鉛直投射(投げ下ろし・投げ上げ)

1鉛直投げ下ろし

真下に投げ下ろす運動の加速度は、自由落下と同じ下向きの g で、ちがうのは初速度 v₀ があることだけです。

ビルの屋上から、ボールを真下に向けて投げます。自由落下とちがって、ボールは手を離れた瞬間から、もう下向きに動いています。真下に投げる運動を鉛直投げ下ろしといいます。真上に投げる運動は鉛直投げ上げといい、項目2から扱います。この2つをまとめて鉛直投射といいます。このページでも、空気の抵抗は考えません。

投げ下ろしでは、自由落下のページと同じく、鉛直下向きを正の向きとします。投げた点を原点、投げた時刻を 0 とします。y は「投げた点から下へ何 m の所にいるか」を表します。

投げた瞬間の速度が、初速度 v₀ です。下向きに投げたので、v₀ は正の数です。たとえば、下向きに 4.9 m/s で投げたなら、v₀ = +4.9 m/s です。手を離れたあとのボールは、自由落下と同じように、下向きに 9.8 m/s² の加速度で速くなっていきます。だから、加速度は a = +g です。自由落下とちがうのは、v₀ が 0 ではないことだけです。

等加速度直線運動の3つの式に、a = g を入れ、x を y に書き換えます。速度の式 v = v₀ + at は、次のようになります。

位置の式 x = v₀t + 12at² は、次のようになります。

時間を使わない式 v² − v₀² = 2ax は、次のようになります。

下向きに 4.9 m/s で投げ下ろしたときの、1 秒ごとの速度と位置は、次の表のようになります。

たとえば t = 1.0 s では、v = 4.9 + 9.8 × 1.0 = 14.7 m/s です。位置は、y = 4.9 × 1.0 + 12 × 9.8 × 1.0² = 4.9 + 4.9 = 9.8 m です。投げた点から 9.8 m 下にいます。速度は、自由落下と同じく、1 秒ごとに 9.8 m/s ずつ増えています。ちがうのは、出発が 0 ではなく +4.9 m/s であることです。

3つの式で v₀ = 0 にすると、v = gt、y = 12gt²、v² = 2gy になります。これは、自由落下の3つの式です。自由落下は、投げ下ろしで v₀ = 0 のときにあたります。

2上向きを正にして投げ上げを表す

投げ上げで上向きを正の向きにすると、加速度は a = −g です。加速度はずっと同じなので、上がる間も下がる間も同じ式で表せます。

ボールを真上に投げ上げます。ボールは上がりながらだんだん遅くなり、いちばん高い所で一瞬止まります。そのあと向きを変えて、だんだん速くなりながら落ちてきます。

投げ上げでは、ボールが進む向きが、途中で上向きから下向きに変わります。向きが変わる運動では、正の向きを1つに決めておかないと、速度の + と − が決められません。この資料では、投げ上げの問題で、鉛直上向きを正の向きとします。投げた点を原点、投げた時刻を 0 とします。自由落下や投げ下ろしとは、正の向きが逆です。正の向きは、問題に合わせて決める約束です。「等加速度直線運動(2)」のページで、斜面に沿って上向きを正の向きにしたのと同じです。

投げ上げでは、y は「投げた点から上へ何 m の所にいるか」を表します。たとえば y = +14.7 m は、投げた点から 14.7 m 上にいるということです。速度 v が + なら、ボールは上がっています。v が − なら、ボールは下がっています。

重力加速度の向きは、鉛直下向きです。これは、正の向きをどちらに決めても変わりません。上向きを正にしたので、下向きの加速度は負の数で書きます。だから a = −g = −9.8 m/s² です。g は重力加速度の大きさで、いつも正の数 9.8 m/s² です。−g のマイナスは「下向き」という意味です。

等加速度直線運動の3つの式に、a = −g を入れ、x を y に書き換えます。速度の式 v = v₀ + at は、v = v₀ + (−g)t なので、次のようになります。

位置の式 x = v₀t + 12at² は、y = v₀t + 12 × (−g) × t² なので、次のようになります。

時間を使わない式 v² − v₀² = 2ax は、v² − v₀² = 2 × (−g) × y なので、次のようになります。

上向きに 19.6 m/s で投げ上げたとき(v₀ = +19.6 m/s)の、1 秒ごとの速度と位置は、次の表のようになります。

たとえば t = 1.0 s では、v = 19.6 − 9.8 × 1.0 = 9.8 m/s です。位置は、y = 19.6 × 1.0 − 12 × 9.8 × 1.0² = 19.6 − 4.9 = 14.7 m です。速度は、1 秒ごとに 9.8 m/s ずつ減っています。加速度が −9.8 m/s² だからです。

t = 3.0 s の列を読みます。v = −9.8 m/s は、「下向きに 9.8 m/s の速さで落ちている」という意味です。y = +14.7 m は、「投げた点から 14.7 m 上にいる」という意味です。t = 1.0 s のときも、y は +14.7 m で同じ高さです。ちがうのは速度で、1.0 s では上がっていて(+9.8 m/s)、3.0 s では下がっています(−9.8 m/s)。

