単振動(速度・加速度，復元力)

1速度と加速度

単振動の速度は v = Aω cos ωt、加速度は a = −ω²x です。加速度は、振動の中心では 0 で、それ以外ではいつも振動の中心を向きます。

観覧車のように縦に立てて回る円板の縁に、点 P を付けます。円板は一定の速さで回るので、P は等速円運動をします。円板の左から水平な光を当てると、右のスクリーンに映る P の影は、上下に往復します。このような往復運動を単振動といいます。

影の往復の真ん中を振動の中心とし、そこを原点にします。このページでは上を正の向きとし、影が振動の中心を上向きに通る瞬間を t = 0 とします。このとき P は円の右の端にいて、反時計回りに回ります。影の往復の振幅 A(振動の中心から端までの距離)は、円の半径と同じです。

周期 T は、1 往復にかかる時間です。P が 1 周する時間と同じです。角は、ラジアン(rad)という単位でも表します。1 周 360° が 2π rad、半周 180° が π rad です。P が 1 s あたりに回る角を ω(オメガ)と書き、単振動では角振動数と呼びます。単位は rad/s です。1 周の角 2π rad を周期 T で回るので、ω = 2π/T です。時刻 t までに P が回った角は ωt です。

影の位置 x は P の高さで、x = A sin ωt と表せます。sin θ(サイン・シータ)は、どんな角 θ でも「P の高さ ÷ 半径」で決めます。高さは円の中心から測り、P が中心より下にあるときは負です。たとえば、sin 30° = sin 150° = 0.50、sin 210° = −0.50 です。

円運動で 1 s あたりに回る角を、角速度といいます。半径 r、角速度 ω の等速円運動では、速さは rω、加速度の大きさは rω² です。加速度は、いつも円の中心を向きます。影のもとの円運動は、半径 A、角速度 ω なので、P の速さは Aω、P の加速度の大きさは Aω² です。速度の矢印は、P での円の接線の向き(半径に垂直な向き)です。加速度の矢印は、P から円の中心を向きます。

影は上下にしか動きません。P の速度の矢印のうち、影の速度になるのは、縦の成分だけです。加速度も同じで、影の加速度は、P の加速度の矢印の縦の成分です。上向きを正として、縦の成分に符号を付けます。

P が 60° の所にいるとき、中心から P への半径の矢印は、横に A × 0.50、縦に A × 0.87 の成分をもちます(三角比の cos 60° = 0.50、sin 60° ≒ 0.87。cos はコサインと読みます)。速度の矢印は、この半径の矢印を反時計回りに 90° 回した向きで、長さは Aω です。長さが A から Aω になるので、成分もそれぞれ ω 倍になります。90° 回すと、横の成分は縦に、縦の成分は横に入れかわります。だから、速度の縦の成分は Aω × 0.50 で、上向きです。

ほかの角でも同じで、速度の縦の成分は、Aω ×(P の横の位置 ÷ 半径)です。P の横の位置は、円の中心から測り、右を正とします。

cos も、sin と同じように、どんな角でも cos θ = (P の横の位置)÷(半径) と決めます。P が円の中心より左にあるときは、横の位置を負とします。角が 120° のとき、P は円の左上にいて、横の位置は −A × 0.50 です。だから、cos 120° = −0.50 です。このとき、P は左下へ進んでいるので、速度の縦の成分は下向き(負)です。cos 120° が負であることと合っています。

速度の縦の成分は、速さ Aω × cos(回った角)です。だから、単振動の速度は次の式で表せます。

例として、A = 0.30 m、ω = 2.0 rad/s の単振動を考えます。円運動の速さは Aω = 0.30 × 2.0 = 0.60 m/s です。ωt = 60° のとき、v = 0.60 × cos 60° = 0.60 × 0.50 = +0.30 m/s で、上向きです。ωt = 120° のとき、v = 0.60 × cos 120° = 0.60 × (−0.50) = −0.30 m/s で、下向きです。cos の値は −1 から +1 の間なので、速さの最大は Aω です。

