圧力と浮力

1圧力

面 1 m² あたりを垂直に押す力の大きさを、圧力といいます。

やわらかいスポンジの上に、重さ 20 N の箱を置きます。箱の大きさは、0.50 m × 0.20 m × 0.10 m です。広い面(0.50 m × 0.20 m)を下にすると、スポンジは少しだけへこみます。狭い面(0.20 m × 0.10 m)を下にすると、スポンジは深くへこみます。

箱は止まっているので、スポンジが箱を押す力(垂直抗力)は、箱の重さと同じ 20 N です。その反作用の、箱がスポンジを押す力も 20 N です。置き方を変えても同じです。押す力が同じなのに、へこみ方が違います。違うのは、力がかかる面積です。

広い面の面積は、0.50 × 0.20 = 0.10 m² です。m² は「平方メートル」と読みます。0.10 m² は、1 m² の 10 分の 1 です。同じ押し方で 1 m² 全体を押すとしたら、力は 10 倍の 20 × 10 = 200 N になります。この「1 m² あたりの力」は、20 ÷ 0.10 = 200 N と、割り算で求められます。狭い面の面積は、0.20 × 0.10 = 0.020 m² です。1 m² あたりでは 20 ÷ 0.020 = 1000 N です。1 m² あたりの力は、狭い面のほうが 5 倍大きくなります。だから、狭い面を下にしたほうが深くへこみます。

面 1 m² あたりを垂直に押す力の大きさを、圧力といいます。圧力は、力の大きさを面積で割って求めます。

圧力の単位は N/m² で、「ニュートン毎平方メートル」と読みます。1 N/m² を 1 Pa と書き、「1 パスカル」と読みます。1 Pa は、1 m² の面を 1 N の力で垂直に押すときの圧力です。箱の広い面を下にしたときの圧力は 200 Pa、狭い面を下にしたときは 1000 Pa です。

200 のような数は、10 の累乗を使って 2.0 × 10² とも書きます。10² は「10 の 2 乗」と読み、10 × 10 = 100 のことです。2.0 × 10² = 2.0 × 100 = 200 です。同じように、10³ = 10 × 10 × 10 = 1000 なので、1000 = 1.0 × 10³ です。

2水圧

水の中の圧力を水圧といいます。水圧は、深いほど大きくなります。

プールで深くもぐると、耳が押されるように感じます。深くもぐるほど、強く押されます。水の中の物体は、まわりの水から押されています。水の中の圧力を水圧といいます。

このページでは、水面から下へ測った長さを、深さといいます。記号は h です。水面の深さは 0 m です。

水 1 m³ の質量は、1.0 × 10³ kg(1000 kg)です。m³ は「立方メートル」と読みます。1 m³ あたりの質量を密度といいます。記号は ρ(ロー)です。単位は kg/m³ で、「キログラム毎立方メートル」と読みます。水の密度は ρ = 1.0 × 10³ kg/m³ です。

水の中に、面積 0.010 m² の小さな板を、水平に置いたとします。深さは 1.0 m です。板の上には、底面積 0.010 m²、高さ 1.0 m の水の柱がのっています。水の柱の体積は、底面積 × 高さで、0.010 × 1.0 = 0.010 m³ です。水の柱の質量は、密度 × 体積で、1.0 × 10³ × 0.010 = 10 kg です。水の柱の重さは、mg = 10 × 9.8 = 98 N です。

98 N の水の柱が、0.010 m² の板にのっています。圧力は、98 ÷ 0.010 = 9800 Pa です。10 の累乗で書くと 9.8 × 10³ Pa です。深さ h、板の面積 S で、同じように計算します。

• 水の柱の体積は Sh です。Sh は S × h のことです。
• 質量は ρSh、重さは ρShg です。
• 重さを面積 S で割ると、ρShg ÷ S = ρhg です。

水の重さによる圧力は ρhg です。ρhg は ρ × h × g のことです。板の面積 S は、式に残りません。水の重さによる圧力は、深さ h だけで決まります。

水面の上には、空気がのっています。空気も、水面を押しています。空気による圧力を大気圧といい、記号 p₀(ピー・ゼロ)で表します。小さな 0 は、深さ 0(水面)での圧力という印です。このページでは、大気圧を 1.0 × 10⁵ Pa とします。10⁵ は 10 を 5 回掛けた数で、1.0 × 10⁵ = 100,000 です。

