力の合成と分解(三角比)

1力の成分と符号

力を横と縦の分力に分け、その大きさに向きを表す + か − を付けたものを、x 成分・y 成分といいます。

方眼の 1 目盛りを 1.0 N として、根元から右へ 4 目盛り・上へ 3 目盛りの矢印で表される力を考えます。この力を、横向きと縦向きの2つの力に分けます。もとの力の矢印を対角線とする長方形をかくと、その2辺が、分けた力(分力)です。横向きの分力は 4 目盛りで 4.0 N、縦向きの分力は 3 目盛りで 3.0 N です。

横向きの分力の大きさに、向きを表す符号を付けたものを、もとの力のx 成分といいます。縦向きの分力の大きさに符号を付けたものを、y 成分といいます。符号は、このあと決める向きの約束で付けます。

力の根元を通る横の直線を x 軸、縦の直線を y 軸とします。数学のグラフの横軸・縦軸と同じ名前です。このページでは、右を x 軸の正の向き、上を y 軸の正の向きとします。

向きも含めた力を F(エフ・ベクトル)と書き、矢印を付けない F でその大きさを表します。力 F の x 成分を F_x、y 成分を F_y と書きます。F_x は「エフ・エックス」、F_y は「エフ・ワイ」と読みます。小さい x と y は、どちら向きの成分かを表す名前です。番号ではありません。右へ 4 目盛り・上へ 3 目盛りの力なら、F_x = +4.0 N、F_y = +3.0 N です。

左を向いた x 成分には −、下を向いた y 成分には − を付けます。たとえば F_x = −3.0 N は、「左向きに 3.0 N 分」という意味です。F_y = −2.0 N は、「下向きに 2.0 N 分」という意味です。

反対に、成分が分かれば、もとの力の矢印をかけます。F_x = −4.0 N、F_y = +3.0 N なら、根元から左へ 4 目盛り・上へ 3 目盛り進んだ点まで矢印を引きます。これが F です。だから、力は2つの成分で表せます。

x 成分と y 成分は、直角な2つの分力を表しています。2つの分力を合成すると、もとの力に戻ります。直角な2つの力の合力の大きさは、2つを2辺とする長方形の対角線の長さなので、三平方の定理で求められます。

F_x = +4.0 N、F_y = +3.0 N なら、F = √4.0² + 3.0² = √25 = 5.0 N です。F_x = −4.0 N、F_y = +3.0 N でも、(−4.0)² = 16 なので、F = √16 + 9.0 = √25 = 5.0 N です。

2三角比で力を分解する

斜めの力の成分の大きさは、F cos θ と F sin θ で求めます。θ は、力と x 軸の間の 90° 以下の角です。符号は向きで付けます。

床の上の台車に、あなたがひもを付けて引きます。横から見た図で考えます。ひもは右に向かって、床(水平)から 30° 上へ張っています。ひもが台車を引く力の大きさは 10 N です。

この力の矢印を方眼にかくと、矢印の先は、方眼の線が交わる点にぴったり乗りません。だから、項目1のように目盛りを数えても、成分は読めません。そこで、力の大きさと角度から、成分を計算で求めます。そのために使うのが三角比です。

角を表すときは、θ という文字をよく使います。「シータ」と読みます。このページでは、θ は「力の矢印と x 軸の間の角」とします。台車のひもでは θ = 30° です。

力 F を、項目1と同じように、x 成分と y 成分を2辺とする長方形の対角線と見ます。この長方形を対角線で半分に切ると、直角三角形ができます。直角三角形の、一番長い辺(直角の向かい側)を斜辺といいます。ここでは F が斜辺です。角 θ をはさむ横の辺を底辺、縦の辺を高さと呼ぶことにします。底辺の長さが F_x、高さが F_y です。

θ が同じ直角三角形は、大きさがちがっても、拡大・縮小しただけの同じ形です。同じ形なので、斜辺に対する底辺の割合と、斜辺に対する高さの割合は、θ だけで決まります。たとえば θ = 30° の直角三角形は、どんな大きさでも、高さが斜辺のちょうど半分になります。

