鉛直投射(2)

1投げた点に戻るまで

投げ上げたボールが投げた点に戻るまでの時間は、最高点までの時間の2倍で、戻ったときの速度は、大きさが初速度と同じで向きが逆です。

このページでは、ボールを真上に投げ上げます。空気の抵抗は考えません。鉛直上向き(真上の向き)を正の向き、投げた点を原点、投げた時刻を 0 とします。縦の位置 y(ワイ)は、「投げた点から上へ何 m の所にいるか」を表します。y が負なら、投げた点より下です。速度 v が + なら上がっていて、− なら下がっています。

ボールの加速度(1 秒あたりの速度の変化)は、上がる間も下がる間も、下向きに 9.8 m/s² です。この大きさを重力加速度 g(ジー)といいます。上向きを正にしたので、加速度は a = −g = −9.8 m/s² です。初速度(投げた瞬間の速度)を v₀(ブイ・ゼロ)、時刻を t とします。加速度が一定の運動の式に a = −g を入れると、速度の式、位置の式、時間を使わない式は、次のようになります。

上向きに 19.6 m/s で投げ上げたとき(v₀ = +19.6 m/s)の、1 秒ごとの速度と位置は、次の表のようになります。

位置が y = 0 に戻るのは t = 4.0 s です。速度が 0 になる t = 2.0 s が、最高点(いちばん高い点)に着く時刻です。投げた点に戻るまでの 4.0 s は、その2倍です。上がるのに 2.0 s、下がるのに 2.0 s かかっています。上りと下りにかかる時間は同じです。

t = 4.0 s のときの速度は、v = 19.6 − 9.8 × 4.0 = 19.6 − 39.2 = −19.6 m/s です。速さは 19.6 m/s で、投げたときの速さと同じです。向きだけが逆です。

上の表を見ると、t = 1.0 s と 3.0 s では、ボールは同じ高さ(+14.7 m)にいます。速度は +9.8 m/s と −9.8 m/s で、速さはどちらも 9.8 m/s です。同じ高さを通るときの速さは、上りと下りで同じです。

表の速度を、v-t グラフに点として打ちます。横軸が時刻 t、縦軸が速度 v です。点(4.0 s, −19.6 m/s)は、「投げてから 4.0 s 後に、下向きに速さ 19.6 m/s で動いている」という意味です。点は、(0 s, +19.6 m/s) から (4.0 s, −19.6 m/s) までの、右下がりの1本の直線の上に並びます。傾きは加速度で、−9.8 m/s² です。直線は t = 2.0 s で横軸を横切ります。速度が 0 になる、最高点の時刻です。

v-t グラフの、直線と横軸の間の面積は、変位(位置の変化)を表します。横軸より下の面積は、負の変位として数えます。横軸より上の三角形(0 〜 2.0 s)は、底辺 2.0 s、高さ 19.6 m/s で、面積は 12 × 2.0 × 19.6 = 19.6 です。上がった分の変位は +19.6 m で、最高点の高さと同じです。横軸より下の三角形(2.0 〜 4.0 s)も、底辺 2.0 s、高さ 19.6 m/s で、面積は 19.6 です。横軸より下なので、下がった分の変位は −19.6 m です。0 〜 4.0 s の変位は、+19.6 + (−19.6) = 0 m です。だから、t = 4.0 s で y = 0 に戻っています。

投げた点に戻るのは、位置が y = 0 のときです。位置の式 y = v₀t − 12gt² に、y = 0 と v₀ = 19.6 m/s を入れると、0 = 19.6t − 4.9t² です。右辺を t でくくると、t × (19.6 − 4.9t) = 0 です。だから、t = 0 か、19.6 − 4.9t = 0 です。t = 0 は、投げた瞬間です。このときも y = 0 ですが、まだ戻ってきたのではありません。19.6 − 4.9t = 0 から、t = 19.6 ÷ 4.9 = 4.0 s です。これが投げた点に戻る時刻です。文字で同じ計算をすると、t = 2v₀ / g です。最高点では速度が 0 なので、v = v₀ − gt に v = 0 を入れると、最高点までの時間は v₀ / g です。戻るまでの時間は、そのちょうど2倍です。この形は覚えなくてもかまいません。

2投げた点より下まで落ちるとき

投げた点より下の位置は y が負になるので、地面の位置をマイナスで入れれば、投げ上げの式のまま地面に着く時間が求められます。

地面から高さ 14.7 m のビルの屋上から、ボールを鉛直上向きに 9.8 m/s で投げ上げます。ボールは最高点まで上がったあと落ちてきて、屋上の高さを通り過ぎ、さらに下の地面まで落ちます。

原点は、地面ではなく投げた点(屋上)です。地面は、屋上から 14.7 m 下にあります。上向きが正なので、投げた点より下の位置は負の数で表します。だから、地面の位置は y = −14.7 m です。マイナスは「投げた点より下にある」という意味です。ビルの高さを h(エイチ)とすると、地面の位置は y = −h です。

v₀ = +9.8 m/s のとき、1 秒ごとの速度と位置は、次の表のようになります。

t = 1.0 s で速度が 0 なので、ここが最高点です。屋上から 4.9 m 上です。t = 2.0 s で y = 0 なので、屋上の高さに戻ってきます。t = 3.0 s で y = −14.7 m なので、ここで地面に着きます。

屋上より下へ落ちていく間も、加速度は −9.8 m/s² のままです。だから、投げ上げの式 v = v₀ − gt と y = v₀t − 12gt² が、そのまま使えます。投げた点を通り過ぎても、式を変える必要はありません。

位置の式 y = v₀t − 12gt² に、y = −14.7 m と v₀ = 9.8 m/s を入れます。−14.7 = 9.8t − 4.9t² です。両辺を 4.9 で割ると、−3 = 2t − t² です。左辺の −3 を右辺に移し、両辺に −1 を掛けて並べ直すと、t² − 2t − 3 = 0 です。因数分解すると、(t − 3)(t + 1) = 0 なので、t = 3 か t = −1 です。t = −1 は投げる前の時刻なので、使いません。だから、地面に着くのは t = 3.0 s です。表と同じです。

地面に着く直前の速度は、v = v₀ − gt = 9.8 − 9.8 × 3.0 = 9.8 − 29.4 = −19.6 m/s です。マイナスなので、下向きに速さ 19.6 m/s で地面に着きます。時間を使わない式 v² − v₀² = −2gy でも確かめられます。v² − 9.8² = −2 × 9.8 × (−14.7) なので、v² = 96.04 + 288.12 = 384.16 です。19.6 × 19.6 = 384.16 なので、速さは 19.6 m/s です。v² からは速さしか分かりません。落ちてくる途中なので、向きは下向きで、速度は −19.6 m/s です。