要点
地球が物体を引く力を重力といいます。質量 m の物体にはたらく重力の大きさは mg です。
手に持ったボールを離すと、ボールは下へ落ちます。これは、地球がボールを下へ引いているからです。地球が物体を引く力を重力といいます。重力は、物体が地面や手に触れていなくてもはたらきます。重力の向きは鉛直下向き(真下の向き)です。重力は物体のあらゆる部分にはたらきますが、図では、物体の中心から下向きに1本の矢印で描きます。
物体そのものの量を質量といいます。単位は kg(キログラム)です。
重力の大きさは、物体の質量に比例します。地球の上では、質量 1.0 kg の物体にはたらく重力の大きさは 9.8 N です。質量が 1.0 kg 増えるごとに、重力の大きさは 9.8 N ずつ大きくなります。だから、重力の大きさは「質量 × 9.8」で求められます。これを式で書きます。
m は質量です。英語の mass の頭文字です。g は重力加速度の大きさです。物体が空気の抵抗を受けずに落ちるとき、速さは 1 秒ごとに 9.8 m/s ずつ増えます。この増え方が 9.8 m/s² で、記号 g で表します。mg は m × g のことです。
物理では、物体にはたらく重力の大きさを重さといいます。単位は N です。ふだん「体重 50 kg」のように kg で言う量は、物理では質量のほうです。質量(kg)と重さ(N)は、別の量です。
月の表面では、物体は地球よりゆっくり落ちます。月の表面での重力加速度の大きさは約 1.6 m/s² で、地球の約 1/6 です。月の表面で重力の大きさ mg を求めるときは、g に 1.6 m/s² を入れます。質量 1.0 kg の物体を月へ持っていっても、質量は 1.0 kg のままです。重さは、mg = 1.0 × 1.6 = 1.6 N になります。地球の上の 9.8 N より小さくなります。
赤い矢印が、箱にはたらく重力です。
やってみよう
質量 m を 2.0 kg にしてください(場所は「地球」)。次に、場所の「月」のボタンを押してください。質量 m と重力の大きさ mg のうち、変わったのはどちらですか。変わったほうは、いくつからいくつになりましたか。
変わったのは重力の大きさ mg で、19.6 N から 3.2 N になりました。質量 m は 2.0 kg のままです。
確認
手を離して空中を落ちているボールに、重力ははたらいていますか。
はたらいています。重力は、物体が何にも触れていなくてもはたらきます。
例題
質量 0.50 kg のボールにはたらく重力の大きさを求めなさい。重力加速度の大きさは 9.8 m/s² とします。
答え: 4.9 N
伸びたり縮んだりしたばねが、もとの長さに戻ろうとして出す力を弾性力といいます。弾性力の大きさは F = kx で求めます。
横向きのばねの左の端を、壁に固定します。右の端は、あなたの手で持ちます。手で右の端を右へ引くと、ばねは伸びて、手を左へ引き戻します。手で右の端を左へ押すと、ばねは縮んで、手を右へ押し返します。
伸びたり縮んだりしたばねが、もとの長さに戻ろうとして、触れている物に加える力を弾性力といいます。弾性力の向きは、ばねがもとの長さに戻ろうとする向きです。伸びたばねは縮む向きに引き、縮んだばねは伸びる向きに押します。
ばねに何も力を加えないときの長さを、ばねの自然の長さといいます。自然の長さより長くなった分を伸び、短くなった分を縮みといいます。伸び = 今の長さ − 自然の長さ、縮み = 自然の長さ − 今の長さ です。たとえば、自然の長さ 0.30 m のばねを引いて、長さを 0.40 m にすると、伸びは 0.40 − 0.30 = 0.10 m です。
伸びと縮みは、どちらも記号 x で表します。このページの x は、位置ではありません。ばねの伸び、または縮みです。x は 0 以上の数で書き、伸びか縮みかは言葉で言います。
あるばねを少しずつ伸ばして、弾性力の大きさを調べました。
| 伸び x [m] | 0.050 | 0.10 | 0.15 | 0.20 |
|---|---|---|---|---|
| 弾性力の大きさ [N] | 1.0 | 2.0 | 3.0 | 4.0 |
伸びが 0.050 m から2倍・3倍・4倍になると、弾性力も 1.0 N から2倍・3倍・4倍になります。弾性力の大きさは、伸びに比例します。
伸び 1 m あたりの力を求めます。0.10 m 伸ばして 2.0 N なので、2.0 ÷ 0.10 = 20 N/m です。この「伸び 1 m あたりの力の大きさ」を、ばねのばね定数といい、記号 k で表します。単位は N/m で、「ニュートン毎メートル」と読みます。表のばねのばね定数は k = 20 N/m です。k が大きいばねほど硬く、同じだけ伸ばすのに大きな力が要ります。
