要点
縦の円を回る物体は、上るほど遅くなります。それでも、その場所の速さ v を使えば、中心向きの式 mv2/r = (中心向きの合力) が使えます。
水を入れたバケツを、腕を伸ばして縦に大きく回してみます。速く回すと、バケツが逆さまになるいちばん上でも、水はこぼれません。ゆっくり回すと、いちばん上で水がこぼれます。このページでは、このような縦の円の上の運動を調べます。水がこぼれない理由は、項目4 で説明します。
長さ 0.80 m の糸の先に、質量 0.40 kg のおもりを付けます。糸のもう一方の端は、縦に立てた板のくぎに留めます。おもりが円のいちばん低い点(最下点)を、横向きに 7.0 m/s で通るようにすると、おもりはくぎを中心に、縦の円の上を回ります。円の半径 r は糸の長さと同じ 0.80 m です。縦に立てた平面(鉛直面)の中での円運動を、鉛直面内の円運動といいます。最下点での速さを v0(ブイゼロ)と書きます。右下の小さな 0 は、「最下点の」という印です。
おもりにはたらく力は、重力と、糸が引く力(張力)です。張力はいつもおもりの動く向きと垂直なので、仕事をしません。だから、おもりの力学的エネルギー 12mv2 + mgh は一定に保たれます(力学的エネルギー保存の法則)。位置エネルギーの基準面は、最下点の高さにとります。最下点で 12mv02、最下点から高さ h の所で 12mv2 + mgh なので、12mv02 = 12mv2 + mgh です。両辺に 2 を掛けて m で割ると、v2 = v02 − 2gh になります。
円のちょうど横の点は、最下点から r = 0.80 m 高い所です。v2 = 7.02 − 2 × 9.8 × 0.80 = 49 − 15.68 = 33.32 で、v = 5.77… ≒ 5.8 m/s です。与えた数(7.0 m/s、0.80 m)が 2 桁なので、答えも 2 桁に丸めます。円のいちばん上の点(最高点)は、最下点から 2r = 1.6 m 高い所です。v2 = 49 − 2 × 9.8 × 1.6 = 49 − 31.36 = 17.64 で、v = 4.2 m/s です。
| 場所 | 最下点 | 横 | 最高点 |
|---|---|---|---|
| 最下点からの高さ [m] | 0 | 0.80 | 1.6 |
| 速さ [m/s] | 7.0 | 5.8 | 4.2 |
円運動では、力を「円の中心を向く向き」と「それと逆の外向き」に分けて考えます。このページでは、円の中心向きを正の向きとします。「中心向き」がどちらを指すかは、場所によって変わります。最下点では上向き、右の横の点では左向き、最高点では下向きが正です。
半径 r の円を一定の速さ v で回る物体(等速円運動)は、中心向きの加速度(向心加速度)をもち、その大きさは v2/r です。縦の円では速さが変わりますが、ごく短い時間だけを見ると、おもりはその場所の速さ v で、円の一部をなぞっています。だから、その場所での中心向きの加速度も v2/r です。v は、その場所での速さです。運動方程式 ma = F を中心向きに立てると、次の式になります。
速さが変わるので、円に沿う向き(接線の向き)の加速度もありますが、このページでは中心向きの式だけを使います。
横から見た図です。糸の長さは 0.80 m で、おもりは反時計回りに回ります。矢印の長さは速さを表します。
確認
縦の円を回るおもりの速さは、最下点と最高点のどちらが大きいですか。
最下点です。上るほど位置エネルギーが増え、その分だけ運動エネルギーが減ります。
例題
長さ 0.30 m の糸の先におもりを付け、縦の円の上を回します。おもりは最下点を 5.0 m/s で通りました。最高点での速さを求めなさい。重力加速度の大きさは 9.8 m/s² とします。
答え: 3.6 m/s
張力は、中心向きの式 mv2/r = (中心向きの合力) で求めます。地面から見ても、おもりと一緒に回る人から見ても、同じ式になります。
このページでは、糸が引く力(張力)の大きさを T と書きます。
同じ運動を、2つの見方で式にします。1つ目は、地面から見る見方です。中心向きの運動方程式 mv2/r = (中心向きの合力) を立てます。2つ目は、おもりと一緒に回る人から見る見方です。この人から見ると、おもりは止まって見えます。この見方では、中心から外向きに、大きさ mv2/r の見かけの力(遠心力)がはたらくと考えます。そして、半径の向きの力がつり合うとします。
