力の合成と分解(作図)

1力とその表し方

力は矢印で表します。矢印の長さが力の大きさ、矢印の向きが力の向き、矢印の根元が力のはたらく点です。

床に置いた箱を手で押すと、止まっていた箱が動き出します。ばねを手で引くと、ばねが伸びます。このように、物の動きを変えたり、物の形を変えたりするはたらきを力といいます。

箱を押すとき、強く押すか弱く押すかで、はたらきが変わります。この強さのちがいを表すのが、力の大きさです。同じ強さでも、右へ押すか左へ押すかで、はたらきは逆になります。この押す向きを表すのが、力の向きです。だから、力を表すには、大きさだけでなく向きも言う必要があります。

そこで、力を矢印で表します。矢印の長さで、力の大きさを表します。2倍の力なら、2倍の長さの矢印です。矢印の向きで、力の向きを表します。矢印の根元は、力がはたらく点に置きます。この点を作用点といいます。手で箱を押すなら、手が箱に触れている所が作用点です。

力のように、向きと大きさをもつ量をベクトルといいます。力はベクトルです。

力の大きさ・向き・作用点の3つを、力の三要素といいます。作用点を通り、力の向きに引いた直線を作用線といいます。下の図では、作用線を破線で描いています。

力の大きさの単位は N です。「ニュートン」と読みます。目安として、質量 100 g の物(小さなりんごくらい)を手のひらにのせて支える力が、約 1 N です。

下の方眼の図では、1 目盛りを 1 N とします。3 N の力は、3 目盛りの長さの矢印になります。

力は、英語の force の頭文字を使って F と書きます。向きも含めた力を表すときは、F の上に矢印を付けて F と書きます。「エフ・ベクトル」と読みます。矢印を付けない F は、力の大きさだけを表します。右向きに 3 N の力なら、F は「右向きに 3 N」、F は「3 N」です。

2一直線上の2力の合成

一直線上の2つの力は、右を正の向きとして、符号をつけたまま足すと1つにまとまります。

床の上の箱に2本のひもを付け、あなたと友だちが引きます。あなたは右向きに 3 N、友だちも右向きに 2 N で引きます。この2つの力は、1人で右向きに 5 N で引くのと同じはたらきをします。

いくつかの力と同じはたらきをする1つの力を、もとの力の合力といいます。合力を求めることを、力の合成といいます。右向きに 3 N と 2 N の2つの力の合力は、右向きに 5 N です。

友だちが反対の左向きに引くこともあります。そのときに向きを区別するため、約束を決めます。このページでは、一直線上の力は、右を正の向きとします。右向きの力には +、左向きの力には − を付けます。たとえば −2 N は、「左向きに 2 N の力」という意味です。マイナスは「力が小さい」という意味ではありません。

あなたの力を F₁、友だちの力を F₂(小さい数字は区別の番号)と書きます。一直線上の力は、+ と − で向きを表せます。だから、矢印を付けずに、F₁ = +3 N のように符号つきで書きます。符号が向き、符号を取った数が大きさです。

あなたが F₁ = +3 N、友だちが F₂ = +2 N で引くとき、合力は (+3) + (+2) = +5 N です。+5 N は「右向きに 5 N」です。

今度は、友だちが左向きに 2 N で引きます。F₂ = −2 N です。あなたの右向きの 3 N のうち、2 N 分は、友だちの左向きの 2 N で打ち消されます。残るのは、右向きの 1 N です。符号をつけたまま足すと、(+3) + (−2) = +1 N です。足し算の答えも、右向きに 1 N になります。

どちらの場合も、符号をつけたまま足せば、合力が求まります。

あなたが右向きに 3 N、友だちが左向きに 3 N で引くと、(+3) + (−3) = 0 N です。このとき、合力は 0 です。2つの力をまとめると、力がはたらいていないのと同じになります。

3角度のある2力の合成

一直線上にない2つの力の合力は、2つの矢印の根元をそろえたとき、その2つの矢印を2辺とする平行四辺形の対角線です。

床の上の箱に2本のひもを付け、上から見ます。あなたは右向きに 4.0 N で引きます。友だちは、図の上向き(上から見ているので、奥へ向かう向き)に 3.0 N で引きます。2本のひもは、直角になっています。

2つの力は向きがそろっていないので、一直線上にありません。だから、4.0 + 3.0 = 7.0 N とも、4.0 − 3.0 = 1.0 N ともまとめられません。箱は、右と上の間の、斜めの向きに引かれます。この斜めの力を、作図で求めます。

向きのちがう力なので、矢印を付けて書きます。あなたの力を F₁、友だちの力を F₂、2つの合力を F と書きます。F₁ は「エフ・ワン・ベクトル」と読みます。矢印のない F₁、F₂、F は、それぞれの力の大きさと、合力の大きさです。項目2 のような + や − は付けません。

