単振動の応用(2)

1水に浮かぶ物体

水に浮かぶ円柱を押し下げると、増えた浮力が戻す力になります。K = ρSg として周期を求めます。

水そうの水に、木の円柱を立てて浮かべます。円柱は、一部が水の中にあり、残りが水面の上に出ています。円柱の上の面を指で少し押し下げてから手をはなすと、円柱は上下に揺れます。

円柱の断面積(水平に切った切り口の面積)を S と書きます。水の密度は ρ(ロー)で、1.0 × 10³ kg/m³ です。この項目では、鉛直上向きを正の向きとします。x は、つり合いの位置からのずれです。押し下げたときは x が負で、たとえば 1.0 cm 押し下げると x = −1.0 cm です。円柱は傾かず、上下にだけ動くとします。水そうは広く、円柱が上下しても水面の高さは変わらないとします。水の抵抗は考えません。円柱は、揺れている間も、上の面が水面より上に、底が水の中にあるとします。

このページでは、次の3つの手順で周期を求めます。

• ① つり合いの位置を見つけます。力がつり合って、物体が止まっていられる位置です。
• ② そこから x ずらしたときの合力を、x を使って書きます。
• ③ 合力が F = −Kx の形なら、単振動です。K を読み、T = 2π√m/K に入れます。

F = −Kx は、物体をつり合いの位置へ戻す力(復元力)の式です。K は正の比例定数で、マイナスは「ずらした向きと逆向き」という意味です。この形の力を受ける物体は、つり合いの位置を中心に単振動し、周期は T = 2π√m/K です(m は物体の質量)。

浮いて止まっている円柱にはたらく力は、重力 mg(下向き)と浮力(上向き)だけです。浮力の大きさは F_浮 = ρVg です(V は水の中にある部分の体積)。止まっているので、浮力 = 重力 です。この位置がつり合いの位置です。

この項目の円柱は、断面積 S = 1.0 × 10⁻² m²、質量 1.5 kg とします。重力は 1.5 × 9.8 = 14.7 N です。浮力が 14.7 N になるのは、水の中の体積が V = 14.7 ÷ (1.0 × 10³ × 9.8) = 1.5 × 10⁻³ m³ のときです。V = S × 深さ なので、水の中の深さは 1.5 × 10⁻³ ÷ (1.0 × 10⁻²) = 0.15 m(15 cm)です。

つり合いの位置から円柱を押し下げると、水の中の部分は S × (押し下げた深さ) だけ増えます。増えた浮力は ρ × S × (押し下げた深さ) × g で、上向きです。押し下げた深さを変えて計算すると、次の表になります(深さは m に直して入れます。0.50 cm = 0.0050 m)。

増えた浮力は、押し下げた深さに比例しています。

重力 mg と、つり合いの位置での浮力は、大きさが同じで向きが逆なので、打ち消し合います。残るのは、増えた浮力だけです。向きは上向き(つり合いの位置へ戻す向き)です。上を正にすると、合力は F = −ρSgx です。たとえば x = −1.0 cm = −0.010 m なら、F = −1.0 × 10³ × 1.0 × 10⁻² × 9.8 × (−0.010) = +0.98 N で、表の値と同じ上向きの力です。x が正(つり合いの位置より上)のときは、水の中の部分が減って浮力が減るので、合力は下向き(負)になります。上の面が水面より上、底が水の中にある間(この項目の初めの約束)は、同じ式が使えます。

F = −ρSgx は F = −Kx の形で、K = ρSg です。単位は kg/m³ × m² × m/s² = kg/s² = N/m で、ばね定数と同じです。だから、浮かぶ円柱は、つり合いの位置を中心に単振動し、周期は T = 2π√m/(ρSg) です。この円柱では、K = 1.0 × 10³ × 1.0 × 10⁻² × 9.8 = 98 N/m です。

次の図で、円柱を押し下げる深さを変えて、増えた浮力と周期を確かめます。

2エレベーターの中のばね振り子と単振り子

加速度が上向きのエレベーターの中では、g の代わりに g + a で考えます。ばね振り子の周期は変わらず、単振り子の周期は短くなります。

あなたはエレベーターに乗っています。エレベーターの天井から、ばね振り子と単振り子を1つずつつるし、揺らします。エレベーターは、上向きに大きさ a の加速度で動いているとします。上の階へ向かって動き出したときが、この向きです。この項目では、エレベーターの中のあなたから見て考えます。

加速している乗り物の中から見ると、物体には、乗り物の加速度と逆向きに、大きさ ma の力がはたらくように見えます。この力が慣性力です。このエレベーターでは、慣性力は下向きで、大きさは ma です。だから、物体には重力 mg と慣性力 ma が、どちらも下向きにはたらきます。合わせると m(g + a) です。

これは、重力加速度の大きさが g + a の場所にいるのと同じです。この m(g + a) を、このページでは見かけの重力と呼びます。体重計の表示(見かけの重さ)とは別のものです。

たとえば、加速度が上向きに 1.0 m/s² のとき、質量 0.50 kg のおもりには、重力 0.50 × 9.8 = 4.9 N と慣性力 0.50 × 1.0 = 0.50 N がはたらきます。合わせて 5.4 N で、0.50 × (9.8 + 1.0) = 0.50 × 10.8 = 5.4 N と同じです。エレベーターの加速度が下向きに a のときは、慣性力が上向きになるので、g の代わりに g − a で考えます(a が g より小さいとき)。

ばね振り子では、上を正の向きとし、つり合いの位置からのずれを x とします。

• ① つり合いの位置での、ばねの自然の長さからの伸びを d とします。ばねの弾性力の大きさは、ばね定数 k と伸びの積です(伸びが d なら kd)。上向きの弾性力 kd と、下向きの見かけの重力 m(g + a) がつり合うので、kd = m(g + a) です。エレベーターが止まっているとき(kd = mg)より、ばねは多く伸びます。
• ② つり合いの位置から上へ x ずれた所では、ばねの伸びは d − x です。合力は F = k(d − x) − m(g + a) = −kx です。kd = m(g + a) なので、kd − m(g + a) が 0 になるからです。
• ③ K = k なので、周期は T = 2π√m/k です。エレベーターが止まっているときと同じです。

見かけの重力が変えるのは、ばね振り子のつり合いの位置だけです。

単振り子では、右を正の向きとします。振れが小さい単振り子では、おもりを元へ戻す力は F ≒ −(mg/L)x です(L は糸の長さ、x はいちばん低い点から弧に沿って測った長さ)。これは、重力 mg の、弧に沿った分力から出てくる式です。止まっているエレベーターの中では、周期は T = 2π√L/g です。

エレベーターの中では、重力と慣性力を合わせた見かけの重力 m(g + a) が、重力 mg の役をするので、F ≒ −(m(g + a)/L)x です。K = m(g + a)/L を T = 2π√m/K に入れると、m が消えて、周期は次の式になります。

分母の g + a は g より大きいので、周期は、止まっているときより短くなります。

次の図で、エレベーターの加速度を変えて放し、ばね振り子と単振り子の周期を比べます。