項目1 のおもり(0.40 kg、糸の長さ 0.80 m、最下点で 7.0 m/s)の最下点を考えます。最下点では、中心(くぎ)は真上にあるので、上向きが正です。張力 T は上向き(中心向き)、重力 mg は下向き(外向き)です。中心向きの合力は T − mg です。地面から見ると、mv02/r = T − mg です。
一緒に回る人から見ると、おもりには、張力 T(上向き)、重力 mg(下向き)のほかに、遠心力 mv02/r が外向き(下向き)にはたらきます。半径の向きの力がつり合うので、T − mg − mv02/r = 0 です。mv02/r を右辺に移すと、mv02/r = T − mg となり、地面から見た式と同じです。
mv02r = T − mg
T − mg − mv02r = 0
中心向き(ここでは上向き)を正とします。破線の矢印は見かけの力(遠心力)です。(a) の加速度の矢印は力ではないので、おもりから離して描いています。矢印の長さは、力の大きさの比をおおよそ表すだけです。
最下点の式 mv02/r = T − mg を T について解くと、T = mg + mv02/r です。T = 0.40 × 9.8 + 0.40 × 7.02 ÷ 0.80 = 3.92 + 24.5 = 28.42 ≒ 28 N です。止まってつるしているときの張力は mg ≒ 3.9 N なので、その約 7 倍の力で糸が引いています。
次に、最高点を考えます。最高点では、中心(くぎ)は真下にあるので、下向きが正です。糸はいつも、おもりを中心のほうへ引きます。だから、最高点では張力 T も下向きです。重力 mg も下向きで、どちらも中心向きです。地面から見ると、mv2/r = T + mg です。一緒に回る人から見ると、遠心力 mv2/r が外向き(上向き)にはたらき、T + mg − mv2/r = 0 です。
mv2r = T + mg
T + mg − mv2r = 0
中心向き(ここでは下向き)を正とします。矢印の描き方は、上の最下点の図と同じです。
最高点の式 mv2/r = T + mg を T について解くと、T = mv2/r − mg です。項目1 で求めたとおり、最高点の速さは v = 4.2 m/s(v2 = 17.64)です。T = 0.40 × 17.64 ÷ 0.80 − 3.92 = 8.82 − 3.92 = 4.9 N です。最下点の 28 N よりずっと小さくなります。
どちらの見方で解いても、答えは同じです。迷ったら、地面から見る式(中心向きの運動方程式)を使えば十分です。
確認
おもりが最下点を通るとき、張力 T の大きさは、重力 mg と同じですか。
いいえ。T = mg + mv02/r なので、mg より mv02/r だけ大きくなります。
例題
長さ 0.30 m の糸の先に、質量 0.20 kg のおもりを付けて、縦の円の上を回します。おもりは最下点を 5.0 m/s で通ります。最高点を通るときの速さ v は、v2 = 13.24(v ≒ 3.6 m/s)です。最下点と最高点での張力の大きさを求めなさい。重力加速度の大きさは 9.8 m/s² とします。
答え: 最下点 19 N、最高点 6.9 N
糸は引くことはできても、押すことはできません。張力 T が 0 になった所で、糸はたるみます。
糸は、おもりを外向きに押すことはできません。だから、張力 T は 0 より小さくなれません。
中心向きの式から計算した T が 0 になると、糸はそれ以上おもりを引けず、たるみます。たるんだ後のおもりには、重力だけがはたらきます。おもりは円から外れて、投げたボールと同じように放物線を描き、円の内側へ落ちていきます。
おもりが円を上るほど、速さ v が小さくなり、中心向きに必要な力 mv2/r も小さくなります。円の上半分では、重力にも中心向きの成分があります。その分だけ、張力は小さくてすみます。だから、張力は上るほど小さくなり、最高点でいちばん小さくなります。最高点で T が 0 以上なら、ほかのどの場所でも T は 0 より大きいので、おもりは1周できます。
