等速円運動

1等速円運動と周期

円の上を一定の速さで回る運動を等速円運動といい、1 周する時間を周期といいます。

遊園地のメリーゴーラウンドを考えます。床は、上から見て反時計回りに、一定の速さで回っています。あなたは、床の中心から 2.0 m の所に立っています。友だちも、同じ床の上に立っています。床と一緒に回るあなたは、中心から 2.0 m の円の上を、同じ速さで回り続けます。このように、円の上を一定の速さで回る運動を等速円運動といいます。

この床は、1 周するのに 6.0 s かかります。床の上に立っていれば、中心からどれだけ離れていても、床と一緒に 6.0 s で 1 周します。1 周するのにかかる時間を周期といい、記号 T で表します。単位は s です。メリーゴーラウンドの周期は T = 6.0 s です。

円の半径を、記号 r で表します。あなたの円では r = 2.0 m です。1 周の道のりは、円周の長さです。中学校で習ったように、円周の長さは 2πr です。π(パイ)は円周率です。このページでは π = 3.14 として計算します。あなたが 1 周で進む道のりは、2 × 3.14 × 2.0 = 12.56 m です(速さを出すための途中の値なので、ここでは丸めません)。

あなたは、6.0 s で 12.56 m 進みます。速さは道のり ÷ 時間なので、12.56 ÷ 6.0 = 2.09… m/s です。与えた数(2.0 m、6.0 s)が 2 桁なので、答えも 2 桁に丸めて、≒ 2.1 m/s と書きます。1 周の道のり 2πr を、周期 T で割れば速さになります。

この式を T について書き直すと、T = 2πrv です。

1 s あたりに回る回数を回転数といい、記号 n で表します。単位は 回/s です。1 周に 6.0 s かかるなら、1 s では 1/6.0 周しか回りません。だから、回転数は n = 1 ÷ 6.0 = 0.166… ≒ 0.17 回/s です。回転数と周期は、n = 1T の関係です。

下の図で、友だちの立つ位置を変えると、1 周の道のりと速さがどう変わるかを確かめます。

2ラジアンと角速度

1 s あたりに回る角を角速度 ω といい、速さは v = rω で求められます。角はラジアンで測ります。

項目1 のメリーゴーラウンドでは、あなた(中心から 2.0 m)と友だちは、どちらも 6.0 s で 1 周します。あなたと友だちを結ぶ直線は、いつも中心を通ったまま回ります。だから、同じ時間に 2 人が回る角は同じです。そこで、円運動では「1 s にどれだけの角を回るか」も使います。ただし、角は「度」ではなく、次の段落のラジアンという単位で測ります。

円周の一部分を弧といいます。中心の角が同じなら、弧の長さは半径に比例します。半径が 2 倍の円では、同じ角の弧も 2 倍の長さです。そこで、角の大きさを「弧の長さ ÷ 半径」で表します。この表し方を弧度法といいます。弧の長さが半径とちょうど同じになる角を、1 ラジアンといいます。記号は rad と書きます。たとえば、半径 2.0 m の円で、弧の長さが 4.0 m なら、角は 4.0 ÷ 2.0 = 2.0 rad です。rad は、長さを長さで割った数につけた名前です。だから、単位の計算では、rad を書かずに消してかまいません。

1 周の弧の長さは、円周の 2πr です。だから、1 周の角は 2πr ÷ r = 2π rad です。半径 r がいくつでも、割り算で r が消えるので、1 周はいつも 2π rad です。1 周は 360° なので、360° = 2π rad です。半周の 180° は π rad、90° は π/2 rad です。

1 rad は、度で表すと約 57° です。

回った角を、記号 θ(シータ)で表します。θ はラジアンで測ります。かかった時間を t とします。1 s あたりに回る角を角速度といい、記号 ω(オメガ)で表します。単位は rad/s です。

あなたは、1 周の 2π rad を 6.0 s で回ります。だから、ω = 2 × 3.14 ÷ 6.0 = 1.046… ≒ 1.0 rad/s です。友だちも 6.0 s で 1 周するので、角速度は同じ 1.0 rad/s です。

