運動方程式の応用

1斜面と滑車でつないだ2物体

斜面の上の物体 A と、滑車でつるした物体 B がどちらへ動くかは、まず A の重力の斜面に沿った分力 m_Ag sin θ と、B の重さ m_Bg を比べて決めます。

傾き θ の斜面の上に物体 A を置き、軽い糸を付けます。糸を斜面の上の端の軽い滑車にかけ、もう一方の端に物体 B をつるします。この項目の図で、斜面があらいとき、A が斜面を上りはじめるのは B が何 kg のときかを探します。

A にはたらく力は、地球が A を引く力 m_Ag、斜面が A を押す力(垂直抗力)N、糸が A を引く力 T です(あらい斜面なら、斜面が A に加える摩擦力も加わります)。A の重力は、斜面に沿った分力 m_Ag sin θ(斜面に沿って下向き)と、斜面に垂直な分力 m_Ag cos θ に分けます。斜面に垂直な向きは、N と m_Ag cos θ がつり合っています。B にはたらく力は、地球が B を引く力 m_Bg(下向き)と、糸が B を引く力 T(上向き)です。B は鉛直に動くので、B の重力は分けません。軽い糸と軽い滑車なので、糸が A を引く力と糸が B を引く力は、同じ大きさ T です。

糸を通して、B の重さ m_Bg は A を斜面に沿って上へ引こうとし、A の分力 m_Ag sin θ は A を斜面に沿って下へ引こうとします。m_Bg のほうが大きければ、B が下へ、A が斜面を上へ動きます。m_Ag sin θ のほうが大きければ、A が斜面を下へ、B が上へ動きます。等しければ、止まっていた物体は止まったままです。比べるのは m_Ag ではなく、斜面に沿った分力 m_Ag sin θ です。

運動方程式は、① 物体を決める ② 力をすべて描く ③ 正の向きを決める ④ ma = 正の向きの力の合計 − 負の向きの力の合計 の順で立てます。① の物体は A と B で、② の力は上に挙げたとおりです。

• ③ B が下へ動くときは、物体ごとに動く向きを正にします。A は斜面に沿って上向きを正、B は下向きを正です。
• ④ 物体ごとに式を書きます。

2つの式を足すと T が消えて、(m_A + m_B)a = m_Bg − m_Ag sin θ です。

傾き 30° のなめらかな斜面で、m_A = 2.0 kg、m_B = 1.5 kg とします。A の分力は m_Ag sin 30° = 2.0 × 9.8 × 0.500 = 9.8 N、B の重さは m_Bg = 1.5 × 9.8 = 14.7 N です。14.7 N のほうが大きいので、B が下へ、A が斜面を上へ動きます。足した式から、(2.0 + 1.5) × a = 14.7 − 9.8 で、3.5 × a = 4.9、a = 1.4 m/s² です。B の式から、T = m_Bg − m_Ba = 14.7 − 1.5 × 1.4 = 14.7 − 2.1 = 12.6 ≒ 13 N です(2 桁に丸めて)。

斜面があらいと、斜面が A に摩擦力を加えます。摩擦力の向きは、A が動く向き(止まっているなら、動こうとする向き)と逆向きです。だから、あらい斜面では、先に m_Bg と m_Ag sin θ を比べて、A がどちらへ動こうとするかを決めます。その逆向きが摩擦力の向きです。

2つの物体を動かそうとする力は、m_Bg と m_Ag sin θ の差です。止まっている間、静止摩擦力は最大摩擦力 μN = μm_Ag cos θ(μ は静止摩擦係数)まで大きくなれます。差がこれ以下なら、静止摩擦力で支えられて、止まったままです。差が μm_Ag cos θ を超えると、動き出します。動いている間は、動摩擦力 μ′m_Ag cos θ(μ′ は動摩擦係数)を、動く向きと逆向きに入れて運動方程式を立てます。

傾き 30° のあらい斜面(静止摩擦係数 μ = 0.50、動摩擦係数 μ′ = 0.20)で、m_A = 2.0 kg、m_B = 0.50 kg とします。B の重さは 0.50 × 9.8 = 4.9 N で、A の分力 9.8 N より小さいので、A は斜面を下へ動こうとします。摩擦力は斜面に沿って上向きです。差は 9.8 − 4.9 = 4.9 N、最大摩擦力は 0.50 × 2.0 × 9.8 × 0.866 = 8.48… N です。4.9 N のほうが小さいので、A と B は止まったままです。このときの静止摩擦力は、差と同じ 4.9 N(斜面に沿って上向き)です。差が最大摩擦力を超えて動き出すときの計算は、例題でします。

2斜面を水平な力で押す

斜面の上の物体を水平に押すときは、押す力を斜面に沿った分力 F cos θ と斜面に垂直な分力 F sin θ に分けます。垂直抗力は mg cos θ + F sin θ になります。

なめらかな斜面の上の箱を、あなたが横から水平に押します。この項目の図で、箱が斜面を上りはじめる押す力を探します。

水平に押す力 F は、斜面に沿った向きでも、斜面に垂直な向きでもありません。そこで、重力と同じように、斜面に沿った分力と、斜面に垂直な分力に分けます。

斜面は、水平な床から角 θ だけ傾いています。だから、斜面に沿った向きは、水平な向きから θ だけ傾いた向きです。水平な力 F と、斜面に沿った向きの間の角は θ です。斜面に沿った分力は F cos θ(斜面に沿って上向き)、斜面に垂直な分力は F sin θ(斜面に押し付ける向き)です。

斜面に沿った向きの力は、押す力の分力 F cos θ(上向き)と、重力の分力 mg sin θ(下向き)です。箱がどちらへ動くかは、押す力の大きさで変わります。そこで、この項目では斜面に沿って上向きを正にします。運動方程式は ma = F cos θ − mg sin θ です。a が負なら、加速度は斜面に沿って下向きです。F cos θ が mg sin θ より大きければ、初め止まっていた箱は斜面を上りはじめ、小さければ下りはじめます。

斜面に垂直な向きで、箱を斜面に押し付ける力は、重力の分力 mg cos θ と、押す力の分力 F sin θ の2つです。箱は斜面に垂直な向きには動かないので、斜面が箱を押す力 N は、この2つとつり合います。

傾き 30° のなめらかな斜面の上の 2.0 kg の箱を、水平に F = 10 N で押します。斜面に沿って、押す力の分力は F cos 30° ≒ 10 × 0.866 = 8.66 N、重力の分力は mg sin 30° = 2.0 × 9.8 × 0.500 = 9.8 N です。押す力 10 N は 9.8 N より大きいのに、斜面に沿った分力 8.66 N は 9.8 N より小さいので、箱は斜面を下ります。加速度は、2.0 × a = 8.66 − 9.8 = −1.14 から、a = −0.57 m/s² です。斜面に沿って下向きに 0.57 m/s² です。垂直抗力は、N = 2.0 × 9.8 × 0.866 + 10 × 0.500 = 16.97… + 5.0 = 21.97… ≒ 22 N です。