公式
動いている物体の勢いは、質量 × 速度で表します。これを運動量といいます。
野球のボール(0.15 kg)と、ボウリングの球(6.0 kg)が、どちらも速さ 1.0 m/s で転がってきたとします。手で止めるとき、止めにくいのはボウリングの球です。同じ速さなら、質量が大きい物ほど止めにくくなります。
同じ野球のボールでも、1.0 m/s で転がってくるボールと、40 m/s で飛んでくるボールでは、40 m/s のほうがずっと止めにくいです。同じ質量なら、速い物ほど止めにくくなります。
そこで、物体の勢いを、質量と速さの掛け算で表します。1.0 m/s のボウリングの球は 6.0 × 1.0 = 6.0 です。40 m/s の野球のボールは 0.15 × 40 = 6.0 です。同じ時間で止めるのに要る力で比べると、この2つは同じになります。そのわけは項目2 で分かります。
質量 × 速度で表した物体の勢いを、運動量といいます。運動量の記号は p で、「ピー」と読みます。
単位は、kg と m/s を掛けたものなので kg·m/s で、「キログラム・メートル毎秒」と読みます。
運動量には、速度と同じ向きがあります。このページでは、右を正の向きとします。右向きに動く物体の運動量は正、左向きに動く物体の運動量は負(マイナス)です。たとえば、質量 2.0 kg の台車が左向きに 1.5 m/s で動いているとき、速度は −1.5 m/s です。運動量は 2.0 × (−1.5) = −3.0 kg·m/s です。
次の図で、3つの物体の運動量の向きと大きさを、矢印の長さで比べます。
太い実線の矢印が運動量、細い破線の矢印が速度の向きです。運動量の矢印の長さは運動量の大きさに比例しますが、速度の矢印の長さは速さに比例させていません。
| 質量 m [kg] | 速度 v [m/s] | 運動量 mv [kg·m/s] | |
|---|---|---|---|
| 野球のボール | 0.15 | +40 | +6.0 |
| ボウリングの球 | 6.0 | +1.0 | +6.0 |
| 台車 | 2.0 | −1.5 | −3.0 |
確認
駐車場に止まっている大きなトラックの運動量はいくつですか。
0 kg·m/s です。速度が 0 なので、質量が大きくても mv = 0 です。
例題
質量 0.50 kg の台車が、左向きに速さ 4.0 m/s で動いています。この台車の運動量を求めなさい。右を正の向きとします。
答え: −2.0 kg·m/s(左向きに 2.0 kg·m/s)
力 × 力がはたらいた時間を力積といい、物体の運動量は、受けた力積の分だけ変わります。
なめらかな氷の上に、質量 2.0 kg の箱が止まっています。摩擦力ははたらかないとします。重力と垂直抗力は上下でつり合います。横向きの力は、手が押す力だけです。この箱を、手で右へ一定の力 6.0 N で、0.50 s だけ押します。押し終わったら、手を離します。
運動方程式 ma = F(質量 × 加速度 = 力)から、2.0 × a = 6.0 です。加速度は a = 6.0 ÷ 2.0 = 3.0 m/s² です。速度が 1 秒ごとに 3.0 m/s ずつ増えるということです。
0.50 s 押すと、速度は 3.0 × 0.50 = 1.5 m/s 増えます。止まっていたので、押した後の速度は +1.5 m/s です。押す前の運動量は 2.0 × 0 = 0 kg·m/s です。押した後の運動量は 2.0 × 1.5 = +3.0 kg·m/s です。手を離した後は、横向きの力がないので、箱は +1.5 m/s のまま、まっすぐすべっていきます。
押した力と押した時間を掛けると、6.0 × 0.50 = 3.0 です。これは、運動量の増えた分 3.0 − 0 = 3.0 kg·m/s と同じ数です。
一般の式にするために、記号を決めます。v は力を受ける前の速度、v′ は力を受けた後の速度です。v′ は「ブイ・ダッシュ」と読みます。「′」は「後」の印です。動摩擦係数 μ′ の「′」とは関係ありません。Δt は、力がはたらいた時間です。Δ(デルタ)は「後の値 − 前の値」を表す記号で、Δt は「押し終わった時刻 − 押し始めた時刻」です。
