単振動

1振幅・周期・振動数

往復運動の大きさは振幅、1 往復の時間は周期、1 s あたりの往復の回数は振動数で表します。

天井からつるしたばねの下に、おもりを付けます。おもりを少し下へ引いて放すと、おもりは上下に行ったり来たりします。このように、同じ所を行ったり来たりする運動を振動といいます。

往復の真ん中の位置を、振動の中心といいます。振動の中心を原点にします。このページでは、上を正の向きとします。おもりの位置を、振動の中心から測って x と書きます。x = +0.10 m は「振動の中心より 0.10 m 上にいる」、x = −0.10 m は「振動の中心より 0.10 m 下にいる」という意味です。

おもりが振動の中心を上向きに通る瞬間を、時刻 t = 0 とします。

あるおもりの位置を、0.50 s ごとに調べると、次の表のようになりました。

0 s に中心を上向きに通ったおもりは、0.50 s 後に中心より 0.10 m 上の端に着き、そこで向きを変えます。1.0 s 後に中心を下向きに通り、1.5 s 後に中心より 0.10 m 下の端に着きます。2.0 s 後に、中心を上向きに通ります。0 s と同じ様子に戻りました。

振動の中心から端までの距離を、振幅といい、記号 A で表します。単位は m です。このおもりの振幅は A = 0.10 m です。上の端から下の端までの 0.20 m ではありません。

1 往復にかかる時間を、周期といい、記号 T で表します。単位は s です。1 往復は、中心 → 上の端 → 中心 → 下の端 → 中心 と動いて、もとの様子に戻るまでです。このおもりの周期は T = 2.0 s です。円運動では、1 周にかかる時間を周期と呼びます。振動では、1 往復にかかる時間が周期です。

1 s あたりに往復する回数を、振動数といい、記号 f で表します。振動数の単位は Hz と書き、「ヘルツ」と読みます。1 Hz は、1 s に 1 往復することです。

このおもりは、1 往復に 2.0 s かかるので、1 s ではその半分の 0.50 往復しかしません。だから、振動数は f = 1 ÷ 2.0 = 0.50 Hz です。振動数と周期は、次の関係です。

2等速円運動の影

縦の面で等速円運動をしている玉を、真横から水平な光で照らすと、影は上下に往復します。この影のような往復運動を単振動といいます。

項目1 の表では、おもりの位置を 0.50 s ごとにしか調べていません。その間の時刻の位置を求めるには、往復の動きを式で表す必要があります。一定の速さで円の上を回る運動を、等速円運動といいます。等速円運動は、1 s あたりに回る角(角速度)を使って、式で表せます。そこで、等速円運動を使って、往復の動きを表します。

観覧車のように、縦に立てて回る円板を考えます。円板の縁に、小さな玉を付けます。円板は一定の速さで回るので、玉は等速円運動をします。円板の左から、水平な光を当てます。円板の右には、縦に立てたスクリーンを置きます。

光は水平に進むので、スクリーンの影は、いつも玉と同じ高さにできます。玉が円の上を回ると、影はスクリーンの上を上下にだけ動きます。等速円運動を真横から照らした影のような往復運動を、単振動といいます。

下の動画では、スクリーンの右に、項目1 と同じような、ばねにつるしたおもりを並べます。円板の半径と、おもりの振幅はそろえてあります。影の動きとおもりの動きを比べてください。

動画では、影とおもりは、どの時刻でも同じ高さにありました。玉が 1 周する 3.0 s の間に、おもりはちょうど 1 往復しました。ばねにつるしたおもりは、等速円運動の影と同じ動きをしています。だから、おもりの運動も単振動です。

影のもとになった円運動の半径は、単振動の振幅 A と同じです。円運動の周期は、単振動の周期 T と同じです。

円運動で 1 s あたりに回る角を、角速度といい、ω(オメガ)で表します。単位は rad/s(ラジアン毎秒)です。rad(ラジアン)は角の単位で、1 周 360° が 2π rad です。影のもとになった円運動の角速度 ω を、単振動では角振動数といいます。

3位置の式 x = A sin ωt

単振動の位置は、x = A sin ωt で表せます。sin ωt は、円の上の点の高さ ÷ 半径です。

円の上を回る点を P とします。P は時刻 0 に円の右の端にいて、反時計回りに回ります。角速度 ω は 1 s あたりに回る角なので、時間 t で回る角は ω × t です。この角を θ(シータ)と書くと、θ = ωt です。だから、時刻 t には、P は右の端から角 ωt だけ回った所にいます。角は、円の中心から右へ引いた線から、反時計回りに測ります。

影の位置 x は、P の高さと同じです。P の高さは、円の中心の高さから測ります。角が 0° と 90° の間のとき、P から、中心を通る水平の線へ縦の線を下ろすと、直角三角形ができます。半径 A が斜辺で、P の高さが三角形の高さです。三角比では、sin θ(サイン・シータ)= 高さ ÷ 斜辺 です。だから、P の高さは A sin θ です。たとえば、半径 A = 0.20 m で角が 30° なら、sin 30° = 0.50 なので、P の高さは 0.20 × 0.50 = 0.10 m です。

90° を超えると、直角三角形の角としては sin を決められません。そこで、どんな角でも、sin θ = (P の高さ)÷(半径) と決めます。P が円の中心より下にあるときは、高さを負とします。角が 90° 以下のときは、直角三角形で求めた sin と同じ値になります。

角が 150° のとき、P は円の左上にいます。高さは 30° のときと同じ +0.10 m です。だから、sin 150° = 0.10 ÷ 0.20 = 0.50 です。角が 210° のとき、P は円の左下にいます。高さは中心より 0.10 m 下なので −0.10 m です。だから、sin 210° = −0.10 ÷ 0.20 = −0.50 です。

決まった角の sin は、次のようになります。

影の位置 x は P の高さで、P の高さは A ×(回った角の sin)です。回った角は ωt なので、単振動の位置は次の式で表せます。

P は、1 周の角 2π rad を、周期 T で回ります。だから、1 s あたりに回る角は ω = 2π/T です。影の往復の周期も同じ T なので、単振動の角振動数も次の式で求められます。

たとえば、周期 1.2 s の単振動では、ω = 2π/1.2 = 5π/3 rad/s です。0.10 s では、ωt = 5π/3 × 0.10 = π/6 rad 回ります。項目1 の振動数 f = 1/T を使うと、ω = 2πf とも書けます。

ωt は、ラジアンで表した角です。sin の値は、度に直してから上の表で読みます。半円の角が π rad = 180° です。だから、π/6 rad は 180° ÷ 6 = 30° です。たとえば、半径 A = 0.20 m、周期 1.2 s の単振動の、t = 0.10 s の位置は、x = 0.20 × sin 30° = 0.20 × 0.50 = +0.10 m です。

下の図の右には、横軸に時刻 t、縦軸に位置 x をとったグラフ(x-t グラフ)を描きます。グラフの1点 (t, x) は、時刻 t に、影(おもり)が x の位置にいることを表します。たとえば点 (0.10 s, +0.10 m) は、「0.10 s 後に、振動の中心より 0.10 m 上にいる」という意味です。

おもりを上の端で放した瞬間を時刻 0 にすると、式の形が変わります。このページでは、いつも振動の中心を上向きに通る瞬間を時刻 0 にします。

下の図は、項目2 の動画と同じ、縦に回る円板と影の図です。ただし、円板は半径 0.20 m、1 周 1.2 s にしてあります。時刻を 0.10 s ずつ進めて、影の位置 x を読みます。