合力は、次の3つの手順で求めます。

• ① 2つの力の矢印の根元を、1つの点にそろえます。
• ② 2つの矢印を2辺とする平行四辺形をかきます。
• ③ 根元から、向かい側の角まで引いた対角線が、合力です。

平行四辺形は、向かい合う辺が平行で、長さが同じ四角形です。方眼の上で 1 目盛りを 1.0 N とすると、F₁ は右へ 4 目盛り、F₂ は上へ 3 目盛りの矢印です。F₁ の先から、F₂ と同じく上へ 3 目盛りの線を引きます。F₂ の先から、F₁ と同じく右へ 4 目盛りの線を引きます。2本の線が交わる点が、向かい側の角です。根元から右へ 4 目盛り、上へ 3 目盛りの点です。

力が斜めの矢印でも、かき方は同じです。たとえば2つ目の力が右へ 1 目盛り・上へ 2 目盛りの矢印なら、1つ目の力の矢印の先から、右へ 1 目盛り・上へ 2 目盛り進んだ点が、向かい側の角です。

この場面では2本のひもが直角なので、平行四辺形は長方形になります。合力の矢印は、横 4 目盛り・縦 3 目盛りの長方形の対角線です。対角線の長さは、三平方の定理で √4² + 3² = √25 = 5 目盛りです。1 目盛りが 1.0 N なので、合力の大きさは 5.0 N です。式で書くと、次のようになります。

数値を入れると、F = √4.0² + 3.0² = √25 = 5.0 N です。

平行四辺形で2つの力をまとめることを、次の式で表します。

項目2の F = F₁ + F₂ は、2つの矢印が一直線に並ぶときの、この式の特別な場合です。

4力の分解

1つの力は、それを対角線とする平行四辺形の2辺に分けられます。分けた2つの力を分力といいます。

雪の上のそりを、あなたがひもで引きます。横から見た図で考えます。ひもは、前(右)に向かって、斜め上へ張っています。ひもがそりを引く力の大きさは 5.0 N です。

斜めに引く力には、2つのはたらきがあります。1つは、そりを前へ進めるはたらきです。もう1つは、そりを上へ引き上げようとするはたらきです。この2つを別々に考えると、分かりやすくなります。

1つの力を、同じはたらきをする2つの力に分けることを、力の分解といいます。分けてできた2つの力を、もとの力の分力といいます。分解は、項目3の合成の逆です。合成は2つの力を1つにまとめ、分解は1つの力を2つに分けます。

分力は、次の3つの手順で求めます。

• ① もとの力の根元から、分けたい2つの向きに線を引きます。
• ② もとの力の矢印の先から、①の2本の線と平行な線を引き、もとの矢印が対角線になる平行四辺形をかきます。
• ③ 根元から出る平行四辺形の2辺が、2つの分力です。

合成のときと同じ平行四辺形ですが、今度は、対角線(もとの力)が先に分かっていて、2辺を求めます。

方眼の 1 目盛りを 1.0 N とします。ひもの力が、根元から右へ 4 目盛り・上へ 3 目盛りの点まで伸びる矢印だとします。この矢印の長さは、三平方の定理で √4² + 3² = 5 目盛り、つまり 5.0 N です。この力を、横(前へ進める向き)と縦(上へ引き上げる向き)に分けます。横と縦は直角なので、平行四辺形は長方形になります。長方形の横の辺は 4 目盛り、縦の辺は 3 目盛りです。だから、横向きの分力は 4.0 N、縦向きの分力は 3.0 N です。方眼の上で横と縦に分けるときは、目盛りを数えるだけで分力が読めます。

横向きの 4.0 N と縦向きの 3.0 N を、項目3の方法で合成してみます。2つは直角なので、合力の大きさは √4.0² + 3.0² = 5.0 N です。向きも、もとのひもの向きになります。分力を合成すると、もとの力に戻ります。分力は、2つ合わせて、もとの力と同じはたらきをするからです。

分ける2つの向きは、横と縦でなくてもかまいません。直角でない2つの向きに分けるときも、手順は上の①〜③と同じです。下の図は、右へ 6 目盛り・上へ 3 目盛りの矢印で表される力を、「横向き」と「右へ 4 目盛り・上へ 3 目盛りの斜めの向き」に分けたものです(1 目盛り = 1.0 N)。①で根元から2つの向きに破線を引き、②でもとの矢印の先から、それぞれの破線と平行な線を引くと、平行四辺形ができます。③で根元から出る2辺を読むと、横向きの分力は 2 目盛りで 2.0 N、斜めの向きの分力は √4² + 3² = 5 目盛りで 5.0 N です。