力学的エネルギー保存の法則(非保存力，2物体)

1非保存力がする仕事と力学的エネルギー

非保存力が仕事をすると、力学的エネルギーは、その仕事 W の分だけ変わります(E₂ − E₁ = W)。

運動エネルギー K = 12mv² と位置エネルギー U = mgh の和 E = K + U を、力学的エネルギーといいます(m は質量、v は速さ、h は基準面(高さを 0 とする面)からの高さ)。重力だけが仕事をするとき、E は変わりません(力学的エネルギー保存の法則。ばねの弾性力がはたらくときは、E に弾性力による位置エネルギー 12kx² も入れます。k はばね定数、x はばねの伸び(縮み))。重力や弾性力のように、する仕事が道筋によらない力を保存力、摩擦力や手の力のように、保存力でない力を非保存力といいます。

あらい床の上をすべる箱は、だんだん遅くなって止まります。高さは変わらないので、U は同じで K だけが減り、力学的エネルギー E は減ります。このように、非保存力が仕事をすると、力学的エネルギーは保存されません。ここでは、E がどれだけ変わるかを求めます。

仕事は、力の大きさ × 力の向きに動いた距離です。動く向きと逆向きの力の仕事は負、動く向きと垂直な力の仕事は 0 です。物体の運動エネルギーの変化は、物体がされた仕事の和に等しくなります。この関係から出発します。はじめの速さを v₁、後の速さを v₂、はじめの高さを h₁、後の高さを h₂ とします。小さい数字の 1 は「はじめ」、2 は「後」を表す番号です。ここでは、保存力は重力だけとし、された仕事の和を、重力がした仕事と、非保存力がした仕事 W に分けます。

重力は保存力なので、重力がした仕事は高さだけで決まり、mgh₁ − mgh₂ です(高さ h₁ から h₂ へ下りるときに正になります)。これを入れると、12mv₂² − 12mv₁² = mgh₁ − mgh₂ + W です。mgh₁ − mgh₂ を左辺へ移すと、(12mv₂² + mgh₂) − (12mv₁² + mgh₁) = W です。左辺のかっこは、後の力学的エネルギー E₂ と、はじめの力学的エネルギー E₁ です。

W = 0 なら E₂ = E₁ で、力学的エネルギーは保存されます。ばねの弾性力がはたらくときも、E に 12kx² を入れれば同じ式です。

動摩擦力の大きさは f′ = μ′N です(μ′(ミュー ダッシュ)は動摩擦係数、N は垂直抗力)。動摩擦力はすべる向きと逆向きなので、距離 x すべる間の仕事は負で、W = −μ′Nx です。

たとえば、質量 2.0 kg の物体が、動摩擦係数 0.25 のあらい水平な床に 4.0 m/s で入り、2.0 m すべったとします。基準面を床にとると U = 0 なので、E₁ = 12 × 2.0 × 4.0² = 16 J です。N = mg = 2.0 × 9.8 = 19.6 N、動摩擦力は f′ = 0.25 × 19.6 = 4.9 N で、W = −4.9 × 2.0 = −9.8 J です。E₂ = E₁ + W = 16 − 9.8 = 6.2 J です。力学的エネルギーは 9.8 J 減りました。

摩擦で減った力学的エネルギーは、なくなるのではなく、床と物体をあたためる熱などに変わります。空気の抵抗も、動く向きと逆向きにはたらくので、力学的エネルギーを減らします。

水平でなめらかな床の上を、質量 1.0 kg の台車が 2.0 m/s で動いています。あなたが台車を、動く向きに 3.0 N の力で押しながら 2.0 m 動かします。E₁ = 12 × 1.0 × 2.0² = 2.0 J です。手が押す力は動く向きと同じ向きなので、W = 3.0 × 2.0 = 6.0 J(正)です。E₂ = 2.0 + 6.0 = 8.0 J です。12 × 1.0 × v₂² = 8.0 から、v₂ = 4.0 m/s になります。非保存力が正の仕事をすると、力学的エネルギーは増えます。

2糸でつないだ2物体

台と滑車がなめらかで糸が軽いとき、糸でつないだ2つの物体では、1つずつの力学的エネルギーは変わりますが、2つの和は保存されます。

水平でなめらかな台の上に物体 A を置き、A に軽い糸を付けます。糸を台の端の軽くてなめらかな滑車にかけ、糸の先に物体 B をつるします。A の質量を m_A、B の質量を m_B と書きます。小さい A・B は、どちらの物体の質量かを表す印です。この項目では m_A = 1.5 kg、m_B = 0.50 kg とします。A を手で押さえて止めておき、静かに手を離すと、B は下りはじめ、A は台の上を滑車へ向かってすべります。この運動を、力学的エネルギーで考えます。

B が下りた距離を h とします。B の高さは、h だけ低くなります。糸の長さは変わらないので、A が台の上を進む距離も h です。たとえば、B が 0.40 m 下りれば、A も 0.40 m 進みます。A と B は、同じ時間に同じ距離だけ動くので、速さはいつも同じです。この速さを v とします。

軽い糸と、軽くてなめらかな滑車なので、糸が A を引く力と、糸が B を引く力は、同じ大きさです。この大きさを T とします。糸が A を引く力は、A が動く向き(滑車の向き)にはたらきます。A が h 進む間に、この力が A にする仕事は +Th です。糸が B を引く力は上向きで、B は下へ動きます。B が h 下りる間に、この力が B にする仕事は −Th です。張力は非保存力です。非保存力がした仕事 W の分だけ力学的エネルギーが変わる(E₂ − E₁ = W)ので、A の力学的エネルギーは Th だけ増え、B の力学的エネルギーは Th だけ減ります。

A と B を合わせると、張力がした仕事は +Th + (−Th) = 0 です。台が A を押す垂直抗力は、A が動く向きと垂直なので、仕事をしません。張力のほかに仕事をするのは、保存力の重力だけです。だから、A と B の力学的エネルギーの和は保存されます。

はじめは A も B も止まっているので、運動エネルギーは 0 です。B が h 下りると、B の位置エネルギーは m_Bgh だけ減ります(基準面をどこにとっても、減る量は同じです)。A は台の上を水平に動くので、高さが変わらず、位置エネルギーも変わりません。和が保存されるので、B の位置エネルギーが減った分だけ、A と B の運動エネルギーの和が増えます。2つの速さは同じ v なので、次の式になります。

m_A = 1.5 kg、m_B = 0.50 kg で、B が 0.40 m 下りたとき、左辺は 0.50 × 9.8 × 0.40 = 1.96 J です。右辺は 12 × (1.5 + 0.50) × v² = 1.0 × v² です。1.0 × v² = 1.96 から v² = 1.96 で、1.4 × 1.4 = 1.96 なので、v = 1.4 m/s です。

B を下ろしていくと、A と B の運動エネルギー、B の位置エネルギー、この3つの和がどう変わるかを、棒で確かめます。