運動量とエネルギーの応用

1重心の運動

外力の和が 0 のとき、2つの物体の重心は、衝突の前も後も、同じ一定の速度で動きます。

このページでは、2つの物体 A と B をひとまとめにして考えます。ひとまとめに考える物体の組を系といいます。A と B が及ぼし合う力を内力、ほかの物から受ける力を外力といいます。系にはたらく外力の和が 0 なら、A と B の運動量(質量 × 速度)の和は変わりません(運動量保存則)。なめらかな水平面では、重力と垂直抗力がつり合い、水平の向きには外力がないので、外力の和は 0 です。

このページでは、右を正の向きとします。左向きの速度は負の値です。2つの物体の重心の位置 x_G は、それぞれの位置に質量を掛けて足し、質量の和で割って求めます。x_G = (m_Ax_A + m_Bx_B) ÷ (m_A + m_B) です。右下の小さい A・B は物体の名前、G は重心の印です。なめらかな水平面で、4.0 kg の物体 A が x = 0 m にあって +2.0 m/s で動き、1.0 kg の物体 B が x = 5.0 m に止まっているとします。いまの重心の位置は、x_G = (4.0 × 0 + 1.0 × 5.0) ÷ (4.0 + 1.0) = 5.0 ÷ 5.0 = 1.0 m です。1.0 s 後、A は x = 2.0 m に進み、B は x = 5.0 m のままです(まだぶつかっていません)。重心の位置は、x_G = (4.0 × 2.0 + 1.0 × 5.0) ÷ 5.0 = 13 ÷ 5.0 = 2.6 m です。重心は 1.0 s で 2.6 − 1.0 = 1.6 m 進んだので、重心の速度は +1.6 m/s です。

この +1.6 m/s は、(4.0 × 2.0 + 1.0 × 0) ÷ (4.0 + 1.0) = 8.0 ÷ 5.0 と同じ計算で出せます。分子の 4.0 × 2.0 と 1.0 × 0 は、A と B の運動量です。一般に、重心の速度 v_G は、運動量の和を質量の和で割ったものです。

外力の和が 0 なら、分子の運動量の和は変わりません。分母の質量の和も変わりません。だから、v_G は一定です。A と B がぶつかって、それぞれの速度が急に変わっても、重心の速度は変わりません。

下の図で、衝突の前と後で、重心 G の進み方が変わるかを確かめます。つまみで時刻 t を進めると、その時刻の2台と重心 G の位置が出ます(ビデオのコマ送りのように)。

2ばねを介した衝突

ばねがいちばん縮むのは、2つの物体の速度が等しくなった瞬間です。その瞬間に、運動量保存則と力学的エネルギー保存の2つの式を立てます。

なめらかな水平面で、止まっている台車 B の左の面に、軽いばね(質量を考えなくてよいばね)を付けます。左から台車 A が右向きに走ってきて、ばねに当たります。ばねが縮んでいる間、ばねは A を左向きに押し、B を右向きに押します。だから、A はだんだん遅くなり、B はだんだん速くなります。

A のほうが B より速い間は、A が B に近づくので、ばねは縮み続けます。たとえば A が +5.0 m/s、B が +1.0 m/s なら、A は B に 1 秒あたり 4.0 m の割合で近づいています。B のほうが A より速くなると、2台は遠ざかるので、ばねは伸びて戻ります。その間で、A と B の速度が等しくなった瞬間は、近づきも遠ざかりもしません。この瞬間が、ばねがいちばん縮んだときです。

いちばん縮んだときの2台の共通の速度を v とします。この瞬間の式を2つ立てます。1つ目は運動量保存則です。ばねが押す力は A と B の内力で、水平には外力がないので、運動量の和は変わりません。

2つ目は力学的エネルギー保存です。2台がばねを縮める間に減った運動エネルギーは、ばねの位置エネルギーとしてたくわえられます。面はなめらかなので、摩擦で熱になる分はありません。だから、2台の運動エネルギー(12mv²)の和と、ばねの位置エネルギー 12kx²(k はばね定数、x は縮み)の和が変わりません。

1つ目の式から共通の速度 v が決まり、2つ目の式から縮み x が決まります。

下の図で、ばねがいちばん縮んだときの A と B の速度を読みます。つまみで、ばねに当たってからの時刻を進めます。

3台の上をすべる物体

台の上をすべる物体は、台と速度が等しくなったときに、すべるのをやめます。その間に減った、物体と台の運動エネルギーの和は、動摩擦力 × 台に対してすべった距離です。