弾性力の大きさは、ばね定数 × 伸び で求められます。
これをフックの法則といいます。フックの法則は、ばねを伸ばしすぎない(縮めすぎない)範囲で成り立ちます。このページのばねは、どれもその範囲で使います。表のばねを 0.15 m 伸ばすと、F = 20 × 0.15 = 3.0 N です。表の値と同じです。
ばねを縮めたときも、同じ式を使います。x には縮みを入れます。表のばねを 0.10 m 縮めると、F = 20 × 0.10 = 2.0 N です。向きは、手を右へ押し返す向きです。
藍の矢印は、ばねが手に加える弾性力です。破線が、自然の長さのときのばねの右の端の位置です。
やってみよう
ばね定数 k を 40 N/m にし、手の位置を「伸び 0.10 m」にしてください。次に、手の位置を「伸び 0.20 m」に変えてください。弾性力の大きさ F は何 N から何 N になり、何倍になりましたか。
F は 4.0 N から 8.0 N になり、2倍になりました。
確認
自然の長さ 0.30 m のばねを引いて、長さを 0.50 m にしました。F = kx の x に入れるのは 0.50 m ですか。
いいえ。x は伸びなので、0.50 − 0.30 = 0.20 m を入れます。
例題
自然の長さ 0.30 m、ばね定数 40 N/m のばねの左の端を壁に固定し、右の端を手で押して、長さを 0.25 m まで縮めました。ばねが手に加える弾性力の大きさと向きを答えなさい。
答え: 大きさ 2.0 N、向きは右向き(手を押し返す向き)
伸び x と弾性力の大きさ F のグラフは、原点を通る直線になります。その傾きが、ばね定数 k です。
ばね定数 30 N/m のばねで、伸びと弾性力の大きさを表にします。F = kx で、たとえば 0.10 m なら F = 30 × 0.10 = 3.0 N です。
| 伸び x [m] | 0 | 0.10 | 0.20 | 0.30 |
|---|---|---|---|---|
| 弾性力の大きさ F [N] | 0 | 3.0 | 6.0 | 9.0 |
横軸に伸び x、縦軸に弾性力の大きさ F をとったグラフに、表の4つの組を点で打ちます。たとえば、表の x = 0.10 m の列は、横に 0.10 m、縦に 3.0 N の所に打ちます。この点を (0.10 m, 3.0 N) と書きます。
点 (0.10 m, 3.0 N) は、「このばねを 0.10 m 伸ばしたとき、弾性力の大きさは 3.0 N」という意味です。点 (0, 0) は、「伸びが 0(自然の長さ)のとき、弾性力は 0」という意味です。
4つの点は、原点を通る1本の直線に乗ります。弾性力の大きさが伸びに比例するからです。中学の数学で習った、比例のグラフと同じ形です。
線の上で、横に 0.10 m 進むと、縦に 3.0 N 上がります。横に進んだ分に対する、縦に上がった分の割合を、線の傾きといいます。傾き = 縦 ÷ 横 です。この線の傾きは、3.0 ÷ 0.10 = 30 N/m です。ばね定数 k = 30 N/m と同じです。F = kx なので、F ÷ x はいつも k になります。だから、グラフの傾きはばね定数です。
藍の線が、伸びと弾性力の大きさの関係です。破線の三角形の「縦 ÷ 横」が、線の傾きです。
やってみよう
伸び x を 0.25 m にし、ばね定数 k を 30 N/m にしてください。次に、k を 60 N/m に変えてください。線の傾きはどう変わりましたか。伸び 0.25 m のときの F は、何 N から何 N になりましたか。
線の傾きが急になりました(30 N/m から 60 N/m)。F は 7.5 N から 15.0 N になりました。
確認
伸びと力のグラフの線が急なばねと、ゆるやかなばねを、同じ大きさの力で引きました。よく伸びるのはどちらですか。
グラフの線がゆるやかなほうです。傾き(ばね定数 k)が小さく、やわらかいばねだからです。
例題
あるばねの伸び x と弾性力の大きさ F のグラフは、原点と点 (0.40 m, 8.0 N) を通る直線です。このばねのばね定数を求めなさい。また、このばねを 0.25 m 伸ばしたときの弾性力の大きさを求めなさい。
答え: ばね定数 20 N/m、弾性力の大きさ 5.0 N
ばねにつるしたおもりが止まっているとき、ばねがおもりを引く弾性力 kx と、おもりの重力 mg は同じ大きさです。
ばねの上の端を天井に付け、下の端におもりをつるします。おもりは少し上下に揺れたあと、止まります。止まったときのばねの伸びを考えます。
