ばね振り子と単振り子

1水平のばね振り子

ばねにつないだ物体は、弾性力 F = −kx を受けて単振動します。周期は T = 2π√m/k です。

なめらかな水平の床の上に、台車を置きます。台車の左には、ばねをつなぎます。ばねの左の端は、壁に固定します。台車を右へ引いて、静かに放します。台車は左右に往復します。このように、ばねにつないで往復させる物体とばねを、ばね振り子といいます。

台車の位置は、ばねが自然の長さのときの位置を 0 とし、記号 x で表します。右を正の向きとします。x = +0.10 m は、ばねが 0.10 m 伸びたときの位置、x = −0.10 m は、ばねが 0.10 m 縮んだときの位置です。

ばねが台車に加える弾性力の大きさは、フックの法則で、ばね定数 k × 伸び(縮んでいるときは縮み)です。向きは、いつも自然の長さに戻す向きです。伸びている(x が正)なら左向き、縮んでいる(x が負)なら右向きです。向きを符号で表すと、弾性力は F = −kx と書けます。マイナスは「x と逆向き」という意味です。

たとえば、ばね定数 10 N/m のばねで x = +0.10 m なら F = −10 × 0.10 = −1.0 N(左向きに 1.0 N)です。x = −0.10 m なら F = +1.0 N(右向きに 1.0 N)です。床はなめらかで、重力と垂直抗力は上下の向きの力なので、左右の動きに関わる力は弾性力だけです。

振動の中心(往復の真ん中)からの変位 x に比例し、中心へ戻す向きにはたらく力を、復元力といいます。式では F = −Kx と書きます(K は正の定数)。このような復元力を受けて往復する運動を、単振動といいます。質量 m の物体の単振動の周期は T = 2π√m/K です。

弾性力 F = −kx は、この形とまったく同じです。自然の長さの位置(x = 0)が振動の中心で、K の所が、ばね定数 k になっています。だから、ばね振り子は単振動をし、周期は次の式になります。

√ の中に m があるので、質量が大きいほど周期は長くなります(重いほど、ゆっくり往復します)。√ の中の分母に k があるので、ばね定数が大きい(かたい)ばねほど、周期は短くなります。式の中に、引く距離はありません。だから、周期は引く距離によらず同じです。

引いて放した位置が、往復の端です。振動の中心(ここでは x = 0)から端までの距離を、振幅 A といいます。

単振動の位置は、振動の中心を正の向きに通る瞬間を t = 0 にして、x = A sin ωt(sin はサインと読みます)と書くのが基本です。ω(オメガ)は角振動数で、ω = 2π/T です。ばね振り子では、台車を端まで引いて放すことが多いので、端(x = +A)で静かに放した瞬間を t = 0 にすると便利です。

振動の中心から端に着くまでには、1/4 周期かかります。だから、端で放した瞬間は、基本の数え方では t = T/4 にあたります。数え始めを 1/4 周期ずらすと、位置は x = A cos ωt と書けます。cos ωt は「コサイン・オメガ・ティー」と読みます。cos θ は、円の上を、右の端から反時計回りに角 θ だけ回った点の、横の位置 ÷ 半径です。点が円の中心より左にあるときは、負になります。

引く距離が 0.10 m のとき、T/4 ごとの位置は次の表のとおりです。T/4 ごとに、ωt は 90°(π/2 rad)ずつ増えます。

表の位置は、x = 0.10 cos ωt(x の単位は m)の値と合っています。端で放した台車は、T/2 後に反対側の端に着き、T 後に放した位置に戻ります。

次の図で、台車の質量と引く距離を変えて放し、周期がどう変わるかを確かめます。

2鉛直のばね振り子

ばねにつるしたおもりは、つり合いの位置を中心に単振動します。周期は水平のときと同じ T = 2π√m/k です。

ばねの上の端を天井に固定し、下の端におもりをつるします。ばねは少し伸びて、おもりは止まります。止まっているとき、上向きの弾性力と下向きの重力の大きさは等しくなっています。このときの伸びを d と書きます。弾性力の大きさは kd、重力の大きさは mg なので、kd = mg です。おもりが止まっている、この位置をつり合いの位置といいます。

たとえば、ばね定数 98 N/m のばねに、質量 1.0 kg のおもりをつるすと、mg = 1.0 × 9.8 = 9.8 N なので、d = 9.8 ÷ 98 = 0.10 m 伸びて止まります。

鉛直のばね振り子では、上を正の向きとします。おもりの位置は、つり合いの位置を 0 とし、そこからの変位 x で表します。x = +0.050 m は、つり合いの位置より 0.050 m 上、x = −0.050 m は 0.050 m 下です。

