自由落下運動

1自由落下とは

空気の抵抗を考えずに、静かに放した物体が落ちる運動を、自由落下といいます。

同じ高さから、重い球と軽い球を、同時に静かに放します。重い球のほうが速く落ちそうな気がします。下の動画で確かめます。

空気の抵抗とは、物体が空気の中を動くときに、空気にじゃまされて動きにくくなることです。このページでは、空気の抵抗は考えません。空気の抵抗は、あとの単元で扱います。

「静かに放す」とは、押したり投げたりせずに、手を開いて放すことです。放した瞬間の速度は 0 です。つまり、初速度が v₀ = 0 です。

このように落ちる運動を自由落下といいます。

下の動画では、重い球と軽い球を同じ高さから同時に放し、0.10 s ごとの位置を薄い残像で残しています。落ちるようすは、実際の 8 分の 1 の速さ(スローモーション)にしています。実際には、4.9 m を 1.0 s で落ちます。

2重力加速度 g

自由落下の加速度は、どの物体でも同じ 9.8 m/s² で、これを重力加速度といいます。

糸におもりをつるしたときの、糸の向きを鉛直といいます。真下の向きを鉛直下向き、真上の向きを鉛直上向きといいます。自由落下する物体は、鉛直下向きにまっすぐ落ちます。

この資料では、自由落下の問題で、鉛直下向きを正の向きとします。物体を放した点を原点、放した時刻を 0 とします。「等加速度直線運動(2)」のページで斜面に沿って上向きを正の向きにしたように、正の向きは問題に合わせて決める約束です。

縦の向きの位置は、横の位置 x と区別して、y で表すことが多いです。y は「ワイ」と読みます。このページの y は、「放した点から下へ何 m の所にいるか」を表します。たとえば y = +4.9 m は、放した点から 4.9 m 下にいるということです。自由落下では、物体はずっと下へ進みます。だから y は、放してからそれまでに落ちた距離と同じです。

球を静かに放したときの、1 秒ごとの速度は、次の表のようになります。

速度が + なのは、下向き(正の向き)に進んでいるからです。速度は、1 秒ごとに 9.8 m/s ずつ増えています。

1 秒ごとに速度が同じだけ増えるので、加速度は一定です。加速度を a = Δv / Δt で求めます。0 〜 3.0 s で、Δv = 29.4 − 0 = 29.4 m/s、Δt = 3.0 s です。a = 29.4 ÷ 3.0 = 9.8 m/s² です。加速度が一定のまま、まっすぐ下へ進むので、自由落下は等加速度直線運動です。

自由落下の加速度を重力加速度といいます。地球の重力によって物体が落ちるときの加速度です。重力加速度の大きさは、記号 g で表します。g は「ジー」と読みます。

このページでは下向きを正の向きにしたので、加速度は a = +g = +9.8 m/s² です。

上の表を、v-t グラフに点として打ちます。横軸が時刻 t、縦軸が速度 v です。たとえば点(2.0 s, 19.6 m/s)は、「放してから 2.0 s 後に、下向きに速さ 19.6 m/s で落ちている」という意味です。位置ではありません。点は、原点を通る右上がりの1本の直線の上に並びます。横に 1.0 s 進むと、縦に 9.8 m/s 上がります。だから傾きは 9.8 ÷ 1.0 = 9.8 m/s² で、加速度 g と同じです。グラフの線は、球が通った道ではありません。球は、まっすぐ下へ落ちているだけです。

項目1で見たように、重い球も軽い球も、同じように落ちました。だから、どの物体でも、自由落下の加速度は同じ g = 9.8 m/s² です。

放した瞬間、速度は 0 ですが、加速度は 9.8 m/s² です。0 ではありません。もし加速度が 0 なら、速度は 0 のまま変わらず、球は空中に止まったままになるはずです。加速度が 9.8 m/s² なので、放した次の 1 秒で、速度は 0 から 9.8 m/s に増えます。「等加速度直線運動(2)」のページで、折り返す瞬間の台車の速度は 0 でも、加速度は 0 ではなかったのと同じ考え方です。

