摩擦と運動(2)

1あらい斜面の上で止まっている物体

あらい斜面の上の物体は、重力の斜面に沿った分力 mg sin θ が最大摩擦力 μmg cos θ を超えると、すべり出します。

水平な床から角 θ(シータ)だけ傾いた、あらい斜面の上に箱を置きます。θ は、斜面の傾きの角です。箱にはたらく力は、地球が箱を引く力(重力 mg)、斜面が箱を押す力(垂直抗力 N)、斜面が箱に加える静止摩擦力 f の3つです。箱は、重力のために斜面に沿って下へすべろうとします。摩擦力はすべろうとする向きと逆向きなので、静止摩擦力は斜面に沿って上向きです。

重力 mg を、斜面に沿った分力 mg sin θ(斜面に沿って下向き)と、斜面に垂直な分力 mg cos θ(斜面に向かう向き)に分けます。箱を斜面に沿って動かそうとする力は、mg sin θ です。止まっている間は、斜面に沿った向きの力がつり合うので、静止摩擦力は動かそうとする力と同じ大きさです。だから、f = mg sin θ です。

斜面に垂直な向きの力は、垂直抗力 N と、重力の分力 mg cos θ です。箱はこの向きに動かないので、2つはつり合っていて、N = mg cos θ です。

静止摩擦力がなれるいちばん大きな値を、最大摩擦力といいます。最大摩擦力は f₀ = μN です(f₀ は「エフ・ゼロ」、μ は「ミュー」と読みます)。N = mg cos θ を入れると、次の式になります。

斜面の傾きを大きくすると、sin θ は大きくなり、cos θ は小さくなります。だから、動かそうとする力 mg sin θ は大きくなり、最大摩擦力 μmg cos θ は小さくなります。mg sin θ が μmg cos θ 以下なら、静止摩擦力で支えられるので、箱は止まったままです。mg sin θ が μmg cos θ を超えると、静止摩擦力では支えきれず、箱はすべり出します。

質量 2.0 kg の箱を、静止摩擦係数 μ = 0.50 のあらい斜面に置きます。重力は mg = 2.0 × 9.8 = 19.6 N です。

傾き 10° のとき(sin 10° ≒ 0.174、cos 10° ≒ 0.985)、mg sin 10° ≒ 19.6 × 0.174 = 3.41… ≒ 3.4 N(2 桁に丸めて)、μmg cos 10° ≒ 0.50 × 19.6 × 0.985 = 9.65… ≒ 9.7 N です。3.4 N は 9.7 N より小さいので、箱は止まったままで、静止摩擦力は 3.4 N です。

傾き 40° のとき(sin 40° ≒ 0.643、cos 40° ≒ 0.766)、mg sin 40° ≒ 19.6 × 0.643 = 12.60… ≒ 13 N、μmg cos 40° ≒ 0.50 × 19.6 × 0.766 = 7.50… ≒ 7.5 N です。13 N は 7.5 N より大きいので、箱はすべり出します。

2あらい斜面をすべる物体

あらい斜面をすべる物体には、すべる向きと逆向きに動摩擦力 μ′mg cos θ がはたらきます。運動方程式に、この力を入れて加速度を求めます。

箱が斜面をすべっている間は、斜面が箱に動摩擦力を加えます。動摩擦力は f′ = μ′N です(f′ は「エフ・ダッシュ」、μ′ は「ミュー・ダッシュ」と読みます。μ′ は動摩擦係数です)。斜面では N = mg cos θ なので、f′ = μ′mg cos θ です。動摩擦力の向きは、すべる向きと逆向きです。すべり下りるときは斜面に沿って上向き、すべり上がるときは斜面に沿って下向きです。

運動方程式 ma = F(m は質量、a は加速度、F は物体にはたらく力の合力)は、次の ①〜④ の手順で立てます。

• ① 考える物体は、箱です。
• ② 箱にはたらく力は、重力、垂直抗力、動摩擦力です。斜面に垂直な向きはつり合っているので、斜面に沿った向きの力だけを考えます。斜面に沿った向きの力は、重力の分力 mg sin θ(斜面に沿って下向き)と、動摩擦力 μ′mg cos θ(斜面に沿って上向き)です。
• ③ 正の向きは自分で決める約束です。ここでは、動く向き(斜面に沿って下向き)を正にします。
• ④ ma = mg sin θ − μ′mg cos θ です。