加速度は、速度の変化を時間で割ったものなので、a = (v′ − v) ÷ Δt です。運動方程式 ma = F の F は、物体が受ける力の合力です。このページの場面では、横向きの力は1つだけです。加速度の式を運動方程式に入れると、m × (v′ − v) ÷ Δt = F です。両辺に Δt を掛けて、mv′ − mv = FΔt になります。
力 × 力がはたらいた時間 FΔt を、力積といいます。力積の単位は、N と s を掛けたものなので N·s(ニュートン秒)です。1 N は 1 kg·m/s² なので、1 N·s = 1 kg·m/s です。力積と運動量は、同じ単位の量です。
止まっている物体でなくても、同じ式が使えます。上で +1.5 m/s になった箱を、さらに右へ 6.0 N で 0.50 s 押すと、速度は 1.5 + 3.0 × 0.50 = 3.0 m/s になります。運動量は +3.0 kg·m/s から 2.0 × 3.0 = +6.0 kg·m/s になり、増えた分は 6.0 − 3.0 = 3.0 kg·m/s です。受けた力積 6.0 × 0.50 = 3.0 N·s と同じです。
項目1 の野球のボール(+6.0 kg·m/s)とボウリングの球(+6.0 kg·m/s)を止めるには、どちらも運動量を 6.0 kg·m/s 減らす力積が要ります。だから、同じ時間で止めるには、同じ大きさの力が要ります。
次の図で、押す力と押す時間を変えて、力積が同じなら押した後の速度も同じになることを確かめます。
藍の矢印は手が押す力で、押している間だけ描いています。紫の矢印は箱の運動量です。「押す」のボタンを押すと、選んだ時間だけ同じ力で押し、その後は手を離します。
やってみよう
押す力 F を 4.0 N、押す時間 Δt を 1.00 s にして「押す」のボタンを押し、押した後の速度 v′ を読んでください。次に、F を 2.0 N に下げて、押した後の速度が同じになる押す時間を探してください。何 s にすればよいですか。
4.0 N・1.00 s で押した後の速度は +2.0 m/s です。2.0 N のときは、Δt を 2.00 s にすると同じ +2.0 m/s になります。どちらも力積は +4.0 N·s です。
確認
同じ力で、2倍の時間押すと、運動量の変化は何倍になりますか。
2倍です。力積 FΔt が2倍になるからです。
例題
止まっている質量 0.40 kg のボールを、足でけりました。足がボールに触れていた 0.050 s の間、ボールには一定の力 80 N がはたらいたとします。けった後のボールの速さを求めなさい。
答え: 10 m/s
はね返るときも、速度に符号を付ければ mv′ − mv = FΔt がそのまま使えます。力積が負なら、力は左向きです。
質量 0.20 kg のボールが、右向きに 10 m/s で飛んできて、右にある壁に当たり、左向きに 8.0 m/s ではね返りました。右が正なので、当たる前の速度は v = +10 m/s、はね返った後の速度は v′ = −8.0 m/s です。
動きの速さは実際とは違います。
当たる前の運動量は、mv = 0.20 × (+10) = +2.0 kg·m/s です。はね返った後の運動量は、mv′ = 0.20 × (−8.0) = −1.6 kg·m/s です。
運動量の変化は、後 − 前で、−1.6 − (+2.0) = −3.6 kg·m/s です。mv′ − mv = FΔt から、ボールが壁から受けた力積は −3.6 N·s です。
力積が負なのは、力 F が負(左向き)だからです。Δt(時間)は負になりません。ボールは、壁から左向きに押されて、右向きの運動量を失い、さらに左向きの運動量を得ました。
次の図で、運動量が +2.0 から −1.6 へ変わる幅が、力積の矢印になることを数直線の上で確かめます。
紫の矢印は運動量、藍の矢印は力と力積です。力積の矢印は、前の運動量の点から後の運動量の点へ向かいます。