円の横より下では、重力の半径の向きの成分は外向きなので、張力は mv2/r より大きくなり、0 にはなりません。横の高さまで上がれないおもりは、糸がたるまないまま、振り子のように戻ってきます。
最高点の張力は、項目2 で求めたとおり T = mv2/r − mg です。T が 0 以上になる条件は、mv2/r − mg ≥ 0 です。≥ は「左辺が右辺以上」という意味です。両辺に r を掛けて m で割ると、v2 ≥ gr です。最高点の速さの2乗が gr 以上なら、おもりは1周できます。
項目1 のおもり(糸の長さ 0.80 m)では、gr = 9.8 × 0.80 = 7.84 です。v2 ≥ 7.84、つまり最高点で v ≥ 2.8 m/s が要ります。このおもりの最高点の速さは 4.2 m/s で、2.8 m/s より大きいので、1周できます(項目2 で最高点の張力は 4.9 N でした)。
次の図で、あなたが最下点でおもりを打ち出す速さを変えて、1周できるか、どこで糸がたるむかを確かめます。
横から見た図です。糸の長さは 0.25 m、おもりの質量は 0.20 kg です。重力の矢印は描いていません。「横」は、くぎと同じ高さです。動きは実際の 1/4 の速さで見せています。
やってみよう
打ち出す速さを 2.0 m/s から 1 段ずつ上げ、そのたびに「打ち出す」を押してください。おもりが初めて1周できたのはどの段ですか。その1つ前の段では、糸は横より何度上でたるみましたか。
4.0 m/s です(結果は「1周しました(最高点の張力 3.0 N)」)。3.0 m/s では、横より 34° 上で糸がたるみ、おもりは円の内側へ落ちました。
確認
糸がたるんだ後、おもりは円に沿って動きますか。
いいえ。張力がなくなり重力だけを受けるので、放物線を描いて円の内側へ落ちます。
例題
項目1 のおもり(糸の長さ 0.80 m)を縦の円の上で1周させるには、最下点での速さ v0 は何 m/s 以上必要ですか。重力加速度の大きさは 9.8 m/s² とします。
答え: 6.3 m/s 以上(項目1 の 7.0 m/s なら1周できます)
面は物体を押すことはできても、引くことはできません。垂直抗力 N が 0 になった所で、物体は面から離れます。
ジェットコースターのような、縦の円の形をしたレール(ループ)を考えます。レールはなめらかで、摩擦はありません。台車は、坂の上の出発点から静かにすべり出し、坂を下って、ループの内側を回ります。出発点の高さを、ループの最下点から測って h と書きます(項目1 の h は、おもりが今いる所の高さでした。この項目の h は出発点の高さです)。
ループの内側を回る台車を、レールは中心向きに押します。この押す力が垂直抗力 N です。レールは台車を押すことはできても、外向きに引くことはできません。だから、N は 0 より小さくなれません。中心向きの式から計算した N が 0 になると、台車はレールから離れ、重力だけを受けて放物線を描いて落ちます。丸い面の外側をすべる物体では、面が押す垂直抗力は外向き(中心から離れる向き)になります。この場合は、この項目の例題で扱います。
ループの最高点では、レールが押す力 N も重力 mg も下向き、つまり中心向きです。項目3 の糸の張力 T の所に、N が入るだけです。地面から見ると、mv2/r = N + mg です。一緒に回る人から見ると、N + mg − mv2/r = 0 です。N ≥ 0 から、糸のときと同じく v2 ≥ gr です。最高点の速さの2乗が gr 以上なら、台車は1周できます。
垂直抗力は動く向きと垂直なので、仕事をしません。だから、力学的エネルギーは保存されます。基準面はループの最下点にとります。出発点では速さ 0、高さ h なので、力学的エネルギーは mgh です。最高点では速さ v、高さ 2r なので、12mv2 + mg × 2r です。mgh = 12mv2 + mg × 2r の両辺を mg で割ると、h = 2r + v22g です。
半径 r = 0.80 m のループなら、最高点で v2 ≥ gr = 9.8 × 0.80 = 7.84、つまり v ≥ 2.8 m/s が要ります。最高点でちょうど v2 = 7.84 になる出発点の高さは、h = 2 × 0.80 + 7.84 ÷ (2 × 9.8) = 1.6 + 0.40 = 2.0 m です。出発点が 2.0 m 以上なら1周できます。
