鉛直投射(投げ下ろし・投げ上げ)

1鉛直投げ下ろし

真下に投げ下ろす運動の加速度は、自由落下と同じ下向きの g で、ちがうのは初速度 v₀ があることだけです。

ビルの屋上から、ボールを真下に向けて投げます。自由落下(静かに放した物体が、空気の抵抗を受けずに落ちる運動)とちがって、ボールは手を離れた瞬間から、もう下向きに動いています。真下に投げる運動を鉛直投げ下ろしといいます。真上に投げる運動は鉛直投げ上げといい、項目2から扱います。この2つをまとめて鉛直投射といいます。このページでは、空気の抵抗は考えません。

投げ下ろしでは、鉛直下向き(真下の向き)を正の向きとします。投げた点を原点、投げた時刻を 0 とします。縦の位置は y(ワイ)で表します。y は「投げた点から下へ何 m の所にいるか」を表します。

投げた瞬間の速度が、初速度 v₀(ブイ・ゼロ)です。下向きに投げたので、v₀ は正の数です。たとえば、下向きに 4.9 m/s で投げたなら、v₀ = +4.9 m/s です。手を離れたあとのボールは、自由落下と同じように、下向きに 9.8 m/s² の加速度(1 秒あたりの速度の変化)で速くなっていきます。この 9.8 m/s² が重力加速度の大きさで、記号 g(ジー)で表します。だから、加速度は a = +g です。自由落下とちがうのは、v₀ が 0 ではないことだけです。

加速度が一定なので、等加速度直線運動(加速度が一定で、まっすぐ進む運動)の3つの式が使えます。t は時刻、x は位置です。その3つの式に、a = g を入れ、x を y に書き換えます。速度の式 v = v₀ + at は、次のようになります。

位置の式 x = v₀t + 12at² は、次のようになります。

時間を使わない式 v² − v₀² = 2ax は、次のようになります。

下向きに 4.9 m/s で投げ下ろしたときの、1 秒ごとの速度と位置は、次の表のようになります。

たとえば t = 1.0 s では、v = 4.9 + 9.8 × 1.0 = 14.7 m/s です。位置は、y = 4.9 × 1.0 + 12 × 9.8 × 1.0² = 4.9 + 4.9 = 9.8 m です。投げた点から 9.8 m 下にいます。速度は、自由落下と同じく、1 秒ごとに 9.8 m/s ずつ増えています。ちがうのは、出発が 0 ではなく +4.9 m/s であることです。

3つの式で v₀ = 0 にすると、v = gt、y = 12gt²、v² = 2gy になります。これは、自由落下の3つの式です。自由落下は、投げ下ろしで v₀ = 0 のときにあたります。

2上向きを正にして投げ上げを表す

投げ上げで上向きを正の向きにすると、加速度は a = −g です。加速度はずっと同じなので、上がる間も下がる間も同じ式で表せます。

ボールを真上に投げ上げます。ボールは上がりながらだんだん遅くなり、いちばん高い所で一瞬止まります。そのあと向きを変えて、だんだん速くなりながら落ちてきます。

投げ上げでは、ボールが進む向きが、途中で上向きから下向きに変わります。向きが変わる運動では、正の向きを1つに決めておかないと、速度の + と − が決められません。この資料では、投げ上げの問題で、鉛直上向きを正の向きとします。投げた点を原点、投げた時刻を 0 とします。項目1 の投げ下ろしとは、正の向きが逆です。

投げ上げでは、y は「投げた点から上へ何 m の所にいるか」を表します。たとえば y = +14.7 m は、投げた点から 14.7 m 上にいるということです。速度 v が + なら、ボールは上がっています。v が − なら、ボールは下がっています。

重力加速度の向きは、鉛直下向きです。これは、正の向きをどちらに決めても変わりません。上向きを正にしたので、下向きの加速度は負の数で書きます。だから a = −g = −9.8 m/s² です。−g のマイナスは「下向き」という意味です。

等加速度直線運動の3つの式に、a = −g を入れ、x を y に書き換えます。速度の式 v = v₀ + at は、v = v₀ + (−g)t なので、次のようになります。

位置の式 x = v₀t + 12at² は、y = v₀t + 12 × (−g) × t² なので、次のようになります。

時間を使わない式 v² − v₀² = 2ax は、v² − v₀² = 2 × (−g) × y なので、次のようになります。

上向きに 19.6 m/s で投げ上げたとき(v₀ = +19.6 m/s)の、1 秒ごとの速度と位置は、次の表のようになります。

たとえば t = 1.0 s では、v = 19.6 − 9.8 × 1.0 = 9.8 m/s です。位置は、y = 19.6 × 1.0 − 12 × 9.8 × 1.0² = 19.6 − 4.9 = 14.7 m です。速度は、1 秒ごとに 9.8 m/s ずつ減っています。加速度が −9.8 m/s² だからです。

t = 3.0 s の列を読みます。v = −9.8 m/s は、「下向きに 9.8 m/s の速さで落ちている」という意味です。y = +14.7 m は、「投げた点から 14.7 m 上にいる」という意味です。t = 1.0 s のときも、y は +14.7 m で同じ高さです。ちがうのは速度で、1.0 s では上がっていて(+9.8 m/s)、3.0 s では下がっています(−9.8 m/s)。

上がる間も、一瞬止まる時刻も、落ちる間も、加速度はずっと −9.8 m/s² です。加速度が変わらないので、投げてから落ちてくるまでを、v = v₀ − gt と y = v₀t − 12gt² の1組の式で表せます。上がる間と下がる間で、式を変える必要はありません。自由落下も、上向きを正の向きにすれば、加速度は −g と書けます。どちらを正の向きにしても、運動そのものは同じです。

3最高点

投げ上げたボールがいちばん高い所(最高点)に着くのは、速度が v = 0 になるときです。

項目2の表(v₀ = +19.6 m/s)で、速度が 0 になるのは t = 2.0 s です。2.0 s までは速度が + で、ボールは上がっています。2.0 s からあとは速度が − で、ボールは下がっています。だから、t = 2.0 s のときがいちばん高く、位置は y = +19.6 m です。いちばん高い点を最高点といいます。最高点は、上がるのをやめて落ち始める点です。

最高点では、上向きにも下向きにも動いていないので、速度が 0 です。だから、最高点を求めるときは、v = 0 とおきます。

速度の式 v = v₀ − gt に、v = 0 を入れます。v₀ = +19.6 m/s なら、0 = 19.6 − 9.8 × t です。9.8 × t = 19.6 なので、t = 19.6 ÷ 9.8 = 2.0 s です。表と同じです。文字で書くと、0 = v₀ − gt から t = v₀ / g です。速度は 1 秒に 9.8 m/s ずつ減ります。速度が v₀ から 0 になるまでに何秒かかるかを、割り算で求めているということです。

最高点の高さは、最高点までの時間 t = 2.0 s を、位置の式 y = v₀t − 12gt² に入れて求めます。y = 19.6 × 2.0 − 12 × 9.8 × 2.0² = 39.2 − 19.6 = 19.6 m です。

時間を使わない式 v² − v₀² = −2gy に、v = 0 を入れても求められます。0² − 19.6² = −2 × 9.8 × y なので、−384.16 = −19.6 × y です。y = 384.16 ÷ 19.6 = 19.6 m で、同じ答えになります。時間が分かっていないときや、高さだけを聞かれたときは、v² − v₀² = −2gy を使うと、時間を求めずに高さが分かります。