運動量保存則

1運動量保存則

2つの物体が力を及ぼし合うだけなら、2つの物体の運動量の和は、衝突の前と後で変わりません。

摩擦のない、なめらかな水平のレールの上に、台車 A と台車 B を置きます。A の質量は 2.0 kg、B の質量は 1.0 kg です。B を止めておき、A を右向きに 3.0 m/s で走らせて、B にぶつけます。

記号の右下の小さい A・B は、どちらの台車の量かを区別するための印です。m_A は A の質量、v_B は B の速度です。衝突の後の速度には「′」(ダッシュ)を付けます。「′」は「後」の印で、v_A′(ブイ・エー・ダッシュ)は衝突の後の A の速度です。

このページでは右を正の向きとします。速度は符号つきで書き、左向きに動けば負です。運動量は質量 × 速度で、p = mv と書きます(単位 kg·m/s)。左向きに動く物体の運動量は負になります。この場面では、m_A = 2.0 kg、m_B = 1.0 kg、v_A = +3.0 m/s、v_B = 0 m/s です。A の運動量は 2.0 × 3.0 = 6.0 kg·m/s、B の運動量は 0 kg·m/s です。

次の動画で、衝突している間に A と B が受ける力と、運動量の移り方を確かめます。重い A と軽い B では、衝突している間に強く押されるのはどちらだと思いますか。予想してから動画を見てください。

衝突している間、A は B から左向きに押され、B は A から右向きに押されます。この2つの力は作用・反作用(A が B を押すと、B も A を押し返す、1組の力)なので、大きさは時間とともに変わっても、どの瞬間も同じ大きさで逆向きです。2つの力がはたらくのは、2台が接している間だけです。だから、力がはたらく時間も同じです。

力積は、力 F × 力がはたらいた時間 Δt(デルタ・ティー)で、FΔt と書きます。力積は力と時間で決まるので、A が受ける力積と B が受ける力積も、同じ大きさで逆向きです。物体の運動量の変化は、その物体が受けた力積に等しくなります(mv′ − mv = FΔt)。だから、A の運動量の変化と B の運動量の変化も、同じ大きさで逆向きです。

衝突の後、A は +1.0 m/s、B は +4.0 m/s で動きました。運動量を表にすると、次のようになります。

A が受けた力積は −4.0 N·s、B が受けた力積は +4.0 N·s です。2つの運動量の和は、衝突の前も後も 6.0 kg·m/s です。和は、符号を付けたまま足します。

A と B の2つをひとまとまりとして考えます。A と B が互いに及ぼし合う力を内力といいます。この場面では、「B が A を押す力」と「A が B を押す力」が内力です。2つの物体の外にある物(地球やレールなど)から受ける力を外力といいます。この場面では、重力とレールからの垂直抗力が外力です。重力と垂直抗力は縦の向きで、台車ごとにつり合っています。レールはなめらかなので、横の向きには外力がはたらきません。運動量の和を変えられるのは、外力だけです。

外力の和が 0 のとき(この場面のように、外力がはたらいてもつり合っているときも含みます)、2つの物体の運動量の和は変わりません。これを運動量保存則といいます。記号で書くと、次の式になります。左辺が衝突の前、右辺が衝突の後の運動量の和です。

この場面の値を入れると、2.0 × 3.0 + 1.0 × 0 = 2.0 × 1.0 + 1.0 × 4.0 で、両辺とも 6.0 kg·m/s です。

2合体(くっつく衝突)

2つの物体がぶつかってくっつくと、衝突の後は2つが同じ速度で動くので、求める速度は1つだけになります。

台車 A の前に粘土を付けて、止まっている台車 B にぶつけると、2台はくっつき、1つになって動きます。このように、ぶつかってくっつくことを合体といいます。くっついた2台は、同じ速度で動きます。この速度を v′ と書きます(A・B の印は付けません)。

