水平投射

1横と縦に分けて見る

水平に投げた物体は、横には一定の速さで進み、縦には自由落下と同じように落ちます。

高い台の端から、球を水平に投げます。球は前へ進みながら、だんだん下へ曲がって落ちていきます。物体を水平に投げる運動を水平投射といいます。このページでも、空気の抵抗は考えません。

曲がりながら落ちる動きは、そのままでは式にしにくいです。そこで、球の動きを、横(水平)の動きと縦(鉛直)の動きに分けて見ます。横の動きと縦の動きを、それぞれ別の球と比べてみます。

下の動画では、3つの球 A・B・C を同時に動かします。

• A は、地面から 19.6 m の高さで、水平に 9.8 m/s で投げた球です。これが、このページで調べる球です。
• B は、A と同じ高さで、A の少し左の点から、そっと(静かに)放した球です。自由落下をします。
• C は、比べるために動画の中だけに置いた球です。A の出発点より少し上に、横向きの点線を引きます。C は、この点線を床と考えて、その上を A と同じ 9.8 m/s で真っすぐ横に進みます。C は落ちません。「もし落ちなかったら」の球です。

重力加速度の向きは、鉛直下向きです。横の向きの加速度はありません。だから、横の速さは、投げたときの 9.8 m/s のまま変わりません。また、横に速く動いていても、縦の落ち方は変わりません。横の動きと縦の動きは、互いにじゃまをせず、別々に進みます。

この資料では、投げた点を原点、投げた向き(水平)を x の正の向き、鉛直下向きを y の正の向きとします。投げた時刻を 0 とします。縦の向きは、自由落下運動のページと同じ約束です。「速度の合成と相対速度(平面上)」のページでは上を y の正の向きにしましたが、このページは落ちる運動なので、下を y の正の向きにします。正の向きは、問題に合わせて決める約束です。x は「投げた点から横へ何 m の所にいるか」、y は「投げた点から下へ何 m の所にいるか」を表します。

動画では、0.20 s ごとの球の位置を、薄い残像で残しています。同じ時刻の A と B は横の点線で、同じ時刻の A と C は縦の点線で結んでいます。

2位置と速度の式

投げてから t 秒後の位置と速度は、横と縦を別々に求めます。横は x = v₀t、縦は y = 12gt² です。

水平に投げた瞬間の速度を、初速度 v₀ とします。前のページまでと同じく「ブイ・ゼロ」と読みます。このページの v₀ は、水平の向き(x の正の向き)の速さです。

項目1の動画で見たように、横の動きは等速直線運動です。v₀ = 9.8 m/s で投げたなら、横には 1.0 s で 9.8 m、2.0 s で 19.6 m 進みます。1 秒に 9.8 m ずつ進むので、横の位置は「9.8 × 時間」です。文字で書くと、次のようになります。等速直線運動の x = vt の v を、v₀ にしたものです。

縦の動きは自由落下なので、自由落下運動のページの式がそのまま使えます。

v₀ = 9.8 m/s で投げたときの、0.5 s ごとの位置は、次の表のようになります。

x は、0.5 s ごとに 4.9 m ずつ、同じだけ増えています。y は、増え方がだんだん大きくなっています。下へ行くほど速く落ちているからです。表の y の 1.2 と 11.0 は、1.225 と 11.025 を小数第1位までにした値です。

横の位置と縦の位置を組にして、(x, y) の形で書きます。たとえば t = 1.0 s の点は、(x, y) = (9.8 m, 4.9 m) です。これは「投げてから 1.0 s 後に、投げた点から横に 9.8 m、下に 4.9 m の所にいる」という意味です。

表の点を、横を x、下向きを y にした図に打って、なめらかにつなぐと、下へ曲がる曲線になります。この曲線は、球が実際に通った道です。「x-t グラフと v-t グラフ」のページのグラフは、横軸が時間だったので、線は物体が通った道ではありませんでした。この図は横も縦も位置なので、線が通った道になります。水平に投げた物体が通る、このような曲線を放物線といいます。