上のおもり(98 N/m、1.0 kg)を、つり合いの位置から 0.050 m 下げます(x = −0.050 m)。ばねの伸びは 0.10 + 0.050 = 0.15 m になり、弾性力は上向きに 98 × 0.15 = 14.7 N です。重力は下向きに 9.8 N のままです。合力は、上向きに 14.7 − 9.8 = 4.9 N です。これは 98 × 0.050 = 4.9 N と同じです。つり合いの位置から 0.050 m 上げたとき(x = +0.050 m)も、同じように調べると、次の表になります。

足し算・引き算が合うことを見るため、この表では、14.7 N のような途中の値を丸めずに書きます。合力は、つり合いの位置からずれた分 x に比例し、いつもつり合いの位置へ戻す向きです。

式で確かめます。つり合いの位置から x の所(上を正)では、ばねの伸びは d − x です。弾性力は上向きなので +k(d − x)、重力は下向きなので −mg です。合力は F = k(d − x) − mg = kd − mg − kx です。kd = mg なので、kd − mg は 0 になり、F = −kx が残ります。

F = −kx は、水平のばね振り子(項目1)と同じ形です。x を測る基準が、自然の長さの位置ではなく、つり合いの位置に変わっただけです。重力の分は、つり合いの位置をずらすことに使われ、式からは消えました。だから、鉛直のばね振り子は、つり合いの位置を中心に単振動し、周期は水平と同じ T = 2π√m/k です。このおもり(1.0 kg、98 N/m)なら、T = 2 × 3.14 × √1.0 ÷ 98 = 6.28 × 0.1010… = 0.634… ≒ 0.63 s です。

3単振り子

振れが小さい振り子は単振動とみなせ、周期は T = 2π√L/g です。周期はおもりの質量によりません。

天井から軽い糸をつるし、糸の下の端に小さなおもりを付けます。おもりを少し横へ引いて放すと、おもりは左右に往復します。このような振り子を単振り子といいます。糸を留めた点を支点といいます。糸の長さ L は、支点からおもりの中心までの長さです。

おもりは、支点を中心とする半径 L の円の一部(弧)の上を往復します。おもりの位置は、いちばん低い点を 0 とし、弧に沿って測った長さ x で表します。右を正とします。糸が鉛直の向きとなす角を θ(シータ)とします。右に振れたときを正とします。角をラジアン(rad)で表すと、角 = 弧の長さ ÷ 半径 です。だから θ = x/L(rad)です。

おもりにはたらく力は、重力 mg と、糸が引く力(張力)です。重力は鉛直下向きなので、糸の延長と重力の矢印の間の角も θ です。そこで重力を、糸に沿った向きの分力 mg cos θ と、糸に垂直な向き(弧に沿った向き。おもりが動く向き)の分力 mg sin θ に分けます(sin θ・cos θ は、斜辺が mg の直角三角形の辺の比です)。

張力と mg cos θ は糸に沿った向きの力で、おもりを弧に沿って動かしません。弧に沿っておもりを動かすのは、mg sin θ だけです。この力は、いつもいちばん低い点へ戻す向きです。右に振れている(θ が正)ときは左向きなので、符号を付けると F = −mg sin θ です。

振れの角が小さいときは、sin θ と、ラジアンで測った θ が、ほとんど同じ値になります。次の表で確かめます。

5° では小数第3位まで同じ、10° でも差は 0.001 ほどです。20° になると差が少し大きくなります。そこで、振れが小さいときは sin θ ≒ θ とします。

sin θ ≒ θ = x/L を F = −mg sin θ に入れると、F ≒ −mg × x/L = −(mg/L)x です。これは、項目1 の復元力 F = −Kx と同じ形で、K の所が mg/L になっています。だから、振れが小さい単振り子の運動は、単振動とみなせます。

項目1 の周期の式 T = 2π√m/K の K に mg/L を入れます。√ の中は m ÷ (mg/L) = m × L/(mg) = L/g です。m は分子と分母で消えます。だから、単振り子の周期は次の式になります。

式の中におもりの質量 m がないので、重いおもりでも軽いおもりでも、糸の長さが同じなら周期は同じです。糸が長いほど、周期は長くなります。振れの大きさ(振幅)も式にないので、振れが小さい間は、振れの大きさを変えても周期は同じです。この性質を、振り子の等時性といいます。振れが大きくなるほど、sin θ ≒ θ がずれて、周期は少しずつ長くなります(20° で 0.8% ほど)。

次の図で、糸の長さとおもりの質量を変えて放し、周期がどう変わるかを確かめます。