運動量保存則の右辺は、v_A′ と v_B′ がどちらも v′ になるので、m_Av′ + m_Bv′ = (m_A + m_B)v′ です。

くっついた後は、質量 m_A + m_B の1つの物体として、衝突の前と同じ運動量を持って動きます。

質量 2.0 kg の A が +3.0 m/s で進み、止まっている質量 2.0 kg の B にぶつかってくっつく場合を考えます。衝突の前の運動量の和は、2.0 × 3.0 + 2.0 × 0 = 6.0 kg·m/s です。くっついた後の質量は 2.0 + 2.0 = 4.0 kg です。運動量の和は 6.0 kg·m/s のままなので、4.0 × v′ = 6.0 です。v′ = 6.0 ÷ 4.0 = +1.5 m/s です。A の速さ 3.0 m/s の半分になります。

次の図で、ぶつけられる台車 B の重さを変えて、くっついた後の2台の速さがどう変わるかを確かめます。

3分裂

止まっていた物体が2つに分かれるとき、運動量の和は分かれた後も 0 なので、2つは逆向きに動き、軽いほうが速く動きます。

なめらかなレールの上に、質量 1.0 kg の台車 A と質量 2.0 kg の台車 B を、間に縮めたばねをはさんで並べ、糸でしばっておきます。A が左、B が右です。2台は止まっています。糸を切ると、ばねが2台を押し離し、2台は逆向きに動き出します。このように、1つの物体(ここでは、しばってひとまとまりになった2台)が2つに分かれることを分裂といいます。ばねはとても軽いので、ばねの運動量は考えなくてよく、A と B の2つだけを考えます。ばねを通して A と B が押し合う力は内力です。横の向きに外力ははたらかないので、運動量保存則が使えます。

分かれる前、2台は止まっているので、運動量の和は 0 kg·m/s です。だから、分かれた後の運動量の和も 0 です。和が 0 になるには、2台の運動量が同じ大きさで逆向き(一方が正、もう一方が負)でなければなりません。

分かれた後、A は −2.0 m/s、B は +1.0 m/s で動きました。A の運動量は 1.0 × (−2.0) = −2.0 kg·m/s、B の運動量は 2.0 × 1.0 = +2.0 kg·m/s で、和は 0 kg·m/s です。運動量の大きさは同じ 2.0 kg·m/s なので、質量が 2 倍の B は、速さが A の半分になります。

次の図は、スケートリンクのなめらかな氷の上で、止まっていたあなたと友だちが、手で押し合って離れる場面です。友だちの体重(質量)を変えて、押し合った後の2人の離れる速さがどう違うかを確かめます。

4平面上の衝突

平面上の衝突では、運動量の x 成分の和と y 成分の和が、それぞれ衝突の前と後で変わりません。

なめらかな水平の台の上をすべる2つの球を、真上から見て考えます。この項目では、図の右を x の正の向き、図の上を y の正の向きとします。真上から見た図なので、図の上は鉛直上向きではなく、台の上の1つの向き(たとえば北)です。

運動量はp = mv で、速度と同じ向きの矢印で表せます(文字の上の矢印は、向きを持つ量の印です)。平面の上では、運動量を x 成分と y 成分に分けて考えます。A の運動量のベクトルを p_A、B の運動量のベクトルを p_B と書きます。

質量 1.0 kg の球 A が x の正の向きに 4.0 m/s で、質量 1.0 kg の球 B が y の正の向きに 3.0 m/s ですべってきて、交差点のような所でぶつかり、くっつきます。A の運動量は x 成分 1.0 × 4.0 = +4.0 kg·m/s、y 成分 0 kg·m/s です。B の運動量は x 成分 0 kg·m/s、y 成分 1.0 × 3.0 = +3.0 kg·m/s です。

衝突している間、A と B は作用・反作用で、同じ大きさで逆向きの力を及ぼし合います。この力を x 成分と y 成分に分けると、どちらの向きでも、A と B が受ける力積は同じ大きさで逆向きです。だから、x 成分の和と y 成分の和が、それぞれ変わりません。この場面では、衝突の後も、運動量の x 成分の和は +4.0 kg·m/s、y 成分の和は +3.0 kg·m/s です。

運動量の和をベクトルで表すときは、p_A の矢印の先に p_B の矢印の根元をつなぎ、p_A の根元から p_B の先へ矢印を引きます。この矢印は、横 4.0、縦 3.0 の直角三角形の斜辺なので、大きさは √4.0² + 3.0² = √25 = 5.0 kg·m/s です。