーの大文字の K とは別のものです。

ばね定数 20 N/m のばねを、手でゆっくり 0.30 m 伸ばすときの、手がする仕事を考えます。ゆっくり伸ばすとき、手がばねを引く力の大きさは、そのときの弾性力の大きさ kx と同じです。伸びが大きくなるほど、手が引く力も大きくなります。

最後の力 6.0 N を使って W = 6.0 × 0.30 = 1.8 J としてはいけません。最初のうちは、手はもっと小さい力で引いていたからです。

仕事 W = Fx を、グラフで見直します。横軸に動いた距離 x、縦軸に力 F をとったグラフを、F-x グラフといいます。力が一定の 4.0 N で、0.30 m 動かすとき、グラフは高さ 4.0 N の横の線です。グラフの点 (0.20 m, 4.0 N) は、0.20 m 動いた所で、力が 4.0 N であることを表します。仕事は W = 4.0 × 0.30 = 1.2 J です。これは、グラフの線の下にできる、縦 4.0 N、横 0.30 m の長方形の面積と同じです。

力が変わるときも、グラフの線の下の面積が仕事になります。動いた距離を細かく分けると、それぞれの短い間では力がほぼ一定なので、細い長方形の面積を足し合わせたものが仕事になるからです。ばねの場合、手が引く力 F = kx は伸び x に比例するので、F-x グラフは原点を通る直線です。グラフの下は三角形になります。0.30 m 伸ばすときは、底辺 0.30 m、高さ 6.0 N の三角形です。面積は 12 × 0.30 × 6.0 = 0.90 J です。手がした仕事は 0.90 J です。力は 0 N から 6.0 N まで一様に増えたので、平均の力は 3.0 N です。3.0 × 0.30 = 0.90 J と計算しても同じになります。

0.30 m 伸びたばねが自然の長さに戻るとき、ばねがつながった物体にする仕事も、同じ三角形の面積で 0.90 J です。自然の長さに戻るまでに弾性力がする仕事を、弾性力による位置エネルギー(弾性エネルギー)といいます。伸び x のとき、三角形の底辺は x、高さは kx です。面積は 12 × x × kx = 12kx² です。

確かめると、12 × 20 × 0.30² = 12 × 20 × 0.090 = 0.90 J で、三角形の面積と同じです。