両辺を m で割ると、次の式になります。

この式は覚えなくてもかまいません。運動方程式を立てて m で割れば、いつでも出せます。

傾き 30°、動摩擦係数 μ′ = 0.10 のあらい斜面を、箱がすべり下ります。a = 9.8 × (0.500 − 0.10 × 0.866) = 9.8 × 0.4134 = 4.05… ≒ 4.1 m/s² です。摩擦のないなめらかな斜面なら、μ′ = 0 として a = 9.8 × 0.500 = 4.9 m/s² です。動摩擦力が斜面に沿って上向きにはたらく分だけ、加速度は小さくなります。

次に、斜面の下から箱を斜面に沿って上向きに押し出し、手を離します。箱はすべり上がっていきます。すべり上がっている間、斜面に沿った向きの力は、重力の分力 mg sin θ と動摩擦力 μ′mg cos θ で、どちらも斜面に沿って下向きです。動く向き(斜面に沿って上向き)を正にすると、ma = −mg sin θ − μ′mg cos θ です。両辺を m で割ると、次の式になります。

傾き 30°、μ′ = 0.10 の斜面なら、a = −9.8 × (0.500 + 0.10 × 0.866) = −9.8 × 0.5866 = −5.748… ≒ −5.7 m/s² です。a が負なので、箱はだんだん遅くなります。同じ速さで押し出したとき、なめらかな斜面(a = −4.9 m/s²)より加速度の大きさが大きいので、早く止まります。止まった後にすべり下りるかどうかは、項目1 と同じく、mg sin θ と μmg cos θ を比べて決まります。

3重ねた物体

下の物体 A を引くとき、上の物体 B を動かすのは A から受ける摩擦力だけです。一緒に動くのに必要な摩擦力が B の最大摩擦力を超えると、B は A の上をすべります。

なめらかな水平な床の上に、板 A を置き、その上に箱 B をのせます。A と B の間は、あらい面です。A の右側にひもを付け、あなたがそのひもを水平に右へ力 F で引きます。B には、何も付けません。A の質量を m_A(エム・エー)、B の質量を m_B(エム・ビー)と書きます。小さい A・B は、どちらの物体かを表す名前です。

B にはたらく水平の力は、A が B に加える摩擦力だけです。A が右へ引かれると、B は A の上で取り残されて、A に対して左へすべろうとします。摩擦力はすべろうとする向きと逆向きなので、B が A から受ける摩擦力は右向き(動く向きと同じ向き)です。作用・反作用で、A は B から、同じ大きさで左向きの摩擦力を受けます。

A と B が一緒に動くとき、加速度は同じ a です。このとき B が受ける摩擦力は静止摩擦力で、その大きさを f とします。A と B をまとめて1つの物体と見ると、水平の力は F だけです(A と B の間の摩擦力は、まとめると打ち消し合います)。だから、(m_A + m_B)a = F です。B だけの運動方程式は、m_Ba = f です。a が分かれば、この式から f が求まります。

m_A = 2.0 kg、m_B = 1.0 kg、A と B の間の静止摩擦係数 μ = 0.40、動摩擦係数 μ′ = 0.30 とします。F = 6.0 N で引くとき、(2.0 + 1.0) × a = 6.0 から、a = 2.0 m/s² です。B の式から、f = 1.0 × 2.0 = 2.0 N です。B は上下には動かないので、B が A から受ける垂直抗力は m_Bg = 1.0 × 9.8 = 9.8 N です。B の最大摩擦力は、μm_Bg = 0.40 × 9.8 = 3.92 N です。f = 2.0 N はこれより小さいので、確かに一緒に動けます。

引く力を大きくすると、一緒に動くのに必要な f も大きくなります。f が B の最大摩擦力 μm_Bg を超えると、B は A の上をすべり始めます。

F = 16 N で引くとします。一緒に動くと考えると、a = 16 ÷ 3.0 = 5.33… m/s²、f = 1.0 × 5.33… = 5.33… N です。これは 3.92 N を超えるので、一緒には動けません。B は A の上をすべります。

すべっている間、B が受ける摩擦力は動摩擦力で、大きさは μ′m_Bg = 0.30 × 1.0 × 9.8 = 2.94 N で、向きは右向きです。A は、作用・反作用で 2.94 N の摩擦力を左向きに受けます。A と B の加速度は違うので、別々に a_A・a_B と書き、物体ごとに運動方程式を立てます(右を正)。

• B: 1.0 × a_B = 2.94 から、a_B = 2.94 ≒ 2.9 m/s² です。
• A: 2.0 × a_A = 16 − 2.94 から、a_A = 6.53 ≒ 6.5 m/s² です。

A の加速度のほうが大きいので、B は A に対して後ろへずれていきます。