斜辺に対する底辺の割合を cos θ と書き、「コサイン・シータ」と読みます。斜辺に対する高さの割合を sin θ と書き、「サイン・シータ」と読みます。

cos θ と sin θ をまとめて、三角比といいます。

30° の三角定規は、高さ 1、斜辺 2、底辺 √3 の形です。√3 は約 1.73 です。だから cos 30° = √3 ÷ 2 ≒ 0.866、sin 30° = 1 ÷ 2 = 0.500 です。同じ三角定規を、60° の角が左下に来るように置き直すと、底辺と高さが入れかわります。だから cos 60° = 0.500、sin 60° ≒ 0.866 です。45° の三角定規は、底辺 1、高さ 1、斜辺 √2 の形です。√2 は約 1.41 です。cos 45° と sin 45° は、どちらも 1 ÷ √2 ≒ 0.707 です。このページで使う値を表にまとめます。

cos θ = 底辺 ÷ 斜辺 で、底辺が F_x、斜辺が F です。だから F_x = F × cos θ です。sin θ = 高さ ÷ 斜辺 で、高さが F_y です。だから F_y = F × sin θ です。

台車を引くひもの力は、F = 10 N、θ = 30° です。F_x = 10 × cos 30° ≒ 10 × 0.866 = 8.66 ≒ 8.7 N です。F_y = 10 × sin 30° = 10 × 0.500 = 5.0 N です。10 N で引いていても、台車を右へ進める分は 8.7 N、上へ持ち上げようとする分は 5.0 N です。

力が左や下を向いているときも、θ は x 軸との間の 90° 以下の角で測ります。左を向いた力なら、左向きの x 軸との間の角です。三角比で成分の大きさを求めてから、向きに合わせて + か − を付けます。たとえば、左上へ 10 N で、左向きの x 軸から 30° 上を向いた力を考えます。成分の大きさは、x が 10 × cos 30° ≒ 10 × 0.866 = 8.66 ≒ 8.7 N、y が 10 × sin 30° = 10 × 0.500 = 5.0 N です。x 成分は左向きなので F_x ≒ −8.7 N、y 成分は上向きなので F_y = +5.0 N です。

問題によっては、角が縦(y 軸)から測って書かれていることがあります。たとえば「ひもが真上から 30° 傾いている」なら、ひもと x 軸の間の角は 90° − 30° = 60° です。このときは θ = 60° として、F_x = F cos 60°、F_y = F sin 60° を使います。縦から測った 30° をそのまま θ に入れると、F_x と F_y が入れかわってしまいます。迷ったら、x 軸との間の角に直してから式を使います。

3成分で2つの力を合成する

2つの力の合力は、x 成分どうし、y 成分どうしを足して求めます。大きさは、その2つから三平方の定理で求めます。

床の上の箱に2本のひもを付け、上から見た図で考えます。あなたは右向きに 4.0 N で引きます。友だちは、あなたのひもから反時計回りに 60° 開いた向きに、4.0 N で引きます。

2つの力の矢印の根元をそろえたとき、2つを2辺とする平行四辺形の対角線が合力です。2本のひもが直角なら、平行四辺形は長方形なので、三平方の定理で合力の大きさが計算できます。でも 60° のときは、平行四辺形が長方形になりません。作図はできても、対角線の長さを正確に読むのはむずかしくなります。そこで、成分を使って計算します。

成分を使った合成は、次の3つの手順です。

• ① それぞれの力を、x 成分と y 成分に分けます。
• ② x 成分どうし、y 成分どうしを、符号をつけたまま足します。
• ③ 足してできた2つの成分から、三平方の定理で合力の大きさを求めます。

x 成分は、どれも横の一直線の上の量なので、符号をつけたまま足せます(+4.0 N と −1.0 N なら、(+4.0) + (−1.0) = +3.0 N で、右向きに 3.0 N 分)。y 成分どうしも同じです。