上がる間も、一瞬止まる時刻も、落ちる間も、加速度はずっと −9.8 m/s² です。加速度が変わらないので、投げてから落ちてくるまでを、v = v₀ − gt と y = v₀t − 12gt² の1組の式で表せます。上がる間と下がる間で、式を変える必要はありません。自由落下も、上向きを正の向きにすれば、加速度は −g と書けます。どちらを正の向きにしても、運動そのものは同じです。

3最高点

投げ上げたボールがいちばん高い所(最高点)に着くのは、速度が v = 0 になるときです。

項目2の表(v₀ = +19.6 m/s)で、速度が 0 になるのは t = 2.0 s です。2.0 s までは速度が + で、ボールは上がっています。2.0 s からあとは速度が − で、ボールは下がっています。だから、t = 2.0 s のときがいちばん高く、位置は y = +19.6 m です。いちばん高い点を最高点といいます。最高点は、上がるのをやめて落ち始める点です。

最高点では、上向きにも下向きにも動いていないので、速度が 0 です。だから、最高点を求めるときは、v = 0 とおきます。

速度の式 v = v₀ − gt に、v = 0 を入れます。v₀ = +19.6 m/s なら、0 = 19.6 − 9.8 × t です。9.8 × t = 19.6 なので、t = 19.6 ÷ 9.8 = 2.0 s です。表と同じです。文字で書くと、0 = v₀ − gt から t = v₀ / g です。速度は 1 秒に 9.8 m/s ずつ減ります。速度が v₀ から 0 になるまでに何秒かかるかを、割り算で求めているということです。

最高点の高さは、最高点までの時間 t = 2.0 s を、位置の式 y = v₀t − 12gt² に入れて求めます。y = 19.6 × 2.0 − 12 × 9.8 × 2.0² = 39.2 − 19.6 = 19.6 m です。

時間を使わない式 v² − v₀² = −2gy に、v = 0 を入れても求められます。0² − 19.6² = −2 × 9.8 × y なので、−384.16 = −19.6 × y です。y = 384.16 ÷ 19.6 = 19.6 m で、同じ答えになります。時間が分かっていないときや、高さだけを聞かれたときは、v² − v₀² = −2gy を使うと、時間を求めずに高さが分かります。

最高点では、速度は 0 ですが、加速度は −9.8 m/s² のままです。0 ではありません。もし加速度が 0 なら、速度は 0 のまま変わらず、ボールは最高点で空中に止まったままになるはずです。加速度が −9.8 m/s² なので、最高点の 1 秒あとには、速度は −9.8 m/s になり、ボールは落ちてきます。「等加速度直線運動(2)」のページで、斜面で折り返す瞬間の台車の加速度が 0 ではなかったのと同じです。

4投げた点に戻るまで

投げ上げたボールが投げた点に戻るまでの時間は、最高点までの時間の2倍で、戻ったときの速度は、大きさが初速度と同じで向きが逆です。

上向きに 19.6 m/s で投げ上げたとき(v₀ = +19.6 m/s)の表を、もう一度示します。

位置が y = 0 に戻るのは t = 4.0 s です。最高点までは 2.0 s でした。投げた点に戻るまでの 4.0 s は、その2倍です。上がるのに 2.0 s、下がるのに 2.0 s かかっています。上りと下りにかかる時間は同じです。

t = 4.0 s のときの速度は、v = 19.6 − 9.8 × 4.0 = 19.6 − 39.2 = −19.6 m/s です。マイナスは、下向きに動いているという意味です。速さは 19.6 m/s で、投げたときの速さと同じです。向きだけが逆です。

この表を見ると、t = 1.0 s と 3.0 s では、ボールは同じ高さ(+14.7 m)にいます。速度は +9.8 m/s と −9.8 m/s で、速さはどちらも 9.8 m/s です。同じ高さを通るときの速さは、上りと下りで同じです。