深さ h の所の水圧は、大気圧に、水の重さによる圧力を足したものです。

深さ 1.0 m の所の水圧は、p = 1.0 × 10⁵ + 0.098 × 10⁵ = 1.098 × 10⁵ ≒ 1.1 × 10⁵ Pa です。

水圧は、上からだけでなく、横からも下からも、物体の面に垂直にはたらきます。同じ深さなら、面の向きを変えても、水圧の大きさは同じです。

水圧の式 p = p₀ + ρhg の p₀ は、水面を押している圧力です。ふたがないときは、水面を押しているのは大気圧です。水そうの水面にぴったり合うふたをのせ、上から押して、水面を押す圧力を大気圧より 1000 Pa 大きくしたとします。

このとき、式の p₀ の所が 1000 Pa 増えます。ρhg の所は変わりません。だから、1000 Pa の違いが見えるように 1 Pa の桁まで書くと、深さ 1.0 m の所の水圧は 109,800 Pa から 110,800 Pa に、深さ 8.0 m の所の水圧は 178,400 Pa から 179,400 Pa になります。どちらも 1000 Pa 増えています。このように、容器の中で止まっている水では、水面を押して増やした圧力が、水の中のどの点にも同じだけ伝わります。これをパスカルの原理といいます。「パスカル」は、圧力の単位 Pa と同じ、パスカルという人の名前です。

3浮力

水の中の物体は、水から上向きの力を受けます。この力を浮力といい、大きさは、物体が押しのけた水の重さに等しくなります。

1辺 0.10 m の立方体を、水の中に全部沈めて、止めておきます。立方体の6つの面は、どれも水に押されています。押す向きは、どの面でも、面に垂直で立方体の中へ向かう向きです。

左の面と右の面は、同じ深さの範囲にあります。同じ深さどうしで水圧が同じなので、水が左の面を押す力と、右の面を押す力は、同じ大きさで逆向きです。2つの力は打ち消し合います。前の面と後ろの面も同じです。

下の面は、上の面より 0.10 m 深い所にあります。深いほど水圧は大きいので、下の面を押す力のほうが大きくなります。水が上の面を押す力は下向き、下の面を押す力は上向きです。その差の分だけ、立方体は上向きに押されます。

上の面の水圧にも、下の面の水圧にも、大気圧 p₀ が同じだけ入っています。引き算をすると、大気圧の分は消えます。そこで、ここから先は、水の重さによる圧力 ρhg だけで計算します。

p = FS の両辺に S を掛けると、F = pS です。面を押す力の大きさは、圧力 × 面積で求められます。

立方体の1つの面の面積は、S = 0.10 × 0.10 = 0.010 m² です。上の面の深さを 0.20 m とします。下の面の深さは 0.20 + 0.10 = 0.30 m です。水が上の面を押す力の大きさを F₁、下の面を押す力の大きさを F₂ とします。小さい数字は、区別するための番号です。

上の面の水圧(水の重さによる分)は、1.0 × 10³ × 0.20 × 9.8 = 1960 Pa です。F₁ = 1960 × 0.010 = 19.6 N(下向き)です。下の面の水圧は、1.0 × 10³ × 0.30 × 9.8 = 2940 Pa です。F₂ = 2940 × 0.010 = 29.4 N(上向き)です。差は、29.4 − 19.6 = 9.8 N です。立方体は、水から上向きに 9.8 N の力を受けます。

水の中の物体が、まわりの水から受ける上向きの力を浮力といいます。水が物体の面を押す力を、全部合わせた力(合力)です。浮力の大きさを、記号 F_浮(エフ・ふ)で表します。小さな「浮」は、浮力の印です。ほかの力の F と区別するために付けます。

上の面の深さを h、立方体の高さを L、面の面積を S とします。下の面の深さは h + L です。F₁ = ρhg × S、F₂ = ρ(h + L)g × S です。差は、F_浮 = F₂ − F₁ = ρLSg です。LS(高さ × 底面積)は、立方体の体積 V です。だから、浮力の大きさは次の式で表せます。