項目1 のバケツの水も、同じしくみです。いちばん上で、バケツの底は水を中心向き(下向き)に押せますが、引くことはできません。速く回して、いちばん上で v2 ≥ gr になっていれば、底が水を押す力は 0 以上なので、水は底から離れず、こぼれません。
次の図で、出発点の高さを変えて、台車がループを1周できるか、どこでレールから離れるかを確かめます。
横から見た図です。ループの半径は 0.40 m、台車の質量は 0.40 kg です。レールはなめらかで、台車の大きさは考えません。台車は出発点から静かにすべり出します。「横」は、ループの中心と同じ高さです。動きは実際の 1/4 の速さで見せています。
やってみよう
出発点の高さを 1.5 m から 1 段ずつ下げ、そのたびに「すべらせる」を押してください。台車がループを1周できる、いちばん低い段はどれですか。その1つ下の段では、台車は横より何度上でレールから離れましたか。
1.2 m です(結果は「1周しました(最高点の垂直抗力 3.9 N)」)。0.9 m では、横より 56° 上でレールから離れました。
確認
ループの内側を回る台車で、最高点の垂直抗力はどちら向きですか。
下向き(中心向き)です。レールが、台車を上から押しています。
例題
半径 0.90 m のなめらかな半球を、平らな面を下にして床に固定しました。半球の頂上に小さな物体を置き、ごくわずかに押すと、物体は半球の外側の面に沿ってすべり下り、途中で面から離れました。面から離れる点は、床から何 m の高さですか。頂上での速さは 0 とみなし、重力加速度の大きさは 9.8 m/s² とします。
地面から見た図です(遠心力は描いていません)。θ は、O から見た物体の位置と鉛直の間の角です。
答え: 0.60 m(頂上から 0.30 m 下りた所)
重力加速度の大きさは 9.8 m/s² とします。空気の抵抗と摩擦は考えません。円の中心向きを正の向きとします。答えでは、地面から見た式と、一緒に回る人から見た式を並べています。
問1長さ 0.60 m の糸の先に、質量 0.50 kg のおもりを付け、縦の円の上を回します。おもりは最下点を 6.0 m/s で通りました。最下点と最高点での張力の大きさを求めなさい。
最下点 35 N、最高点 5.5 N
最下点: 地面から見ると mv02/r = T − mg、一緒に回る人から見ると T − mg − mv02/r = 0。T = 0.50 × 9.8 + 0.50 × 6.02 ÷ 0.60 = 4.9 + 30 = 34.9 ≒ 35 N
最高点の速さ: 基準面を最下点にとり、最高点の高さは 2r = 1.2 m。v2 = 6.02 − 2 × 9.8 × 1.2 = 36 − 23.52 = 12.48
最高点: 地面から見ると mv2/r = T + mg、一緒に回る人から見ると T + mg − mv2/r = 0。T = 0.50 × 12.48 ÷ 0.60 − 4.9 = 10.4 − 4.9 = 5.5 N
問2長さ 1.0 m の糸に、質量 0.40 kg のおもりをつるした振り子があります。糸が鉛直線と 60° をなす位置から、おもりを静かに放しました。おもりが最下点を通るときの、糸の張力の大きさを求めなさい。cos 60° = 0.50 とします。
7.8 N
最下点の速さ: 放した点は最下点より h = 1.0 − 1.0 × cos 60° = 1.0 − 1.0 × 0.50 = 0.50 m 高い。基準面を最下点にとると、張力は仕事をしないので 12mv2 = mgh。v2 = 2gh = 2 × 9.8 × 0.50 = 9.8
最下点: 地面から見ると mv2/r = T − mg、一緒に回る人から見ると T − mg − mv2/r = 0(r は糸の長さ 1.0 m)
T = 0.40 × 9.8 + 0.40 × 9.8 ÷ 1.0 = 3.92 + 3.92 = 7.84 ≒ 7.8 N
止まってつるしているときの張力(約 3.9 N)の 2 倍です。
問3長さ 2.0 m の糸の先におもりを付け、最下点で横向きに打ち出して、縦の円の上を1周させます。1周するために、最高点で必要な速さと、最下点で打ち出す速さは、それぞれ何 m/s 以上ですか。
