慣性力と遠心力

1加速する電車の中で見えること

同じおもりの動きでも、ホームに立つ友だちから見るか、電車に乗っているあなたから見るかで、見え方が違います。

まっすぐなレールの上に、止まっている電車があります。電車の天井から、質量 0.50 kg のおもりを糸でつるします(つり革の代わりです)。あなたは電車に乗っています。友だちは、ホームに立っています。電車は、右へ一定の加速度 2.0 m/s² で動き出します。この項目では、電車の進む向き(右)を正の向きとし、右を「前」、左を「後ろ」と呼びます。

このページでは、ホームの友だちから見るときと、電車の中のあなたから見るときを分けて考えます。運動方程式 ma = F(質量 × 加速度 = 物体にはたらく力の合力)は、地面に立っている人(友だち)から見た運動で成り立つ式です。

電車が動き出すと、つるしたおもりの糸はどうなると思いますか。予想してから、次の動画を見てください。

ホームの友だちから見ると、おもりは電車と一緒に、右へ 2.0 m/s² で速くなっていきます。加速しているので、運動方程式 ma = F から、おもりにはたらく力の合力は右向きで、大きさは 0.50 × 2.0 = 1.0 N です。この合力を作っているのは、糸が引く力の前向き(右向き)の成分です。糸が後ろへ傾いたのは、糸が引く力に、おもりを前へ引っぱる成分が要るからです。鉛直の向きには、おもりは動きません。糸が引く力の鉛直の成分(上向き)は、重力 0.50 × 9.8 = 4.9 N とつり合っています。

2慣性力

加速している乗り物の中から見るときは、乗り物の加速度と逆向きに、大きさ ma の力がはたらいていると考えると、力のつり合いが使えます。この力を慣性力といいます。

前の項目の電車(加速度は右へ 2.0 m/s²)の中のあなたから見ると、0.50 kg のおもりは止まっています。ところが、おもりにはたらく重力と糸が引く力の合力は、右向きに 1.0 N で、0 ではありません。止まっている物体にはたらく力の合力は 0 のはずなので、このままでは、あなたから見たおもりの様子を力のつり合いで説明できません。

そこで、電車の中のあなたから見るときは、おもりに左向き(後ろ向き)に 1.0 N の力がもう1つはたらいていると考えます。そう考えると、合力は 1.0 − 1.0 = 0 N になり、おもりが止まって見えることと合います。

このように、加速している乗り物の中から見るときに考える力を慣性力といいます。名前は「慣性」から来ています。物体には、今の運動の様子を続けようとする性質があり、これを慣性といいます。電車が前へ加速しても、おもりは今の速さのまま進もうとします。そのため、電車の中から見ると、おもりは後ろへ押されたように見えます。

慣性力を加えている物はありません。糸でも地球でもなく、何かがおもりに触れて押しているわけでもありません。加速している乗り物の中から見たときだけ考える力なので、見かけの力といいます。押している物がないので、慣性力には反作用がありません。

慣性力を式で書くと、次のようになります。

m は慣性力を受ける物体(ここではおもり)の質量、a はあなたが乗っている乗り物(ここでは電車)の加速度です。文字の上の矢印は、向きも表す印です。右辺のマイナスは、「a と逆向き」という意味です。慣性力の大きさは ma です(大きさだけを表すときは、矢印を付けずに F と書きます)。

この電車では、a は右向きに 2.0 m/s² です。慣性力は左向き(後ろ向き)で、大きさは 0.50 × 2.0 = 1.0 N です。この項目の最初に足した力と同じです。

慣性力は、加速している乗り物と一緒に動くあなたから見るときだけ考えます。ホームの友だちから見るときは、慣性力を考えません。

次の図は、電車の中のあなたから見た様子です。電車の加速度を変えて、おもりの傾く向きと慣性力の向きがどう変わるかを確かめます。

3エレベーターの中の見かけの重さ

エレベーターの加速度が上向きのとき、エレベーターの中から見ると、あなたには下向きの慣性力がはたらきます。そのため、体重計の表示は止まっているときより大きくなります。

エレベーターの床に体重計を置き、質量 50 kg のあなたが乗ります。この項目では、上を正の向きとします。体重計の表示は、体重計があなたを押す力(垂直抗力)の大きさです。このページでは、体重計の表示を kg ではなく N で書きます。エレベーターが止まっているとき、あなたにはたらく力は、重力(下向き 50 × 9.8 = 490 N)と、体重計が押す力(上向き)だけです。つり合っているので、体重計の表示は 490 N です。

エレベーターの加速度の向きは、動いている向きではなく、速度が変わる向きです。上へ動いていても、速くなっているのか、遅くなっているのかで、加速度の向きは逆になります。

エレベーターの加速度が上向きに 1.0 m/s² のときを考えます。エレベーターの中から見ると、あなたは体重計の上で止まっています。あなたには、加速度と逆向き(下向き)に、大きさ 50 × 1.0 = 50 N の慣性力がはたらきます。上向きの力は体重計が押す力、下向きの力は重力 490 N と慣性力 50 N です。つり合うので、体重計が押す力は 490 + 50 = 540 N です。

