ケプラーの法則

1楕円の軌道(第1法則)

惑星は、太陽を焦点の1つとする楕円の上を回ります。これをケプラーの第1法則といいます。

地球や火星のように、太陽のまわりを回る星を惑星といいます。惑星が太陽のまわりを回ることを公転といい、1 周する時間を公転周期といいます。昔は、惑星は太陽のまわりの円の上を回ると考えられていました。17 世紀の初め、ケプラーは、長い年月にわたって観測された火星の位置の記録を調べ、火星の通り道が円ではなく、少しつぶれた円であることを見つけました。このつぶれた円の形を楕円といいます。

楕円は、画びょう 2 本と糸で描けます。板に画びょうを 2 本刺し、長さ 10 cm の糸の両端を、それぞれの画びょうに結びます。あなたが鉛筆の先で糸をぴんと張ったまま、鉛筆を 1 周させると、楕円が描けます。鉛筆がどこにあっても、鉛筆から 2 本の画びょうまでの距離の和は、糸の長さの 10 cm です。

2 本の画びょうの位置を、楕円の焦点といいます。焦点は 2 つあります。2 つの焦点のちょうど真ん中が、楕円の中心です。焦点は、中心から左右にずれた所にあります。

2 つの焦点を通って、楕円の端から端まで引いた一番長い線を長軸といいます。この描き方では、長軸の長さは、画びょうの間の距離によらず、糸の長さと同じ 10 cm になります。長軸の半分の長さを半長軸といい、記号 a で表します。この楕円では a = 10 ÷ 2 = 5.0 cm です。a は加速度の記号にも使われますが、このページでは半長軸を表します。

ケプラーが見つけたことは、次のようにまとめられます。惑星は、太陽を焦点の1つとする楕円の上を回ります。これをケプラーの第1法則といいます。太陽は、楕円の中心ではなく、焦点の 1 つにあります。もう 1 つの焦点には何もありません。

楕円の上で、太陽に一番近い点を近日点、太陽から一番遠い点を遠日点といいます。近日点と遠日点は、どちらも長軸の端にあります。長軸は近日点から太陽を通って遠日点まで伸びているので、長軸の長さ = 近日点の距離 + 遠日点の距離 です。ここで「近日点の距離」は、太陽から近日点までの距離です。だから、半長軸は次のように求められます。

太陽と惑星の距離はとても長いので、太陽と地球の平均の距離を 1 とする単位を使います。これを天文単位といい、au と書きます(約 1.5 × 10¹¹ m、およそ 1 億 5000 万 km です)。地球の近日点の距離は 0.983 au、遠日点の距離は 1.017 au です。地球の半長軸は、a = (0.983 + 1.017) ÷ 2 = 1.00 au です。近日点と遠日点の距離の差は、0.034 au しかありません。実際の惑星の軌道は、円とほとんど見分けがつかない楕円です。

下の図で、画びょうの間の距離を変えて楕円を描き、形がどう変わるかを確かめます。

2面積速度一定(第2法則)

太陽と惑星を結ぶ線が、同じ時間に描く面積は等しくなります。これをケプラーの第2法則といいます。

惑星は、楕円の上を一定の速さで回るのではありません。太陽に近い所では速く、太陽から遠い所ではゆっくり動きます。地球も、太陽に一番近づく 1 月の初めには、一番遠ざかる 7 月の初めより少し速く動いています。地球の軌道はほぼ円なので、この違いはわずかです。細長い楕円の軌道を回る天体なら、違いがはっきり見えます。

太陽と惑星を線で結び、惑星が動くと、その線は扇のような形を描きます。この形を、このページでは扇形と呼びます。太陽に近い所では線が短く、遠い所では線が長くなります。ケプラーは、太陽と惑星を結ぶ線が同じ時間に描く面積は、軌道のどこでも等しいことを見つけました。これをケプラーの第2法則といいます。1 s あたりに描く面積を面積速度といいます。そのため、第2法則は「面積速度一定の法則」とも呼ばれます。

