万有引力

1万有引力の法則

質量をもつ物体どうしは、互いに引き合っています。その力の大きさは、質量の積に比例し、中心どうしの距離の2乗に反比例します。

手を離したリンゴは、地面に落ちます。地球がリンゴを引いているからです。月は、地球のまわりを回り続けています。円を描いて回り続ける物体には、円の中心を向く力がはたらいています。ニュートンは、リンゴを落とす力と、月を地球のまわりに回らせる力は、同じ種類の力だと考えました。

さらにニュートンは、地球と物体の間だけでなく、質量をもつ物体どうしなら、どの 2 つも互いに引き合っていると考えました。この引き合う力を万有引力といいます。「万有」は「すべての物がもっている」という意味です。物体 A が物体 B を引く力と、B が A を引く力は、同じ大きさで逆向きです。この 2 つの力は、作用・反作用の関係にあります。

万有引力の大きさは、2 つの物体の質量と、2 つの間の距離で決まります。片方の質量を 2 倍にすると、万有引力も 2 倍になります。両方の質量を 2 倍にすると、2 × 2 = 4 倍です。このことを「質量の積に比例する」といいます。間の距離を 2 倍にすると、万有引力は 1/(2 × 2) = 1/4 倍になります。距離を 3 倍にすると、1/(3 × 3) = 1/9 倍です。これを「距離の 2 乗に反比例する」といいます。

2 つの物体の質量を M と m、中心どうしの距離を r とすると、万有引力の大きさ F は次の式で表されます。これを万有引力の法則といいます。

地球と物体のように質量が大きく違うときは、大きいほうを M、小さいほうを m にします。Mm は M × m のことで、r² は r × r のことです。G は万有引力定数といい、どの物体どうしでも同じ値です。

単位の N·m²/kg² は、質量を kg、距離を m で式に入れたとき、F の単位が N になるように付けた単位です。

10⁻¹¹(10 のマイナス 11 乗)は、0.000…01 というとても小さい数です。6.7 × 10⁻¹¹ は、小数点の後に 0 が 10 個並んでから 67 が来ます。反対に、10³ は 10 を 3 回掛けた 1000 です。10 の累乗どうしを掛けるときは、右上の小さな数(指数)を足します。たとえば、10³ × 10⁻¹¹ = 10⁻⁸ です。24.12 × 10⁻⁸ のように前の数が 10 以上になったら、24.12 = 2.412 × 10 なので、2.412 × 10⁻⁷ と書き直します(10 を 1 つ指数に移すと、指数が 1 増えます)。

r は、2 つの物体の表面どうしの距離ではなく、中心どうしの距離です。地球のような球の形の天体は、質量が全部中心に集まっているとして、万有引力を計算してよいことが分かっています。

下の図で、質量と距離を変えると、2 つの球が引き合う力が初めの何倍になるかを確かめます。

2重力と万有引力

地上の物体にはたらく重力は、地球との万有引力です。地表では mg = GMm/R² となり、ここから GM = gR² が出ます。

地球が物体を引く力を重力といい、質量 m の物体にはたらく重力の大きさは mg です。g は重力加速度の大きさ 9.8 m/s² です。この重力は、地球と物体の間の万有引力です。

地球の半径を R と書きます。R = 6.4 × 10⁶ m です。10⁶ は 10 を 6 回掛けた 1000000 なので、R は 6400000 m、つまり 6400 km です。地表にある物体と地球の中心どうしの距離は、地球の半径 R です。

地球の質量を M、物体の質量を m とします。地表で、重力 mg と万有引力 GMm/R² は同じ力なので、次の式が成り立ちます。

両辺を m で割ると、g = GM/R² です。m が消えるので、g は物体の質量によりません。両辺に R² を掛けると、次の式になります。

地球の質量 M を覚えていなくても、GM は g と R から計算できます。このページでは、GM が出てきたら gR² に置き換えて計算します。

地球は自転しているので、地球と一緒に回る人から見ると、物体には遠心力(自転の軸から遠ざかる向きの見かけの力)もはたらきます。遠心力は赤道でも万有引力の約 0.3% しかないので、このページでは考えず、重力 = 万有引力とします。

地表からの高さを h と書きます。高さ h の所にある物体と地球の中心どうしの距離 r は、次のようになります。

高さ h での重力の大きさは、F = GMm/r² です。GM = gR² を入れると、F = mgR²/r² となり、地表の重力 mg の (R/r)² 倍です。たとえば、高さが地球の半径の 1/10(640 km)なら、r = 1.1R です。重力は 1/(1.1 × 1.1) = 1/1.21 で、地表の約 0.83 倍になります。