止まっているおもりには、2つの力がはたらいています。1つ目は重力です。向きは下向きで、大きさは mg です。2つ目は、ばねがおもりを引く弾性力です。ばねは伸びているので、縮もうとして、おもりを上向きに引きます。大きさは kx です。
おもりが止まっているとき、おもりにはたらく力の合力は 0 です。上向きの力と下向きの力の2つを合わせて 0 になるのは、2つの大きさが同じときです。だから、ばねの弾性力の大きさ kx と、重力の大きさ mg は等しくなります。
ばね定数 49 N/m のばねに、質量 0.50 kg のおもりをつるします。重力の大きさは、mg = 0.50 × 9.8 = 4.9 N です。kx = mg なので、49 × x = 4.9 です。x = 4.9 ÷ 49 = 0.10 m です。ばねは 0.10 m 伸びて止まります。
赤い矢印がおもりにはたらく重力、藍の矢印がばねがおもりを引く弾性力です。物差しの 0 は、自然の長さのときのばねの下の端の高さです。
やってみよう
ばね定数の「98 N/m」のボタンを押し、おもりの質量 m を 0.50 kg にしてください。次に、m を 1.0 kg に変えてください。伸び x はいくつからいくつになり、何倍になりましたか。
x は 0.050 m から 0.10 m になり、2倍になりました。おもりの質量を2倍にすると、重力も伸びも2倍になります。
確認
ばねにつるしたおもりが止まっているとき、ばねがおもりを引く弾性力と、おもりにはたらく重力は、どちらが大きいですか。
同じ大きさです。止まっているおもりでは、上向きの弾性力と下向きの重力を合わせると 0 になるからです。
例題
ばね定数 49 N/m のばねに、質量 0.30 kg のおもりをつるしたところ、おもりは止まりました。ばねの伸びを求めなさい。重力加速度の大きさは 9.8 m/s² とします。
答え: 0.060 m
2本のばねを直列につなぐと、どちらのばねにも同じ大きさの力がかかります。並列につなぐと、どちらのばねも同じだけ伸び、力を分け合います。
ばね定数 49 N/m の同じばねを2本と、質量 0.40 kg のおもりを使います。おもりの重力の大きさは、mg = 0.40 × 9.8 = 3.92 N です。ばね1本につるすと、項目4の kx = mg から、伸びは x = 3.92 ÷ 49 = 0.080 m です。このページでは、ばねの重さは考えません。重さを考えないばねを軽いばねといいます。軽いばねは、上の端と下の端が、同じ大きさの力で引かれます。
2本のばねを、縦に1列につなぎます。上のばねの下の端に、下のばねの上の端を付けます。このつなぎ方を直列(ちょくれつ)といいます。下のばねは、おもりをつるしています。下のばねの下の端は、おもりに 3.92 N で引かれています。ばねの端を引く力を、ばねにかかる力といいます。下のばねにかかる力は 3.92 N なので、伸びは F = kx から 3.92 ÷ 49 = 0.080 m です。上のばねは、下のばねとおもりをまとめてつるしています。下のばねは軽いので、上のばねにかかる力も 3.92 N です。伸びも 0.080 m です。全体の伸びは、0.080 + 0.080 = 0.16 m です。ばね1本のときの2倍です。
2本のばねを横に並べて、上の端をどちらも天井に付けます。下の端を軽い棒でつなぎ、棒の真ん中におもりをつるします。このつなぎ方を並列(へいれつ)といいます。棒は水平のまま下がるので、2本のばねは同じだけ伸びます。2本のばねは、どちらも棒を上へ引きます。項目4と同じく、おもりと棒は止まっているので、2本の弾性力の大きさの合計が、重力の大きさ mg と等しくなります。2本は同じばねで、同じだけ伸びているので、弾性力の大きさも同じです。1本あたり 3.92 ÷ 2 = 1.96 N です。1本の伸びは、1.96 ÷ 49 = 0.040 m です。2本は同じだけ伸びるので、全体の伸びも 0.040 m です。ばね1本のときの半分です。
直列では、先にそれぞれのばねにかかる力を考え、次に F = kx からそれぞれの伸びを求めます。並列では、先に「どのばねも同じだけ伸びる」ことを使います。ばね定数がちがう2本でも、棒が水平なら同じだけ伸びます。伸びを x とすると、2本の弾性力は k が大きいほうが大きくなり、その合計が mg になります。
ばねはどれも、ばね定数 49 N/m の同じ軽いばねです。物差しの 0 は、自然の長さのときの全体の下の端の高さです。
やってみよう
おもりの質量 m を 1.0 kg にしてください。つなぎ方の「1本」「直列」「並列」のボタンを順に押して、全体の伸びを読んでください。それぞれいくつですか。
1本で 0.20 m、直列で 0.40 m、並列で 0.10 m です。
確認