確認
0.20 kg のボールが右向きに 10 m/s で壁に当たり、はね返らずに止まりました。ボールが受けた力積は正と負のどちらですか。力積の大きさは、はね返ったとき(3.6 N·s)より大きいですか、小さいですか。
負で、−2.0 N·s です。大きさは、はね返るときより小さくなります。
例題
質量 0.20 kg のボールが、左向きに 20 m/s で飛んできました。これをバットで打ち返したら、右向きに 30 m/s で飛んでいきました。右を正の向きとします。
(1) ボールがバットから受けた力積を求めなさい。
(2) ボールとバットが触れていた時間は 0.010 s でした。この間、力が一定だったとみなして、その力を求めなさい。
答え: (1) +10 N·s(右向きに 10 N·s) (2) +1.0 × 103 N(右向きに 1.0 × 103 N)
力積は、F-t グラフの下の面積です。同じ力積なら、力がはたらく時間が長いほど、平均の力は小さくなります。
横軸に時刻 t、縦軸に力 F をとったグラフを、F-t グラフといいます。項目2 の箱(6.0 N で 0.50 s 押した)では、グラフは高さ 6.0 N の横の線が、0 s から 0.50 s まで続きます。力積 6.0 × 0.50 = 3.0 N·s は、縦 6.0 N、横 0.50 s の長方形の面積と同じです。F-t グラフでは、下の面積が力積になります。
ボールが壁に当たるときのような短い衝突では、力は一定ではありません。触れた瞬間は小さく、強く押しつぶされた所でいちばん大きくなり、離れるときにまた 0 に戻ります。たとえば、ある衝突の力を 0.010 s ごとに調べると、次の表のようになったとします。
| 時刻 t [s] | 0 | 0.010 | 0.020 | 0.030 | 0.040 |
|---|---|---|---|---|---|
| 力 F [N] | 0 | 20 | 40 | 20 | 0 |
この表の点を F-t グラフに打ち、直線でつなぐと、山の形(三角形)になります。点 (0.020 s, 40 N) は、「触れてから 0.020 s 後に、力が 40 N である」ことを表します。グラフの山は、力の大きさが時間とともにどう変わったかを表しています。
力が変わるときも、グラフの下の面積が力積になります。時間を細かく分けると、それぞれの短い間では力がほぼ一定なので、細い長方形の面積を足し合わせたものが力積になるからです。この三角形の面積は、12 × 0.040 × 40 = 0.80 N·s です。これが、この衝突で受けた力積です。
表の5点を直線でつないだグラフです。塗った三角形の面積が力積です。
同じ 0.040 s の間に、同じ 0.80 N·s の力積を与える一定の力を、平均の力といいます。平均の力 = 力積 ÷ 時間 なので、0.80 ÷ 0.040 = 20 N です。グラフでは、高さ 20 N、横 0.040 s の長方形の面積が、三角形の面積 0.80 N·s と同じになります。項目2・3 の例題で一定とした力(80 N、1.0 × 103 N)は、この平均の力のことです。
実線の三角形が実際の力、破線の長方形が平均の力です。2つの面積は同じ 0.80 N·s です。
卵を投げて受け止める場面で考えます。この項目では、力積と力の大きさだけを考えます(向きは考えません)。物体が止まるまでに受ける力積は、物体の運動量の変化で決まります。0.060 kg の卵が 5.0 m/s から止まるなら、力積の大きさは 0.060 × 5.0 = 0.30 N·s です。受け止めるものが固いか柔らかいかでは、力積は変わりません。変わるのは、止まるまでの時間です。力積が同じなら、平均の力 = 力積 ÷ 時間 なので、時間が長いほど平均の力は小さくなります。グラフでは、同じ面積のまま、山が低く横に広がります。
次の図で、受け止めるものを柔らかくして(止まるまでの時間を長くして)、卵が割れなくなる時間を探します。
この図では、破線の平均の力が 12 N の線を超えると卵が割れるとします。図のための仮の値で、本物の卵の強さではありません。藍の三角形の面積が、卵が受けた力積です。