式に、深さ h は残りません。全部沈んでいれば、深さを変えても浮力は同じです。式に、物体の質量や材料も入っていません。浮力は、液体の密度と、液体の中にある部分の体積で決まります。立方体で考えましたが、この式は、どんな形の物体でも成り立ちます。

立方体の体積は、V = 0.10 × 0.10 × 0.10 = 0.0010 m³ です。0.0010 は 1.0 × 10⁻³ と書きます。10⁻³ は「10 のマイナス 3 乗」と読み、1 ÷ 1000 = 0.001 のことです。F_浮 = 1.0 × 10³ × 1.0 × 10⁻³ × 9.8 = 9.8 N です。10³ × 10⁻³ = 1000 × 0.001 = 1 だからです。上で、上の面と下の面の力の差から求めた 9.8 N と同じです。

ρV は、体積 V の水の質量です。ρVg は、体積 V の水の重さです。体積 V は、物体が水の中で占めている体積で、物体がそこにあるために押しのけた水の体積です。浮力の大きさは、物体が押しのけた水の重さに等しくなります。これをアルキメデスの原理といいます。

ρVg の V には、m³ で表した体積を入れます。

4浮力と力のつり合い

水の中で止まっている物体では、上向きの力の大きさの合計と、下向きの力の大きさの合計が等しくなります。浮力も、その上向きの力の1つです。

水の中の物体には、地球が物体を引く力(重力)mg が、下向きにはたらきます。水からは、上向きの浮力 F_浮 を受けます。ほかに、物体が触れている物(糸、水そうの底など)からも力を受けます。

止まっている物体にはたらく力は、つり合っています。合力が 0 です。このページでは、正の向きを決めずに、「上向きの力の大きさの合計 = 下向きの力の大きさの合計」と書きます。

スタンドにばねはかりをつるし、その下に糸で直方体のおもりをつるします。おもりの質量は 1.5 kg、底面積は 0.010 m²、高さは 0.10 m です。おもりにはたらく重力は、mg = 1.5 × 9.8 = 14.7 N です。糸は軽い糸(重さを考えない糸)とします。糸がおもりを引く力(張力)を T とします。T は、ばねはかりの読みと同じ大きさです。水に入れる前、おもりにはたらく力は T と mg だけなので、ばねはかりの読みは 14.7 N です。

おもりを下ろして、下から 0.060 m の所まで水に沈めます。水の中にある部分の体積は、V = 0.010 × 0.060 = 0.00060 m³ です。10⁻⁴ = 0.0001 なので、6.0 × 10⁻⁴ m³ と書きます。浮力は、F_浮 = ρVg = 1.0 × 10³ × 6.0 × 10⁻⁴ × 9.8 です。10³ × 10⁻⁴ = 1000 × 0.0001 = 0.1 なので、F_浮 = 6.0 × 0.1 × 9.8 = 5.88 N です。

上向きの力は T と F_浮、下向きの力は mg です。上向きの合計 = 下向きの合計なので、T + F_浮 = mg です。T = mg − F_浮 = 14.7 − 5.88 = 8.82 ≒ 8.8 N です。ばねはかりの読みは、水に入れる前より浮力の分(約 5.9 N)だけ小さくなります。

水に浮かんで止まっている物体にはたらく力は、重力 mg と浮力 F_浮 の2つだけです。だから、F_浮 = mg です。このとき、ρVg の V は、物体のうち水面より下にある部分の体積です。水面の上に出ている部分は、水を押しのけていないので、入れません。

たとえば、質量 0.50 kg の物体が浮かんで止まっているとき、F_浮 = mg = 0.50 × 9.8 = 4.9 N です。ρVg = 4.9 から、V = 4.9 ÷ (1.0 × 10³ × 9.8) = 5.0 × 10⁻⁴ m³ です。物体のうち 5.0 × 10⁻⁴ m³ が、水の中にあります。

項目2で、1 m³ あたりの質量を密度といいました。式で書くと次のようになります。

物体の質量は、密度 × 体積で求められます。物体の密度が水の密度より小さいと、物体は水に浮きます。たとえば、氷の密度は約 0.92 × 10³ kg/m³ で、水の 1.0 × 10³ kg/m³ より小さいので、氷は水に浮きます。