表の速度を、v-t グラフに点として打ちます。横軸が時刻 t、縦軸が速度 v です。点(4.0 s, −19.6 m/s)は、「投げてから 4.0 s 後に、下向きに速さ 19.6 m/s で動いている」という意味です。位置ではありません。点は、(0 s, +19.6 m/s) から (4.0 s, −19.6 m/s) までの、右下がりの1本の直線の上に並びます。傾きは加速度で、−9.8 m/s² です。直線は t = 2.0 s で横軸を横切ります。速度が 0 になる、最高点の時刻です。グラフの線は、ボールが通った道ではありません。ボールは、真上に上がって、真下に戻ってくるだけです。

v-t グラフの面積は変位で、横軸より下の面積は負の変位として数えました(「x-t グラフと v-t グラフ」のページ)。横軸より上の三角形(0 〜 2.0 s)は、底辺 2.0 s、高さ 19.6 m/s で、面積は 12 × 2.0 × 19.6 = 19.6 です。上がった分の変位は +19.6 m で、最高点の高さと同じです。横軸より下の三角形(2.0 〜 4.0 s)も、底辺 2.0 s、高さ 19.6 m/s で、面積は 19.6 です。横軸より下なので、下がった分の変位は −19.6 m です。0 〜 4.0 s の変位は、+19.6 + (−19.6) = 0 m です。だから、t = 4.0 s で y = 0 に戻っています。

投げた点に戻るのは、位置が y = 0 のときです。位置の式 y = v₀t − 12gt² に、y = 0 と v₀ = 19.6 m/s を入れると、0 = 19.6t − 4.9t² です。右辺を t でくくると、t × (19.6 − 4.9t) = 0 です。だから、t = 0 か、19.6 − 4.9t = 0 です。t = 0 は、投げた瞬間です。このときも y = 0 ですが、まだ戻ってきたのではありません。19.6 − 4.9t = 0 から、t = 19.6 ÷ 4.9 = 4.0 s です。これが投げた点に戻る時刻です。文字で同じ計算をすると、t = 2v₀ / g です。最高点までの時間 v₀ / g のちょうど2倍です。この形は覚えなくてもかまいません。

5投げた点より下まで落ちるとき

投げた点より下の位置は y が負になるので、地面の位置をマイナスで入れれば、投げ上げの式のまま地面に着く時間が求められます。

地面から高さ 14.7 m のビルの屋上から、ボールを鉛直上向きに 9.8 m/s で投げ上げます。ボールは最高点まで上がったあと落ちてきて、屋上の高さを通り過ぎ、さらに下の地面まで落ちます。

これまでと同じく、鉛直上向きを正の向き、投げた点(屋上)を原点、投げた時刻を 0 とします。原点は地面ではなく屋上です。地面は、屋上から 14.7 m 下にあります。上向きが正なので、投げた点より下の位置は負の数で表します。だから、地面の位置は y = −14.7 m です。マイナスは「投げた点より下にある」という意味です。距離が負という意味ではありません。

v₀ = +9.8 m/s のとき、1 秒ごとの速度と位置は、次の表のようになります。

t = 1.0 s で速度が 0 なので、ここが最高点です。屋上から 4.9 m 上です。t = 2.0 s で y = 0 なので、屋上の高さに戻ってきます。t = 3.0 s で y = −14.7 m なので、ここで地面に着きます。

屋上より下へ落ちていく間も、加速度は −9.8 m/s² のままです。だから、項目2の式 v = v₀ − gt と y = v₀t − 12gt² が、そのまま使えます。投げた点を通り過ぎても、式を変える必要はありません。

位置の式 y = v₀t − 12gt² に、y = −14.7 m と v₀ = 9.8 m/s を入れます。−14.7 = 9.8t − 4.9t² です。両辺を 4.9 で割ると、−3 = 2t − t² です。左辺の −3 を右辺に移し、両辺に −1 を掛けて並べ直すと、t² − 2t − 3 = 0 です。因数分解すると、(t − 3)(t + 1) = 0 なので、t = 3 か t = −1 です。t = −1 は投げる前の時刻なので、使いません。ボールは投げた時刻 0 より後にしか飛んでいないからです。だから、地面に着くのは t = 3.0 s です。表と同じです。

地面に着く直前の速度は、v = v₀ − gt = 9.8 − 9.8 × 3.0 = 9.8 − 29.4 = −19.6 m/s です。マイナスなので、下向きに速さ 19.6 m/s で地面に着きます。時間を使わない式 v² − v₀² = −2gy でも確かめられます。v² − 9.8² = −2 × 9.8 × (−14.7) なので、v² = 96.04 + 288.12 = 384.16 です。19.6 × 19.6 = 384.16 なので、速さは 19.6 m/s です。v² からは速さしか分かりません。落ちてくる途中なので、向きは下向きで、速度は −19.6 m/s です。