やってみよう
止まるまでの時間を 0.010 s から 0.010 s ずつ長くしていき、卵が割れなくなるいちばん短い時間を探してください。そのとき、平均の力はいくつですか。
0.030 s で割れなくなり、平均の力は 10.0 N です。
確認
自動車のエアバッグは、ぶつかったときの人の運動量の変化を小さくしますか。
いいえ。運動量の変化は同じで、止まるまでの時間を長くして、力を小さくしています。
例題
質量 0.15 kg のボールが、速さ 20 m/s で飛んできました。これを、手を引きながら 0.10 s かけて受け止めました。ボールが手から受けた平均の力の大きさを求めなさい。
答え: 30 N
平面では、運動量も力積も矢印(ベクトル)で表し、x 成分と y 成分ごとに「後 − 前 = 力積」を計算します。
項目4 までは、一直線の上の運動を、符号(+、−)で表してきました。平面の上では、向きが右・左だけではないので、運動量を矢印で表します。運動量の矢印は p と書き、「ピー・ベクトル」と読みます。文字の上の矢印は、「向きと大きさをもつ量」という印です。大きさだけを表すときは、矢印を付けずに p と書きます。
平面の上では、右を x の正の向き、上を y の正の向きとします。なめらかな床の上で、質量 0.10 kg の球が、右(x の正の向き)へ 3.0 m/s で転がっています。この球を横から打ったら、上(y の正の向き)へ 4.0 m/s で転がるようになりました。
打つ前の運動量 p は、右向きに 0.10 × 3.0 = 0.30 kg·m/s です。打った後の運動量 p′ は、上向きに 0.10 × 4.0 = 0.40 kg·m/s です。
運動量の変化は「後 − 前」で、p′ − p です。矢印の引き算は、「逆向きの矢印を足す」と考えます。p と同じ長さで逆向きの矢印を −p と書きます(「マイナス・ピー・ベクトル」)。p′ の先に −p をつなぐと、p′ の根元から −p の先へ向かう矢印が p′ − p です。この矢印が、球が受けた力積 FΔt です。
次の図で、方眼を数えて、力積の矢印が左右・上下にそれぞれ何目盛り分かを確かめます。
紫の矢印は運動量、藍の矢印は力積です。破線の −p は、p と同じ長さで逆向きの矢印です。
| x 成分 [kg·m/s] | y 成分 [kg·m/s] | |
|---|---|---|
| 打つ前 p | +0.30 | 0 |
| 打った後 p′ | 0 | +0.40 |
| 変化(後 − 前)= 力積 | 0 − 0.30 = −0.30 | 0.40 − 0 = +0.40 |
表のとおり、力積の x 成分は −0.30 N·s、y 成分は +0.40 N·s で、図5 の矢印(左へ 3 目盛り、上へ 4 目盛り)と合っています。平面では、x 成分と y 成分のそれぞれで、一直線のときと同じ「後 − 前 = 力積」を使います。
確認
今度は、0.10 kg の球が上へ 4.0 m/s で転がってきて、打たれて右へ 3.0 m/s で転がるようになったとします。本文の場面と、打つ前と打った後が入れ替わっています。力積の矢印は、左上・右上・左下・右下のどれを向きますか。
右下です。力積は p′ − p で、右向きの p′ に、下向きの −p をつなぐからです。
例題
図5 の球(0.10 kg、右へ 3.0 m/s から、上へ 4.0 m/s に変わった)が受けた力積の大きさを求めなさい。力積の成分は、x 成分 −0.30 N·s、y 成分 +0.40 N·s です。
答え: 0.50 N·s
右を正の向きとします。
問1なめらかな氷の上に、質量 2.0 kg の箱が止まっています。この箱を、右へ一定の力 6.0 N で 1.5 s 押しました。押した後の箱の速度を求めなさい。
+4.5 m/s(右向きに 4.5 m/s)
力積は FΔt = 6.0 × 1.5 = 9.0 N·s。押す前の運動量は 0。mv′ − mv = FΔt から、2.0 × v′ − 0 = 9.0、v′ = 9.0 ÷ 2.0 = 4.5 m/s