最高点 4.4 m/s 以上、最下点 9.9 m/s 以上
最高点: 地面から見ると mv2/r = T + mg、一緒に回る人から見ると T + mg − mv2/r = 0。どちらも T = mv2/r − mg。T ≥ 0 から v2 ≥ gr = 9.8 × 2.0 = 19.6。v ≥ √19.6 = 4.42… ≒ 4.4 m/s
最下点: 基準面を最下点にとると、12mv02 = 12mv2 + mg × 2r から v02 = v2 + 4gr。v2 ≥ gr なので v02 ≥ 5gr = 5 × 9.8 × 2.0 = 98。v0 ≥ √98 = 9.89… ≒ 9.9 m/s
問4半径 0.30 m のループをもつ、なめらかなレールがあります。台車を、ループの最下点から高さ h の出発点から静かにすべらせます。台車がループを1周するための、h の最小の値を求めなさい。
0.75 m
最高点: 地面から見ると mv2/r = N + mg、一緒に回る人から見ると N + mg − mv2/r = 0。どちらも N = mv2/r − mg。N ≥ 0 から v2 ≥ gr = 9.8 × 0.30 = 2.94
出発点の高さ: 垂直抗力は仕事をしないので、基準面を最下点にとると mgh = 12mv2 + mg × 2r。h = 2r + v22g = 0.60 + 2.94 ÷ 19.6 = 0.60 + 0.15 = 0.75 m
v2 = gr を h = 2r + v22g に入れると h = 2r + r2 = 2.5r になります。どんな半径のループでも、半径の 2.5 倍の高さが要ります。
問5半径 0.30 m のなめらかな半球を、平らな面を下にして床に固定しました。半球の頂上に小さな物体を置き、ごくわずかに押してすべらせます。物体が面から離れる点の床からの高さと、そのときの速さを求めなさい。頂上での速さは 0 とみなします。
高さ 0.20 m、速さ 1.4 m/s
物体の位置を、半球の中心 O から見て鉛直から角 θ の所とする。重力の中心向きの成分は mg cos θ、垂直抗力 N は外向き
地面から見ると mv2/r = mg cos θ − N、一緒に回る人から見ると mg cos θ − N − mv2/r = 0。N = 0 から v2 = gr cos θ
力学的エネルギー保存の法則から、v2 = 2gr(1 − cos θ)
gr cos θ = 2gr(1 − cos θ) から cos θ = 23。高さは r cos θ = 0.30 × 23 = 0.20 m
速さは v2 = gr cos θ = 9.8 × 0.20 = 1.96 なので、v = 1.4 m/s
問6長さ 0.70 m の糸の先におもりを付け、最下点で横向きに 4.9 m/s で打ち出しました。おもりは横より上まで上がったところで糸がたるみました。糸がたるんだのは、横より何度上の位置ですか。図では、この角を φ(ファイ)と書いています。sin 30° = 0.50 とします。
30°
たるむ点 P を、横から角 φ 上の所とする。P の最下点からの高さは r + r sin φ
P での重力の中心向きの成分は mg sin φ(O から P への線が水平と φ をなすので)
地面から見ると mv2/r = T + mg sin φ、一緒に回る人から見ると T + mg sin φ − mv2/r = 0。T = 0 から v2 = gr sin φ
力学的エネルギー保存の法則から、v2 = v02 − 2g(r + r sin φ)
2つを等しいとおくと gr sin φ = v02 − 2gr − 2gr sin φ、つまり 3gr sin φ = v02 − 2gr
gr = 9.8 × 0.70 = 6.86、v02 = 4.92 = 24.01 なので、3 × 6.86 × sin φ = 24.01 − 13.72 = 10.29。sin φ = 10.29 ÷ 20.58 = 0.50
sin 30° = 0.50 なので、φ = 30°
地面から見た図です。糸がたるんだ瞬間なので、張力は 0 です。
要点
物理 第4章 円運動と単振動