速度も、横と縦に分けて考えます。「速度の合成と相対速度(平面上)」のページと同じく、速度の x 成分を v_x、y 成分を v_y と書きます。v_x は横の向きの速さ、v_y は下向きの速さです。横は等速なので、v_x はいつも投げたときの v₀ のままです。縦は自由落下なので、v_y は自由落下の速度の式 v = gt と同じです。

v₀ = 9.8 m/s のときの速度の成分は、次の表のようになります。

球の速度 v は、v_x と v_y を合わせた矢印です。時間がたつと v_y だけが大きくなるので、速度の矢印は、だんだん下向きに傾いていきます。

3地面に着くまでの時間と飛ぶ距離

地面に着くまでの時間は、縦の動き(高さ)だけで決まります。飛ぶ距離は、その時間に横へ進む距離です。

地面から高さ 19.6 m の台の端から、球を水平に 9.8 m/s で投げます。自由落下運動のページと同じく、投げた点から地面までの高さを h で表します。ここでは h = 19.6 m です。下向きを y の正の向きにしたので、地面は y = 19.6 m の所にあります。だから、球が地面に着くのは、y = h になったときです。

縦の位置の式 y = 12gt² に、y = 19.6 m を入れます。19.6 = 12 × 9.8 × t² なので、19.6 = 4.9 × t² です。t² = 19.6 ÷ 4.9 = 4.0 なので、t = 2.0 s です。この計算には、横の速さ 9.8 m/s を使っていません。着くまでの時間は、縦の動きだけで決まります。

球は、地面に着くまでの 2.0 s の間、横へ 1 秒に 9.8 m ずつ進みます。横の位置の式 x = v₀t に t = 2.0 s を入れると、x = 9.8 × 2.0 = 19.6 m です。球は、台の端の真下から 19.6 m 離れた所に着きます。この距離を、このページでは「飛ぶ距離」と呼びます。

求める順番は、いつも同じです。まず、縦の式 h = 12gt² で、着くまでの時間 t を求めます。次に、その t を横の式 x = v₀t に入れて、飛ぶ距離を求めます。

高さを変えると、着くまでの時間が変わります。自由落下運動のページで求めたように、44.1 m なら 3.0 s です。

4地面に着くときの速度

着くときの速さは、横の速さ v_x と下向きの速さ v_y を、三平方の定理で合わせて求めます。

高さ 19.6 m の台の端から、球を水平に 14.7 m/s で投げます。項目3と同じく、地面に着くまでの時間は 2.0 s です。地面に着く直前の速度を求めます(着いたあとは止まるので、「直前」の速度を考えます)。

横の速さは、ずっと投げたときのままです。だから、着くときも v_x = 14.7 m/s です。

下向きの速さは、自由落下と同じ v_y = gt で求めます。着くのは 2.0 s 後なので、v_y = 9.8 × 2.0 = 19.6 m/s です。

球の速度 v は、横向きの v_x と、下向きの v_y を合わせた矢印です。「速度の合成と相対速度(平面上)」のページと同じく、v_x の矢印の先に v_y の矢印をつなぐと、v は v_x の根元から v_y の先へ引いた矢印になります。横向きと下向きは直角なので、3本の矢印は直角三角形をつくります。v がその斜辺です。だから、速さ v は三平方の定理で求めます。

数値を入れると、v = √(14.7² + 19.6²) = √(216.09 + 384.16) = √600.25 = 24.5 m/s です。

速さをそのまま足して、14.7 + 19.6 = 34.3 m/s としてはいけません。2つの速度は、向きが直角にちがうからです。向きのちがう速度は、矢印をつないで合わせます。

着くときの速度の向きは、v_x と v_y の大きさの割合で決まります。この場面では、14.7 : 19.6 = 3 : 4 です。だから、着く瞬間の速度の矢印は、横 3 に対して下 4 の割合で、斜め下を向いています。v_x と v_y が同じ大きさなら、横の速さと下向きの速さが同じなので、向きは水平からちょうど 45° 下です。