近日点と遠日点の 2 か所では、惑星の進む向きが、太陽と惑星を結ぶ線にちょうど垂直です。ごく短い時間なら、惑星はほぼまっすぐ進むので、扇形は細い直角三角形と見なせます。この三角形は、底辺が「進んだ道のり」、高さが「太陽からの距離」です。

近日点の距離が 1.0 au、遠日点の距離が 2.0 au の軌道を考えます。近日点で、ある短い時間に 0.040 au 進んだとします。三角形の面積は、12 × 1.0 × 0.040 = 0.020 au² です。遠日点でも、同じ時間に描く面積は 0.020 au² です。高さが 2.0 au なので、進む道のりは 0.020 × 2 ÷ 2.0 = 0.020 au です。同じ時間に進む道のりが 12 なので、遠日点の速さは近日点の速さの 12 です。

近日点での太陽からの距離を r₁、速さを v₁ とします。遠日点での距離を r₂、速さを v₂ とします。小さい数字の 1 と 2 は、近日点と遠日点を区別するための番号です。ごく短い時間を Δt(デルタ ティー)と書きます。Δt で「短い時間の幅」を表します。

近日点では、Δt の間に v₁Δt だけ進みます(速さ × 時間 = 道のり)。三角形の面積は 12 × r₁ × v₁Δt です。遠日点では、同じように 12 × r₂ × v₂Δt です。第2法則から、この 2 つは等しいので、12r₁v₁Δt = 12r₂v₂Δt です。両辺の 12 と Δt を消すと、次の式になります。

この式が使えるのは、進む向きが太陽への線に垂直な、近日点と遠日点だけです。

下の図で、軌道の別々の場所で、同じ時間に描く扇形の面積と、惑星が進む道のりを比べます。

3周期と軌道の大きさ(第3法則)

太陽のまわりを回る惑星では、公転周期 T の2乗と半長軸 a の3乗の比 T²/a³ が、どの惑星でも同じになります。これをケプラーの第3法則といいます。

公転周期を、記号 T で表します。このページでは、T を「年」で測ります。地球の公転周期は 1.00 年です。

太陽から遠い惑星ほど、公転周期は長くなります。では、半長軸が 2 倍、3 倍になると、周期も 2 倍、3 倍になるのでしょうか。木星の半長軸は 5.20 au で、地球の 5.20 倍です。ところが、木星の公転周期は 11.9 年で、地球の 11.9 倍です。周期は、半長軸に比例する場合よりも大きく増えます。

そこで、a を 3 乗した a³ と、T を 2 乗した T² を、6 つの惑星で計算します。a は au で、T は年で測ります。

a・T は実際の値を 3 桁に丸めたものです。

たとえば火星では、a³ = 1.52 × 1.52 × 1.52 ≒ 3.51、T² = 1.88 × 1.88 ≒ 3.53 です。T²/a³ = 3.53 ÷ 3.51 ≒ 1.01 で、ほぼ 1 です。半長軸が 0.387 au の水星から 9.54 au の土星まで、T²/a³ はどれも約 1.0 です。

拡大したグラフの火星の点(3.51, 3.53)は、「火星の a³ は 3.51、T² は 3.53」という意味です。6 つの点は、どれも原点を通る 1 本の直線の上に並びます。直線の上では、a³ が 2 倍になると T² も 2 倍になります。T² は a³ に比例しています。

太陽のまわりを回る惑星では、公転周期の 2 乗と半長軸の 3 乗の比が、どの惑星でも同じです。これをケプラーの第3法則といいます。

a を au、T を年で測ると、太陽のまわりを回る天体では、この一定の値は 1 です。だから、T² = a³ として計算できます。小惑星や彗星のように、惑星でなくても、太陽のまわりを回る天体なら同じ式が使えます。

T²/a³ が同じ値になるのは、同じ天体のまわりを回るものどうしです。地球のまわりを回る月では、a = 0.00257 au、T = 0.0748 年で、T²/a³ ≒ 3.30 × 10⁵ になり、1 ではありません。