角の決め方「角 = 弧の長さ ÷ 半径」を書き直すと、「弧の長さ = 半径 × 角」です。1 s に回る角は ω なので、1 s に進む弧の長さは r × ω です。1 s に進む道のりが速さなので、速さは次の式で表せます。

あなたの速さを求めるときは、ω に丸める前の 1.046… を使います。v = 2.0 × 1.046… = 2.09… ≒ 2.1 m/s で、項目1 で 2πr/T から求めた 2.1 m/s と同じです。

1 周の角 2π rad を、1 s に回る角 ω で割ると、1 周にかかる時間になります。

あなたなら、T = 2 × 3.14 ÷ 1.046… = 6.0 s で、床の周期と同じです。

3速度の向きと向心加速度

等速円運動では、速さは一定でも速度の向きが変わるので、円の中心を向く加速度があります。

項目1 とは別に、ゆっくり回るメリーゴーラウンドがあります。その中心から 4.0 m の所に木馬があります。木馬は、上から見て反時計回りに、一定の速さ 2.0 m/s で回っています。速さは一定ですが、木馬の進む向きは、円を回るにつれて変わり続けます。速度の矢印は、その点で円に引いた接線に沿って、進む向きを向きます。接線は、円にその 1 点だけで触れる直線です。接線は、その点を通る半径に垂直です。

速度は、大きさ(速さ)と向きをもつ量で、矢印で表します。速さが同じでも、向きが変われば、速度は変わったことになります。速度が変わるなら、加速度があります。

円の上の点 P での速度を v_P、P から少し時間がたった点 Q での速度を v_Q とします。小さな P・Q は、点の名前です。速度の変化を、Δv と書きます。Δ(デルタ)は「変化」を表す記号です。v_P と v_Q の根元を 1 点にそろえて描くと、v_P の先から v_Q の先へ向かう矢印が Δv です。v_P にこの矢印をつなぐと、v_Q になるからです。Δv の大きさは、矢印を付けずに Δv と書きます。

加速度は、速度の変化 ÷ かかった時間です。P から Q までの時間を Δt とします。Δv ÷ Δt を、この間の平均の加速度といいます。平均の加速度の向きは、Δv の向きと同じです。

上の木馬(中心から 4.0 m、速さ 2.0 m/s)で計算します。角速度は ω = v ÷ r = 2.0 ÷ 4.0 = 0.50 rad/s です。P と Q の間の時間 Δt を小さくしながら、Δv と平均の加速度を計算すると、次の表のようになります。

Δt を小さくすると、平均の加速度の大きさは 1.00 m/s² に近づきます。向きは、Δt を小さくするほど、P から円の中心へ向かう向きに近づきます。表の「v × 回った角」の行は、このあとで使います。

円の上を進むと、半径の向きが変わります。速度の矢印は半径に垂直なので、半径と同じ角だけ向きを変えます。だから、v_P と v_Q の間の角は、P から Q まで回った角 ωΔt と同じです。

上の図の矢印の長さは、速さ v(木馬なら 2.0 m/s)を表します。2本の矢印の先は、半径が v の円の上にあります。Δt が小さいとき、Δv の長さは、2本の先の間の短い弧の長さとほぼ同じです。項目2 の「弧の長さ = 半径 × 角」から、Δv ≒ v × ωΔt です。表の「Δv」の行と「v × 回った角」の行を比べると、Δt が小さいほど近づいています。Δt = 0.10 s では、どちらも 0.10 m/s です。

平均の加速度は Δv ÷ Δt ≒ v × ωΔt ÷ Δt = vω です。Δt を小さくするほど、vω に近づきます。この近づく先を、等速円運動の加速度の大きさとし、a と書きます。だから a = vω です。vω の v に rω を入れると、a = rω × ω = rω² です。vω の ω に v ÷ r を入れると、a = v × v ÷ r = v²/r です。

木馬なら、a = 2.0² ÷ 4.0 = 1.0 m/s² で、表の値が近づいた 1.00 と同じです。

等速円運動の加速度は、円の中心を向きます。これを向心加速度といいます。

下の図では、点 P と、P から Δt 後の点 Q の速度を比べます。Δt を小さくすると平均の加速度がどうなるかを確かめます。