P の加速度の矢印は、P から円の中心を向いています。これは、中心から P へ向かう半径の矢印と逆向きです。半径の矢印の長さは A、加速度の矢印の長さは Aω² です。加速度の矢印は、半径の矢印を逆向きにして、長さを ω² 倍したものです。半径の矢印の縦の成分は、P の高さ、つまり x です。だから、加速度の縦の成分は、x を逆向きにして ω² 倍した −ω²x です。

マイナスは、加速度が x と逆向きであることを表します。x が正(中心より上)なら a は負(下向き)、x が負(中心より下)なら a は正(上向き)です。どちらも振動の中心を向いています。A = 0.30 m、ω = 2.0 rad/s の例で、ωt = 30° のとき、x = 0.30 × 0.50 = +0.15 m なので、a = −2.0² × 0.15 = −0.60 m/s² で、下向きです。x の大きさの最大は A なので、加速度の大きさの最大は Aω² です。

下の図は、場面の絵と同じ、縦に回る円板と影の図です。円板は半径 0.20 m、1 周 1.2 s にしてあり、P の速度と加速度の矢印を描いています。時刻を変えて、影の速度と加速度を読みます。

2復元力と周期

振動の中心からの距離に比例し、中心を向く力を復元力といいます。復元力 F = −Kx がはたらくと単振動になり、周期は T = 2π√mK です。

運動方程式 ma = F は、「質量 × 加速度 = 合力」です。単振動の加速度は a = −ω²x なので、おもりにはたらく力の合力は F = m × (−ω²x) = −mω²x です。項目1 の例題のおもり(振幅 0.10 m、ω = 4.0 rad/s)の質量が 0.50 kg だとします。上の端 x = +0.10 m では、a = −4.0² × 0.10 = −1.6 m/s² なので、合力は F = 0.50 × (−1.6) = −0.80 N です。合力は下向きに 0.80 N です。

合力 F = −mω²x の大きさは、振動の中心からの距離に比例します。向きは、振動の中心以外では、いつも中心を向きます。このような力を復元力といいます。「もとの位置(振動の中心)へ戻そうとする力」という意味です。

比例の定数を K と書き、復元力を F = −Kx と表します。K は正の数です(ここでの K は、運動エネルギーではありません)。単位は N/m です。上の 0.50 kg のおもりでは、K = mω² = 0.50 × 4.0² = 8.0 N/m です。

K = 8.0 N/m のとき、いろいろな位置での復元力は、次の表のようになります。上向きを正とします。

表の符号を見ると、x が 0 でない所では、x と F はいつも逆の符号です。中心から 2 倍離れると、力も 2 倍になります。

グラフの点 (+0.10 m, −0.80 N) は、「振動の中心より 0.10 m 上にいるとき、下向きに 0.80 N の復元力がはたらく」という意味です。直線は原点を通り、右下がりです。

逆に、質量 m の物体に、復元力 F = −Kx がはたらくとします。運動方程式 ma = −Kx から、a = −(K/m)x です。これを単振動の a = −ω²x と比べると、ω² = K/m です。だから、この物体は単振動をして、角振動数は ω = √K/m です。周期は、ω = 2π/T を書き直した T = 2π/ω から、次の式になります。

√K/m で割ることは、分数をひっくり返した √m/K を掛けることと同じです。たとえば K/m = 16 なら、√16 = 4.0 で割ることと、√1/16 = 0.25 を掛けることは同じです。

m = 0.50 kg、K = 8.0 N/m なら、K/m = 16 なので、ω = √16 = 4.0 rad/s です。周期は、T = 2π√0.50/8.0 = 2 × 3.14 × 0.25 = 1.57 s です。与えた数が 2 桁なので、答えも 2 桁に丸めて ≒ 1.6 s と書きます。

T = 2π√m/K には、振幅 A が入っていません。だから、単振動の周期は、振幅によらず、質量 m と K だけで決まります。

振幅を 2 倍にすると、1 往復の道のりは 2 倍になります。一方、v = Aω cos ωt の A も 2 倍になるので、同じ時刻どうしで比べた速さも 2 倍です。2 倍の道のりを 2 倍の速さで進むので、1 往復にかかる時間は変わりません。