3自由落下の3つの式

等加速度直線運動の3つの式に v₀ = 0、a = g を入れると、自由落下の式 v = gt、y = 12gt²、v² = 2gy になります。

自由落下は等加速度直線運動なので、前のページまでの3つの式がそのまま使えます。式は、次の3つのように変えます。

• 静かに放すので、初速度は v₀ = 0 です。
• 下向きを正の向きにしたので、加速度は a = +g です。
• 縦の位置なので、x を y に書き換えます。

速度の式 v = v₀ + at に、v₀ = 0、a = g を入れます。v = 0 + gt なので、v = gt です。gt は g × t のことです。

確かめます。t = 2.0 s なら、v = 9.8 × 2.0 = 19.6 m/s で、項目2の表と同じです。

位置の式 x = v₀t + 12at² で、x を y に書き換え、v₀ = 0、a = g を入れます。y = 0 × t + 12gt² なので、y = 12gt² です。

時間を使わない式 v² − v₀² = 2ax で、x を y に書き換え、v₀ = 0、a = g を入れます。v² − 0² = 2gy なので、v² = 2gy です。

1 秒ごとの速度と位置を、v = gt と y = 12gt² で求めると、次の表のようになります。

たとえば t = 2.0 s では、y = 12 × 9.8 × 2.0² = 12 × 9.8 × 4.0 = 19.6 m です。放してから 2.0 s 後に、放した点から 19.6 m 下にいるということです。

時間が 1.0 s から 2.0 s へ2倍になると、速さは 9.8 m/s から 19.6 m/s へ2倍になります。v = gt なので、速さは時間に比例します。

時間が 1.0 s から 2.0 s へ2倍になると、落ちた距離は 4.9 m から 19.6 m へ4倍になります。y = 12gt² なので、落ちた距離は t² に比例します。時間が2倍なら、落ちた距離は 2 × 2 = 4 倍です。

4高さから、落ちる時間と着く速さ

地面から高い所で放したときは、地面までの高さを y = 12gt² の y に入れて落ちるまでの時間を求め、その時間を v = gt に入れて着く直前の速さを求めます。

地面から高さ 19.6 m の所から、球を静かに放します。高さは、記号 h で表すことが多いです。h は「エイチ」と読みます。ここでは h = 19.6 m です。放した点が原点で、下向きが正の向きなので、地面は y = +19.6 m の所にあります。だから、球が地面に着くのは、y = h になったときです。

位置の式 y = 12gt² に、y = 19.6 m を入れます。19.6 = 12 × 9.8 × t² なので、19.6 = 4.9 × t² です。両辺を 4.9 で割ると、t² = 19.6 ÷ 4.9 = 4.0 です。2 乗して 4.0 になる数は、2.0 と −2.0 です。時刻は 0 より後なので、正の 2.0 を選びます。t = 2.0 s です。

2 乗して 4.0 になる正の数を、√4.0 と書きます。√ は「ルート」と読みます。√4.0 = 2.0 です。文字で同じ計算をすると、h = 12gt² の両辺を 2 倍して 2h = gt²、両辺を g で割って t² = 2h / g です。だから、t = √2h / g です。数値で確かめると、t = √2 × 19.6 ÷ 9.8 = √4.0 = 2.0 s で、上と同じです。この形は覚えなくてもかまいません。y = 12gt² に y = h を入れれば、いつでも求められます。

地面に着いたあとは、球は止まります。そこで、地面に着く直前の速さを求めます。落ちるまでの時間が分かったので、速度の式 v = gt が使えます。v = 9.8 × 2.0 = 19.6 m/s です。時間を使わない式 v² = 2gy でも求められます。v² = 2 × 9.8 × 19.6 = 384.16 です。19.6 × 19.6 = 384.16 なので、2 乗して 384.16 になる正の数は 19.6 です。v = 19.6 m/s で、v = gt と同じ答えになります。時間を先に求めていないときは、v² = 2gy を使うと、時間を求めずに速さが分かります。