下の図で、1.0 kg の物体をロケットで高く持ち上げたとき、重力の大きさがどう変わるかを確かめます。

3人工衛星と第一宇宙速度

物体を十分に速く水平に打ち出すと、地球に引かれて落ち続けながら、地面に着かずに地球を回ります。地表すれすれを回る速さ √gR を第一宇宙速度といいます。

高い台の上から、ボールを水平に投げます。ボールは、横に進みながら下に落ち、曲線(放物線)を描いて地面に着きます。投げる速さを大きくすると、地面に着くまでに横に進む距離が長くなり、遠くに落ちます。

地面が平らなら、どんなに速く投げても、物体はいつか地面に着きます。ところが、地球は丸いので、遠くまで進むと、地面のほうも下がっていきます。打ち出す速さが十分に大きいと、物体が落ちる分だけ地面も下がり、物体は地面に着かずに地球を一周できます。ニュートンは、高い山の上から大砲で物体を水平に打ち出すことを考えて、このことを説明しました。

下の図で、高い山の上から打ち出す速さを変えて、物体がどこに落ちるか、落ちずに一周するかを確かめます。

地表すれすれを 7.9 km/s で水平に進む物体を考えます。1.0 s の間に、物体は横に 7.9 km 進みます。その間に、静かに落とした物体と同じだけ落ちます(静かに落とした物体が t 秒で落ちる距離は ½gt² なので、½ × 9.8 × 1.0² = 4.9 m)。一方、丸い地球の表面は、横に 7.9 km 進んだ所で、打ち出した所を通る水平な線から約 4.9 m 下がっています。物体が落ちた分だけ地面も下がっているので、物体は地面からの高さを保ったまま進み続けます。

地球の中心から距離 r の円の上を、速さ v で回る物体(人工衛星)を考えます。円を描いて回る物体にはたらく中心向きの合力を向心力といい、質量 m の物体が半径 r の円を速さ v で回るとき、その大きさは mv²/r です。人工衛星にはたらく力は、地球の万有引力 GMm/r² だけで、これが向心力です。だから、次の式が成り立ちます。

両辺を m で割り、r を掛けると、v² = GM/r です。v は 2 乗すると GM/r になる数なので、次のように書けます。

地表すれすれを回るときは、r = R です。GM = gR² を入れると、v = √gR²R = √gR になります。数値を入れると、gR = 9.8 × 6.4 × 10⁶ = 62.72 × 10⁶ です。√62.72 = 7.919… で、√10⁶ = 10³ です(10³ × 10³ = 10⁶ のため)。だから v = 7.919… × 10³ m/s です。2 桁に丸めて、v ≒ 7.9 × 10³ m/s = 7.9 km/s です。

地表すれすれで、地球を回る人工衛星になるための速さを第一宇宙速度といいます。第一宇宙速度は約 7.9 km/s です。図の打ち出す点の実際の高さは地球の半径の 0.02 倍しかないので、図で一周した速さも、第一宇宙速度とほぼ同じ 7.9 km/s です。

4第3法則を万有引力から導く

円軌道で回る物体では T²/r³ = 4π²/GM となり、この値は中心の天体の質量 M だけで決まります。だから、同じ天体のまわりを回るものどうしで T²/r³ が等しくなります。

太陽のまわりを回る惑星の通り道(軌道)は、円に近い楕円(少しつぶれた円)です。楕円の、一番長い差し渡しの半分の長さを半長軸といい、a で表します。円なら、半長軸は半径と同じです。惑星が 1 周する時間を公転周期といい、T で表します。

ケプラーは、惑星の観測の記録から、T²/a³ がどの惑星でも同じになることを見つけました。これがケプラーの第3法則です。この項目では、この法則が万有引力から出てくることを確かめます。計算を簡単にするため、軌道を円とし、a の代わりに円の半径 r を使います。

地球のまわりを、2 つの人工衛星が円軌道で回っています。外側の衛星の軌道の半径は、内側の衛星の軌道の半径の 4 倍です。

項目3 の v = √GMr を使います。半径が 4 倍の円軌道では、速さは √14 = 12 倍になります。一周の道のり 2πr は 4 倍で、速さは 1/2 倍なので、一周にかかる時間(周期)は 4 ÷ (1/2) = 8 倍です。外側の衛星が 1 周する間に、内側の衛星は 8 周します。

このとき、T² は 8 × 8 = 64 倍、r³ も 4 × 4 × 4 = 64 倍です。T²/r³ は変わりません。

周期 T は、一周の道のり 2πr を速さ v で割った時間なので、T = 2πr/v です。両辺を 2 乗すると、T² = 4π²r²/v² です。項目3 の v² = GM/r を入れると、T² = 4π²r² ÷ (GM/r) = 4π²r³/GM です。両辺を r³ で割ると、次の式になります。

右辺には、中心の天体の質量 M と、定数の G・π しかありません。回っている物体の質量 m は、項目3 で両辺を m で割ったときに消えています。だから、同じ天体のまわりを回るものどうしなら、どれも T²/r³ が同じ値になり、ケプラーの第3法則が成り立ちます。楕円の軌道でも、r を半長軸 a に置き換えた式が成り立ちます(このページでは導きません)。