エレベーターの加速度が下向きに 1.0 m/s² のときは、慣性力は上向きに 50 N です。上向きの力は体重計が押す力と慣性力 50 N、下向きの力は重力 490 N です。つり合うので、体重計が押す力は 490 − 50 = 440 N です。

加速するエレベーターの中で体重計が示す値を、見かけの重さといいます。あなたの質量(50 kg)と重力(490 N)は、エレベーターが動いても変わりません。変わるのは、体重計があなたを押す力です。

次の図で、エレベーターの動き方を選んで、体重計の表示が大きくなるのはどの動き方のときかを確かめます。

4遠心力

回転台と一緒に回るあなたから見るときに考える慣性力を、遠心力といいます。

人が乗れる大きな回転台が、一定の角速度 1.0 rad/s で回り続けています。角速度は、1 秒あたりに回る角です。角をラジアン(rad)で測るので、角速度の単位は rad/s です。回転台の中心にあなたが立ち、中心から 1.0 m の所に質量 2.0 kg の箱を置きました。箱はすべらずに、台と一緒に回っています。中心に立つあなたは、その場で向きを変えるだけです。友だちは、回転台の外の地面に立っています。

地面の友だちから見ると、箱は半径 1.0 m の円の上を、一定の速さで回っています(等速円運動)。等速円運動の加速度は円の中心向きで、大きさは a = rω² です(r は半径、ω(オメガ)は角速度)。この箱では 1.0 × 1.0² = 1.0 m/s² です。運動方程式から、箱にはたらく力の合力は中心向きで、大きさは mrω² = 2.0 × 1.0 × 1.0² = 2.0 N です(この中心向きの合力を向心力といいます)。箱が台から受ける水平の向きの力は、静止摩擦力だけです。だから、静止摩擦力が中心向きに 2.0 N はたらいています。

次の動画は、この回転台を真上から見たものです。前半は地面の友だちから、後半は台と一緒に回るあなたから見ています。

台と一緒に回るあなたから見ると、箱は止まっています。止まって見えることと合わせるために、項目2 の電車と同じように、慣性力を考えます。回転台のうち箱が置いてある所は、中心向きに 1.0 m/s² で加速しています。慣性力は、その加速度と逆向きなので、中心から外向きです。慣性力の大きさは、ma = 2.0 × 1.0 = 2.0 N です。外向きの慣性力 2.0 N と、中心向きの静止摩擦力 2.0 N がつり合うので、あなたから見て箱は止まっています。

回転台と一緒に回るあなたから見るときに考える、中心から外向きの慣性力を遠心力といいます。加速度の大きさ a = rω² を ma に入れると、遠心力の大きさは次の式になります。

r は回転の中心からの距離、ω は台の角速度です。v は地面から見た箱の速さで、v = rω から、この箱では 1.0 × 1.0 = 1.0 m/s です。mv²/r = 2.0 × 1.0² ÷ 1.0 = 2.0 N で、mrω² と同じ値になります。

遠心力も慣性力の1つなので、見かけの力です。

次の図で、友だちから見たときとあなたから見たときの、箱にはたらく水平の力を並べます。

5どちらから見て解くか

加速する乗り物の問題は、地面の友だちから見ても、乗り物の中のあなたから見ても解けて、同じ式になります。ただし、最初に1つの見方を選び、最後まで混ぜません。

項目1・2 の電車をもう一度使います。電車は右へ 2.0 m/s² で加速し、天井から質量 0.50 kg のおもりを糸でつるしています。右を正の向きとします。この場面で、糸が引く力の水平の成分と鉛直の成分を、2通りの見方で求めます。

地面の友だちから見ると、おもりは右へ 2.0 m/s² で加速しています。力は、重力と糸が引く力の2つです。水平の向き: 運動方程式から、糸が引く力の水平の成分 = ma = 0.50 × 2.0 = 1.0 N(右向き)です。鉛直の向き: おもりは上下に動かないので、糸が引く力の鉛直の成分 = 重力 = 0.50 × 9.8 = 4.9 N です。

電車の中のあなたから見ると、おもりは止まっています。力は、重力と糸が引く力と、後ろ向きの慣性力 ma の3つです。水平の向き: つり合いから、糸が引く力の水平の成分 − ma = 0 です。移項すると、糸が引く力の水平の成分 = ma = 1.0 N で、友だちから見たときと同じ式になります。鉛直の向き: 慣性力は水平なので、友だちから見たときと同じく、糸が引く力の鉛直の成分 = 4.9 N です。

2つの見方は同じ式になるので、どちらを選んでも答えは同じです。乗り物の中で止まっている物体を調べるときは、あなたから見ると、力のつり合いの式だけで解けます。どちらの見方を選んだかを最初に決め、最後まで変えません。友だちから見ているのに慣性力を描くと、同じ ma を2回数えることになり、答えがずれます。