なめらかな床の上に、上の面があらい台を置きます。台の左の端に、床に固定したなめらかな足場から、物体が右向きにすべり込みます。床はなめらかなので、台は床の上を自由に動けます。

物体は台の上をすべるので、台から動摩擦力を受けます。物体は台に対して右へすべるので、動摩擦力は左向きです。作用・反作用で、台は物体から、同じ大きさで右向きの動摩擦力を受けます。動摩擦力の大きさは f′ = μ′N です。μ′(ミュー ダッシュ)は動摩擦係数、N は垂直抗力の大きさで、水平な台の上なら N = mg です(m は物体の質量)。下の図は、物体と台が受ける動摩擦力を描いたものです。

この2つの動摩擦力は、物体と台が及ぼし合う内力です。床はなめらかなので、水平の向きの外力はありません。だから、物体と台の運動量の和は変わりません。物体が減らした運動量を、台が受け取ります。

物体のほうが台より速い間は、物体は台の上を右へすべり、物体は遅く、台は速くなります。物体と台の速度が等しくなると、物体は台に対して動かなくなり、すべるのをやめます。動摩擦力もはたらかなくなります。その後は、物体と台が同じ速度で一緒に動きます。

次の動画で、台が床の上をどこまで動くかと、最後の2つの速度を見ます。

ここからは、すべっている間に減る運動エネルギーを求めます。物体と台の運動エネルギーの和は、物体がすべっている間に減ります。動摩擦力がはたらくと、運動エネルギーの一部が熱になるからです(動画の運動で、どれだけ減るかは例題で計算します)。

減った分を、動摩擦力がした仕事から求めます。物体の運動エネルギーは、物体がされた仕事の分だけ変わります。台も同じです。物体が受ける動摩擦力は、動く向きと逆向きなので、仕事は −f′ × (物体が床に対して進んだ距離) です。台が受ける動摩擦力は、動く向きと同じ向きなので、仕事は +f′ × (台が床に対して進んだ距離) です。

2つを足すと、−f′ × (物体が進んだ距離 − 台が進んだ距離) です。かっこの中は、物体が台の上で、台に対してすべった長さです。これをすべった距離 L と書きます。床に対して進んだ距離ではありません。だから、運動エネルギーの和の減った分は、f′L です。

床に対して進んだ距離は、v-t グラフ(横軸が時刻、縦軸が速度のグラフ)の、線と横軸の間の面積で表せます。下の図で、物体の線の下の面積から台の線の下の面積を引くと、2本の線の間の面積が残ります。この面積が、すべった距離 L です。

4曲面をもつ台

曲面をのぼる物体がいちばん高い所に来るのは、物体と台の水平の速度が等しくなった瞬間です。水平の運動量保存と力学的エネルギー保存の2つの式を立てます。

なめらかな床の上に、片側がなめらかな曲面になった台を置きます。曲面は、床の高さから右へ行くほど高くなる形です。物体が、左から床の上をすべってきて、曲面をのぼります。床も曲面もなめらかで、台は床の上を自由に動けます。

曲面は、物体を曲面に垂直な向きに押します。物体が曲面をのぼっている間、この力は左上を向いています。そのため、物体は水平には遅くなります。作用・反作用で、物体は台の曲面を右下向きに押します。この力の水平の成分は右向きです。

物体と台が押し合う力は、内力です。水平の向きには外力がないので、水平の運動量の和は変わりません。上下の向きには、重力と、床が台を押す力という外力がはたらきます。だから、上下の向きの運動量の和は変わることがあり、保存されるとは言えません。

台は床の上を動くだけなので、上下には動きません。物体がいちばん高い所に来た瞬間は、物体の上下の速度が 0 です。そして、物体は曲面に沿ってそれ以上のぼりも下りもしないので、台に対して止まっています。だから、その瞬間の物体の速度は水平で、台の速度と等しくなっています。

曲面も床もなめらかなので、摩擦で熱になるエネルギーはありません。曲面が物体を押す力は、物体の運動エネルギーを減らします。物体が台を押す力は、その分だけ台の運動エネルギーを増やします。だから、物体と台の運動エネルギーの和と、物体の重力による位置エネルギー mgh(h は床からの高さ)の和は変わりません。

次の動画で、物体が曲面をのぼる間の台の動きと、いちばん高い所での2つの速度を見ます。

水平の運動量の和は 4.0 kg·m/s のままです。物体が曲面を下りきると、物体は左へ 2.0 m/s、台は右へ 2.0 m/s で離れます。このときも、水平の運動量の和は 1.0 × (−2.0) + 3.0 × 2.0 = 4.0 kg·m/s で変わりません。