あなたの力を F₁、友だちの力を F₂ とします。F₁ の x 成分を F_1x、y 成分を F_1y と書きます。「エフ・ワン・エックス」「エフ・ワン・ワイ」と読みます。数字の 1 は力の番号、x と y は成分の向きの名前です。F₂ の成分は F_2x、F_2y です。合力は F なので、合力の成分は項目1と同じく F_x、F_y と書きます。

あなたの力 F₁ は右向きなので、F_1x = +4.0 N、F_1y = 0 N です。友だちの力 F₂ は、x 軸から θ = 60° の向きです。F_2x = 4.0 × cos 60° = 4.0 × 0.500 = 2.0 N です。右向きなので +2.0 N です。F_2y = 4.0 × sin 60° ≒ 4.0 × 0.866 ≒ 3.46 N です。上向きなので +3.46 N です。

表にまとめて、縦に足します。

式で書くと、次のようになります。

F_x = 4.0 + 2.0 = 6.0 N、F_y = 0 + 3.46 = 3.46 N です。

合力の大きさは、項目1の F = √F_x² + F_y² で求めます。F = √6.0² + 3.46² ≒ √36 + 12.0 = √48.0 ≒ 6.9 N です。

合力の向きは、x 成分と y 成分を2辺とする長方形の、対角線の向きです。ここでは、方眼(1 目盛り = 1.0 N)で、根元から右へ 6.0 目盛り、上へ約 3.5 目盛り進んだ点に向かう向きです。x 成分と y 成分が同じ大きさのときは、長方形が正方形になるので、合力は x 軸から 45° の向きです。

友だちが、あなたのひもから 120° 開いた向きに引くと、友だちのひもは左上を向きます。このときの θ は、左向きの x 軸との間の角で、180° − 120° = 60° です。成分の大きさは、x が 4.0 × 0.500 = 2.0 N、y が 4.0 × 0.866 ≒ 3.46 N で、60° のときと同じです。ちがうのは向きです。x 成分は左向きなので F_2x = −2.0 N、y 成分は上向きなので F_2y = +3.46 N です。合力の x 成分は F_x = 4.0 + (−2.0) = 2.0 N になります。

43つ以上の力の合成

力が3つ以上あっても、x 成分を全部足し、y 成分を全部足せば、合力が求まります。

机の上のリングに3本のひもを付け、3方向から引きます。上から見た図で考えます。1本目は右向きに 4.0 N、2本目は図の上向きに 3.0 N で引きます。3本目は、方眼の上で、根元から左へ 4 目盛り・下へ 3 目盛り進む向き(左下)に、2.0 N で引きます。3つの力を、F₁、F₂、F₃ とします。

作図で3つの力の合力を求めるには、まず F₁ と F₂ を平行四辺形でまとめます。次に、その合力と F₃ を、もう一度平行四辺形でまとめます。力が増えるほど、平行四辺形を何回もかくことになります。成分を使えば、力がいくつあっても、x 成分と y 成分を全部足すだけです。

F₃ の向きは「左へ 4・下へ 3」なので、底辺 4、高さ 3 の直角三角形ができます。斜辺は、三平方の定理で √4² + 3² = 5 です。この向きの θ は、項目2の約束どおり、左向きの x 軸との間の角です。項目2の cos θ = 底辺 ÷ 斜辺 から、この向きの cos θ は 4 ÷ 5 = 0.80、sin θ は 3 ÷ 5 = 0.60 です。だから、成分の大きさは、x が 2.0 × 0.80 = 1.6 N、y が 2.0 × 0.60 = 1.2 N です。左向き・下向きなので、F_3x = −1.6 N、F_3y = −1.2 N です。

F_x = 4.0 + 0 + (−1.6) = 2.4 N、F_y = 0 + 3.0 + (−1.2) = 1.8 N です。合力の大きさは、F = √2.4² + 1.8² = √5.76 + 3.24 = √9.00 = 3.0 N です。

力が何個あっても、同じように足します。

3つの力でも、合力が 0 になることがあります。下の図で、F₃ の向きと大きさを変えて、合力が 0 になる組を探します。