同じばね2本を直列につないで、おもりをつるしました。上のばねにかかる力は、おもりの重力の半分ですか。
いいえ。上のばねにも、おもりの重力と同じ大きさの力がかかります。
例題
ばね定数 20 N/m のばねを上に、ばね定数 40 N/m のばねを下にして直列につなぎ、重力の大きさが 4.0 N のおもりをつるしたところ、おもりは止まりました。全体の伸びを求めなさい。ばねは軽いばねとします。
答え: 0.30 m
重力加速度の大きさは 9.8 m/s² とします。ばねはどれも軽いばね(重さを考えないばね)とします。
問1自然の長さ 0.30 m、ばね定数 50 N/m のばねがあります。ばねの左の端を壁に固定し、右の端をあなたの手で引いて、ばねの長さを 0.45 m にしました。ばねが手を引く弾性力の大きさを求めなさい。
7.5 N
伸びは x = 0.45 − 0.30 = 0.15 m。F = kx = 50 × 0.15 = 7.5 N
問2次のグラフは、ばね A とばね B の、伸び x と弾性力の大きさ F の関係を表しています。2本のばねを、どちらも 6.0 N の力で引きました。ばね B の伸びは、ばね A の伸びより何 m 大きいですか。
0.15 m
グラフの傾きがばね定数。A は (0.20 m, 8.0 N) を通るので kA = 8.0 ÷ 0.20 = 40 N/m。B は (0.20 m, 4.0 N) を通るので kB = 4.0 ÷ 0.20 = 20 N/m。6.0 N で引いたときの伸びは、F = kx から x = F ÷ k。A は 6.0 ÷ 40 = 0.15 m、B は 6.0 ÷ 20 = 0.30 m。差は 0.30 − 0.15 = 0.15 m
問3ばね定数 98 N/m のばねに、質量 0.20 kg のおもりをつるしたところ、おもりは止まりました。ばねの伸びを求めなさい。
0.020 m
重力の大きさは mg = 0.20 × 9.8 = 1.96 N。止まっているので kx = mg。98 × x = 1.96 から、x = 1.96 ÷ 98 = 0.020 m
問4自然の長さ 0.30 m のばねに、質量 0.40 kg のおもりをつるしたところ、ばねの長さは 0.38 m になって止まりました。
(1) このばねのばね定数を求めなさい。
(2) 質量 0.20 kg のおもりを、もう1つ付け足しました。止まったときのばねの長さを求めなさい。
(1) 49 N/m (2) 0.42 m
(1) 伸びは x = 0.38 − 0.30 = 0.080 m。重力の大きさは mg = 0.40 × 9.8 = 3.92 N。kx = mg から k = 3.92 ÷ 0.080 = 49 N/m。(2) おもりの質量は合わせて 0.40 + 0.20 = 0.60 kg。重力の大きさは 0.60 × 9.8 = 5.88 N。伸びは x = 5.88 ÷ 49 = 0.12 m。ばねの長さは 0.30 + 0.12 = 0.42 m
問5ばね定数 49 N/m の同じばね2本を直列につなぎ、質量 0.80 kg のおもりをつるしたところ、おもりは止まりました。それぞれのばねの伸びと、全体の伸びを求めなさい。
それぞれのばねの伸び 0.16 m、全体の伸び 0.32 m
重力の大きさは mg = 0.80 × 9.8 = 7.84 N。直列なので、どちらのばねにも 7.84 N の力がかかる。それぞれの伸びは x = 7.84 ÷ 49 = 0.16 m。全体の伸びは 0.16 + 0.16 = 0.32 m
問6ばね定数 49 N/m のばね A と、ばね定数 98 N/m のばね B を、上の端をどちらも天井に付けて並べ、下の端を軽い棒でつなぎました。棒が水平のまま下がるように、棒のある位置に質量 0.60 kg のおもりをつるしたところ、おもりは止まりました。
(1) ばねの伸びを求めなさい。
(2) ばね A とばね B にかかる力の大きさを、それぞれ求めなさい。
(1) 0.040 m (2) A 約 2.0 N、B 約 3.9 N
(1) 棒が水平なので、A と B は同じだけ伸びる。その伸びを x とする。A の弾性力は 49x、B の弾性力は 98x。2本の弾性力の合計が重力の大きさ mg = 0.60 × 9.8 = 5.88 N と等しいので、49x + 98x = 5.88。147x = 5.88 から x = 5.88 ÷ 147 = 0.040 m。(2) A は 49 × 0.040 = 1.96 ≒ 2.0 N、B は 98 × 0.040 = 3.92 ≒ 3.9 N(2 桁に丸める)。合計 1.96 + 3.92 = 5.88 N で、重力の大きさと等しい
要点
物理基礎 第2章 力と運動の法則