問2質量 1.0 × 103 kg の自動車が、右向きに 20 m/s で走っています。ブレーキをかけたら、3.0 s 後に右向きに 8.0 m/s になりました。
(1) 自動車が受けた力積を求めなさい。
(2) 自動車が受けた平均の力を求めなさい。
(1) −1.2 × 104 N·s(左向きに 1.2 × 104 N·s) (2) −4.0 × 103 N(左向きに 4.0 × 103 N)
(1) 前の運動量は 1.0 × 103 × 20 = 2.0 × 104 kg·m/s、後の運動量は 1.0 × 103 × 8.0 = 8.0 × 103 kg·m/s。力積は後 − 前で、8.0 × 103 − 2.0 × 104 = −1.2 × 104 N·s (2) 平均の力 = 力積 ÷ 時間 = (−1.2 × 104) ÷ 3.0 = −4.0 × 103 N。負なので、進む向きと逆の左向き
問3質量 0.050 kg のボールが、右向きに 12 m/s で飛んできて壁に当たり、左向きに 8.0 m/s ではね返りました。ボールが壁から受けた力積を求めなさい。
−1.0 N·s(左向きに 1.0 N·s)
当たる前の運動量は 0.050 × (+12) = +0.60 kg·m/s、はね返った後の運動量は 0.050 × (−8.0) = −0.40 kg·m/s。力積は後 − 前で、−0.40 − (+0.60) = −1.0 N·s
問4なめらかな床の上で、質量 0.20 kg の球が、右(x の正の向き)へ 4.0 m/s で転がっています。この球を打ったら、左上へ転がるようになりました。打った後の速度は、x 成分が −2.0 m/s、y 成分が +4.5 m/s です。球が受けた力積の大きさを求めなさい。
1.5 N·s
打つ前の運動量は x 成分 0.20 × 4.0 = +0.80 kg·m/s、y 成分 0。打った後の運動量は x 成分 0.20 × (−2.0) = −0.40 kg·m/s、y 成分 0.20 × 4.5 = +0.90 kg·m/s。力積の x 成分は −0.40 − (+0.80) = −1.2 N·s、y 成分は 0.90 − 0 = +0.90 N·s。大きさは √1.22 + 0.902 = √1.44 + 0.81 = √2.25 = 1.5 N·s
問5なめらかな床の上に止まっている質量 0.50 kg の物体に、右向きの力を加えました。力は 0 から一様に増えて 0.025 s 後に 40 N になり、そこから一様に減って 0.050 s 後に 0 になりました(F-t グラフは、底辺 0.050 s、高さ 40 N の三角形)。力を受けた後の物体の速さを求めなさい。
2.0 m/s
力積は三角形の面積で、12 × 0.050 × 40 = 1.0 N·s。前の運動量は 0。mv′ − mv = FΔt から、0.50 × v′ − 0 = 1.0、v′ = 1.0 ÷ 0.50 = 2.0 m/s
問6質量 0.40 kg のボールが、速さ 15 m/s で飛んできました。これを止めるのに、A さんは手を動かさずに 0.020 s で受け止め、B さんは手を引きながら 0.10 s かけて受け止めました。
(1) どちらの場合も、ボールが受けた力積の大きさを求めなさい。
(2) A さん、B さんの場合の平均の力の大きさをそれぞれ求め、A さんの場合は B さんの場合の何倍かを答えなさい。
(1) どちらも 6.0 N·s (2) A さん 3.0 × 102 N、B さん 60 N、5.0 倍
(1) 運動量の大きさは 0.40 × 15 = 6.0 kg·m/s から 0 になるので、力積の大きさはどちらも 6.0 N·s (2) A さん: 6.0 ÷ 0.020 = 3.0 × 102 N。B さん: 6.0 ÷ 0.10 = 60 N。300 ÷ 60 = 5.0 倍(止まるまでの時間が 0.10 ÷ 0.020 = 5.0 倍違うため)
公式
物理 第3章 運動量